摘 要：?jiǎn)卫畲鷶?shù)的量子包絡(luò)代數(shù)是一類(lèi)重要的量子群。該文研究27維小量子群[Uq（sl2）]的極大理想和Jacobson根。首先給出[Uq（sl2）]的3個(gè)互不同構(gòu)的單模的零化子，由此求得[Uq（sl2）]的所有極大理想，再通過(guò)討論這些極大理想的交，最終證明[Uq（sl2）]的Jacobson根可由4個(gè)元素生成，并給出了它的一組基。

關(guān)鍵詞：小量子群；極大理想；Jacobson根；單模

中圖分類(lèi)號(hào)：O152.6" " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0" " 引言

Hopf代數(shù)是一類(lèi)具有拓?fù)湫再|(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)。量子群是一類(lèi)特殊的既非交換也非余交換的Hopf代數(shù)，它由Jimbo［1］和Drinfeld［2］在Yang-Baxter方程的研究中引入，其中單李代數(shù)[sl2]的量子包絡(luò)代數(shù)[Uq（sl2）]（簡(jiǎn)記為[Uq]）是一類(lèi)非常重要的量子群［3］。設(shè)k是域，q是k中的一個(gè)單位根，且其階[qgt;2]。量子群[Uq]是由生成元E，F(xiàn)，K，K-1和一組關(guān)系定義的群。令[I]是[Uq]中由[En， Fn， Kn-1]生成的Hopf理想（其中n當(dāng)[q]為奇數(shù)時(shí)為[q]，當(dāng)[q]為偶數(shù)時(shí)為[q] /2），則有商Hopf代數(shù)[Uq/I]（簡(jiǎn)記為[Uq]），稱(chēng)為小量子群。當(dāng)[q]是偶數(shù)時(shí)，由[Eq， Fq， Kq-1]生成的理想[I']仍是[Uq]的Hopf理想，進(jìn)而有商Hopf代數(shù)[Uq/I]（簡(jiǎn)記為[Uq]）；此時(shí)[Uq]是[Uq]的商Hopf代數(shù)，從而[Uq]-模范疇可看作[Uq]-模范疇的張量子范疇，且Green環(huán)[r（Uq）]是Green環(huán)[r（Uq）]的子環(huán)。1994年Suter［4］對(duì)有限維不可分解[Uq]-模進(jìn)行了分類(lèi)，2011年Kondo等［5］給出了任意兩個(gè)張量積模的分解律，2017年Su等［6］根據(jù)該分解律給出了Green環(huán)[r（Uq）]的生成元和生成關(guān)系。在環(huán)論研究方面，Jacobson將Artin環(huán)的Wedderburn根推廣為Jacobson根（域上有限維代數(shù)的Jacobson根恰為其最大冪零理想），這對(duì)后世研究環(huán)結(jié)構(gòu)起到了重要的推動(dòng)作用。

本文研究27維小量子群[Uq]的極大理想和Jacobson根，給出了其所有極大理想和Jacobson根的生成元和基。本文討論的Hopf代數(shù)等均定義在特征為0的代數(shù)閉域k上，模均指有限維左模，[dim]表示[dimk]。有關(guān)Hopf代數(shù)的基本概念和理論可參見(jiàn)文獻(xiàn)［7-8］。

1" " 量子群與小量子群

設(shè)[q∈k且q≠±1]。量子包絡(luò)代數(shù)[Uq]是由[E， F， K， K-1]生成，且有如下關(guān)系的k-代數(shù)［9］：

[KEK-1=q2E，KFK-1=q-2F，E， F=K-K-1q-q-1，KK-1=K-1K=1。]

在[Uq]中定義余乘法、余單位和反極元依次為

[Δ（K）=K?K，Δ（E）=E?K+1?E， Δ（F）=F?1+K-1?F，ε（K）=1， ε（E）=ε（F）=0， " "S（K）=K-1，S（E）=-EK-1， S（F）=-KF，]

則[Uq]成為一個(gè)Hopf代數(shù)。

進(jìn)一步設(shè)q是k中的一個(gè)單位根。令

[n=q，q為奇數(shù)，q/2， q為偶數(shù)，]

則[q2]是[n]次本原單位根。令[I]是[Uq]中由[En， Fn， Kn-1]生成的Hopf理想，則有[Uq]的商Hopf代數(shù)[Uq?Uq I]，稱(chēng)為小量子群。顯然，[Uq]有[k]-基[EiFj Kl" 0≤i ， j ， l≤n]，故[dim（Uq）=n3]。

本文僅考慮[n=3]的情形，此時(shí)[dim（Uq）=27]。根據(jù)Sun等［9］6，[Uq]有3個(gè)互不同構(gòu)的單模[Vl]，[1≤l≤3]，[Vl]具有一組[k]-基[m1， m2， …， ml]，且[Uq]在[Vl]上的作用如下：

[Emi=mi+1， 1≤ilt;l；0， i=n。]

[Fmi=0， i=1；βi-1（l）mi-1， 1lt;i≤l。]

[Kmi=q2i-l-1mi ， 1≤i≤l。]

式中[βi（l）=αi（l）q2i-l-q2i-l-2]，[αi（l）=（1+q2+（q2）2+…+（q2）i-1） ]（1 - q2（i - l）），[1≤i≤l-1。]

2" " "小量子群的極大理想和Jacobson根

本節(jié)利用[Uq]的生成元和生成關(guān)系給出其3個(gè)互不同構(gòu)的單模的零化子；再由單模的零化子與極大理想的關(guān)系給出[Uq]的極大理想的生成元及其一組[k]-基；最后給出[Uq]的Jacobson根的生成元及其一組[k]-基。

Schur引理［10］ 設(shè)A上的有限維代數(shù)，[M]是單[A-]模，則[EndA（M）?k]。

由代數(shù)閉域上有限維代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論可得

引理1 設(shè)[A]是有限維代數(shù)，則[A]的一個(gè)理想[I]是極大理想，當(dāng)且僅當(dāng)存在單[A]-模[V]使得[I=Ann（V）]，其中[Ann（V）=a∈A | a?V=0]表示[V]的零化子，且有[dim（A）-dim（I）=（dim（V））2]。

證明 單模[V?A/Ann（V）]是循環(huán)模，而[V]不僅是[A]-模，還是[EndA（V）]-模。根據(jù)Schur引理有[EndA（V）=k?1V]，那么[A/Ann（V）?Endk（V）]。又因?yàn)閇EndA（V）=Homk（V， V）?Mn（k）]，其中[n=dim（V）]，所以[dim（Endk（V））=（dim（V））2]，進(jìn)而有[dim（A）-dim（I）=（dim（V））2]。

由引理1可得

引理2 設(shè)[A]是一個(gè)有限維代數(shù)，[J]是[A]的Jacobson根。若[V1， V2， …， Vm]是單[A]-模同構(gòu)類(lèi)代表元的完全集，則[dim（A）-dim（J）=i=1m（dim（Vi））2。]

由[Uq]的單模分類(lèi)和引理1可得

推論3 [Uq]有3個(gè)極大理想[Ann（Vl）]，[1≤l≤3]。

由[Uq]的單模分類(lèi)、引理2及[dim（Uq）=27]可得

推論4 設(shè)[J]是小量子群[Uq]的Jacobson根，則[dim（J）=13].

下面討論[Uq]的極大理想和Jacobson根。[Uq]中由元素[a1， a2， …， am]生成的理想記作[a1， a2， …， am]。

引理5 [Ann（V1）=E， F， 1-K]。

證明 令[I=E， F， 1-K]。由[V1]是平凡[Uq]-模知[Ann（V1）=Ker（ε）]。因[ε]是代數(shù)同態(tài)，[ε（E）=ε（F）=0]且[ε（K）=1]，故[I?Ann（V1）]。又因?yàn)閇1-Ki=（1-K）（1+K+...+Ki-1）∈I]，[1≤i≤2]且[EFlKm]，[EjFlK]，[EFlK∈I]，[0≤j， l， m≤2]，故集合[X：={1-Ki， EjFlKm | 1≤i≤2， 0≤j， l， m≤2， j+l≥1}?I]。顯然[X]是線性無(wú)關(guān)的，故[dim（I）≥26]。而由引理1知[dim（Ann（V1））=26]，所以[dim（I）=26]，從而[Ann（V1）=I]。

由引理5的證明過(guò)程可得

推論6 [Ann（V1）]有[k]-基[{1-Ki， EjFlKm | 1≤i≤2， 0≤j， l， m≤2， j+l≥1}]。

引理7 [Ann（V2）=E2， F2， q-1E-EK， qF-FK， 1+K+K2， （q2-q）EF+K-q2]。

證明 令[I=E2， F2， q-1E-EK， qF-FK， 1+K+K2， （q2-q）EF+K-q2]，[m1， m2]為[V2]的一組標(biāo)準(zhǔn)基，在該基下[V2]所對(duì)應(yīng)的矩陣表示[ρ ：Uq→M2（k）]為

[ρ（E）=0010，" "ρ（F）=0100，" ρ（K）=q200q]。

注意到[Ann（V2）=Ker（ρ）]。因

[ρ（E2）=00102=0，][" ρ（F2）=01002=0，]

[ρ（q-1E-EK）=00q-10-0010q200q=0，]

[ρ（qF-FK）=0q00-0100q200q=0，]

[ρ（1+K+K2）=1001+q200q+q00q2=0，]

[ρ（（q2-q）EF+K-q2）=000q2-q+q200q-q200q2=0，]

故有[E2]，[F2]，[q-1E-EK]，[qF-FK]，[1+K+K2]，[（q2-q）EF+K-q2∈Ann（V2）]，從而[I?Ann（V2）]。由[I]的定義知，對(duì)任意[0≤i， j， p≤2]，[0≤l， a， m， n≤1]，[E2FiKj，][ ElF2KP，][ （q-1E-EK）FaKm]，[（qF-FK）Kn]，[（q2-q）EF+K-q2∈I]。

易驗(yàn)證集合

[E2FiKj， ElF2KP， （q-1E-EK）FaKm，（qF-FK）Kn， （q2-q）EF+K-q20≤i， j， p≤2， 0≤l， a， m， n≤1]

是線性無(wú)關(guān)的，且含有23個(gè)元素，因此[dim（I）≥23]。又由引理1知[dim（Ann（V2））=23]，所以[Ann（V2）=I]。

由引理7的證明過(guò)程可得

推論8 [Ann（V2）]有[k]-基

[E2FiKj， ElF2KP， （q-1E-EK）FaKm，][ （qF-FK）Kn， （q2-q）EF+K-q2]，

其中[0≤i， j， p≤2， 0≤l， a， m， n≤1]

引理9 [Ann（V3）=1+K+K2+3EF+3E2F2， （1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q]。

證明 令[I=1+K+K2+3EF+3E2F2， （1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q]，[m1， m2， m3]為[V2]的一組標(biāo)準(zhǔn)基，在這組基下[V3]所對(duì)應(yīng)的矩陣表示[ρ ：Uq→M3（k）]為

[ρ（E）=000100010，" " " ρ（E）=0-1000-1000，" " " ρ（E）=q0001000q2]。

注意到[Ann（V2）=Ker（ρ）]。因

[ρ（1+K+K2+3EF+3E2F2）=100010001+q0001000q2+q20001000q+0000-3000-3+000000003=0，]

[ρ（（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q）=000000001-q2+0000q-1000q-1+q0001000q2 -q000q000q=0，]

所以[1+K+K2+3EF+3E2F2]，[（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q∈Ann（V3）]，從而[I?Ann（V3）]。易知[Uq]的子集

[Ei（1+K+K2+3EF+3E2F2）Fj，Em（1+K+K2+3EF+3E2F2）FnKl，Ea（（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q），（（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q）Fb 0≤i， j， a， b≤2， i+j≥2， 0≤m， n， l≤1 ]

是線性無(wú)關(guān)的且有18個(gè)元素，故[dimI≥18]。再由引理1知[dimAnnV3=18]，所以[AnnV3=I]。

由引理9的證明過(guò)程可得

推論10 [AnnV3]有[k]-基

[Ei（1+K+K2+3EF+3E2F2）Fj，][ Em（1+K+K2+3EF+3E2F2）FnKl，]

[Ea（（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q）]， [（（1-q2）E2F2+（1-q）EF+K-q）Fb]，

其中[0≤i， j， a， b≤2， i+j≥2， 0≤m， n， l≤1]。

由引理5、引理7和引理9可得[Uq]的3個(gè)互不同構(gòu)的單模[Vl" ][（1≤l≤3）]的零化子的生成元，由推論6、推論8和推論10可得[AnnVl（1≤l≤3）]的一組[k]-基。進(jìn)而由推論3可得[Uq]的3個(gè)極大理想的生成元和[k]-基。下面證明[Uq]的Jacobson根就是這3個(gè)極大理想之交。

定理11 設(shè)J是[Uq]的Jacobson根，則

[J=E（1+K+K2+3EF）， （1+K+K2+3EF）F， E2（K-q）， （K-q）F2]，

且J有[k]-基

[E2（1+K+K2+3EF）Fj，][ Ei（1+K+K2+3EF）F2，][ Em（1+K+K2+3EF）FnKl，][ E2（K-q）， （K-q）F2，]

其中[0≤i， j≤2， 0≤m， n， l≤1， m+n≥1。]

證明 令[I=E（1+K+K2+3EF）， （1+K+K2+3EF）F， E2（K-q）， （K-q）F2]。由推論3知[Uq]的Jacobson根為[J=Ann（V1）?Ann（V2）?Ann（V3）]。由推論6、推論8和推論10知

[I?Ann（V1）?Ann（V2）?Ann（V3）]。

I包含下列元素：

[E2+E2K+E2K2， " F2+q2F2K+qF2K2， " "E2F2+q2E2F2K+qE2F2K2，E2F+q2E2FK+q2E2FK， " EF2+q2EF2K+qEF2K2，E+EK+EK2+3E2F， " " EK+EK2+E+3E2FK，F(xiàn)+qFK+q2FK2+3EF2， " "FK+qFK2+q2F+3EF2K，EF+qEFK+q2EFK2+3E2F2， " "EFK+qEFK2+q2EF+3E2F2K，E2（K-q）， " " （K-q）F2。]

易證這些元素是線性無(wú)關(guān)的，故由推論4知[dim（J）=13]，從而[J=I]。這表明[J]有[k]-基

[E2（1+K+K2+3EF）Fj，][" "Ei（1+K+K2+3EF）F2]，

[Em（1+K+K2+3EF）FnKl，" "E2（K-q）， （K-q）F2] ，

其中[0≤i， j≤2， 0≤m， n， l≤1， m+n≥1]。

由定理11知，[Uq]的Jacobson根可由4個(gè)元素生成，且其維數(shù)為13。

3" "結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)于特征為0的代數(shù)閉域上的27維代數(shù)[Uq]，利用其極大理想與其單模的零化子之間的關(guān)系，計(jì)算它的所有單模所對(duì)應(yīng)的矩陣表示，得到了[Uq]的所有極大理想的生成元和一組基，進(jìn)而得到[Uq]的Jacobson根的生成元和一組基。理論上本文的方法也可用于一般情況，但當(dāng)[Uq]的維數(shù)較大時(shí)，它的單模的個(gè)數(shù)較多，結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，因而使用本文方法時(shí)計(jì)算量相當(dāng)大。所以還需探尋新的方法來(lái)處理。

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［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2024-01-09

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“融合范疇的Casimir不變量與Grothendieck代數(shù)的表示”（12371041）

通信作者：趙汝菊，博士，北部灣大學(xué)副教授，電子郵箱為zrj0115@126.com。