摘要：隨著Nevanlinna理論的差分模擬理論和微分差分模擬理論的快速發(fā)展，時(shí)滯微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布成為一個(gè)熱門的研究課題。該文運(yùn)用Nevanlinna理論，對(duì)有窮級(jí)超越整函數(shù)f [z]，研究多項(xiàng)式[Lz， f-Pnf-β]的零點(diǎn)分布問題，其中[L（z， f）是 fz]的線性時(shí)滯微分多項(xiàng)式，[Pn（f）=][i=1nαifi]，[αi]和[β]均為[f]的小函數(shù)。證明了當(dāng)[f]滿足某些條件時(shí)該多項(xiàng)式有無窮多個(gè)零點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯微分多項(xiàng)式；Nevanlinna理論；整函數(shù)；增長級(jí)；零點(diǎn)收斂指數(shù)

中圖分類號(hào)：O174.52 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0" " 引言及主要結(jié)果

本文運(yùn)用Nevanlinna值分布理論討論時(shí)滯微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問題，使用Nevanlinna的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)［1-3］，如亞純函數(shù)[f（z）]的迫近函數(shù)[m（r， f）]、計(jì)數(shù)函數(shù)[N（r， f）]、精簡計(jì)數(shù)函數(shù)[N___（r， f）]、特征函數(shù)[T（r，" f）]、余項(xiàng)[S（r， f）]、零點(diǎn)收斂指數(shù)[λf]、增長級(jí)[ρf]和超級(jí)[ρ2f]等。 如果亞純函數(shù)[a（z）]滿足[Tr， a（z）=οT（r， f）]（其中[r→∞]且[r?E]，[E]是一個(gè)對(duì)數(shù)測度有窮的集合），則稱[a（z）]是[f（z）]的一個(gè)小函數(shù)。函數(shù) [fz]的線性時(shí)滯微分多項(xiàng)式為[L（z， f）=j=0mbjzfkjz+cj]， [（1）]

其中[bj]均為[fz]的小函數(shù)，[cj]是互不相同的復(fù)常數(shù)，[kj]是非負(fù)整數(shù)，[j=0， 1， …， m]。

1959年Hayman［4］證明了以下結(jié)果。

定理A 設(shè)[fz]是超越整函數(shù)，則對(duì)任意正整數(shù)[n≥3]和任意非零復(fù)常數(shù)[a]，函數(shù)[fz-afzn]都可取任意有窮復(fù)數(shù)無窮多次。

近年來，隨著差分值分布理論的不斷發(fā)展和差分對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理的建立，一些學(xué)者開始研究復(fù)差分多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問題，給出了許多關(guān)于亞純函數(shù)值分布差分形式的結(jié)果。2012年Zheng等［5］將定理A中的[fz]替換成[fz+c]，得到如下結(jié)果。

定理B 設(shè)[fz]是有窮級(jí)超越整函數(shù)，[a和 c]是非零復(fù)常數(shù)，則函數(shù)[fz+c-afzn]可取任意有窮復(fù)數(shù)無窮多次，其中[n≥3]。

2013年Liu等將定理B中的[fz+c]替換為更一般的線性差分算子[gf=j=1majfz+cj]，其中[aj和cjj=1， …， m]都是復(fù)常數(shù)。記[Fnz=j=1majfz+cj-afzn]，[n≥1]。

定理C［6］29 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，a，b，aj，cj[ j=1， …， m]均為復(fù)常數(shù)。如果[j=1majfz+cj?b] ，則[Fnz]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λFnz-b=ρf]。

定理D［6］29 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，[d]是[fz]的一個(gè)Borel例外值，[bz， az?0，][ ajj=1，" 2， …， m]是多項(xiàng)式，[cjj=1， 2， …， m]是復(fù)常數(shù)。若[d=0]且[j=1majfz+cj?0]或者[d≠0]且[j=1mdaj-d2az-bz?0]，則[F2z-bz][ =][ j=1majfz+cj] [-azf2z-bz]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λF2z-bz=ρf]。

2020年龍見仁等考慮[fz]是一個(gè)有窮級(jí)超越亞純函數(shù)時(shí)，將定理C中的[afzn]替換成更一般的一個(gè)關(guān)于[f]的n次多項(xiàng)式[Pnf=anfn+…+a1f+a0]，其中[an ， … ， a1， a0]均為復(fù)常數(shù)，且[Pz]有[k]個(gè)不同的零點(diǎn)。

定理E［7］511 設(shè)[fz]是有窮級(jí)超越亞純函數(shù)，[αz]是[fz]的一個(gè)非零小函數(shù)，bm ，…，b1 ，b0 ， cm…，[ c1， c0]均為常數(shù)。 若[Pnz]有k個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)[n≥m+k+3]時(shí)，[j=0mbjfz+cj+Pnf-αz]有無窮多個(gè)零點(diǎn)。

2021年Li等將定理C和定理D中的線性差分算子[gf=j=1majfz+cj]替換成由式[（1）]定義的更一般的線性時(shí)滯微分算子[L（z， f）]。 在敘述其結(jié)果之前，我們先介紹[λ]-小函數(shù)。對(duì)于亞純函數(shù)[α（z）]，如果存在[λlt;ρ（f）=ρlt;+∞]，使得對(duì)任意[ε∈0， ρ-λ]都有

[T（r， α）=Orλ+ε+S（r， f）]， [（2）]

則稱[α（z）]是[f]的[λ]-小函數(shù)（可能除去一個(gè)有窮對(duì)數(shù)測度的例外集）。 式[（2）]的右邊簡記為[Sλ（r， f）]。記[Φn= ][L（z ， f）-αfn][， n≥1]。

定理F［8］554 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的整函數(shù)，[α（?0）]和[β]是[fz]的[λ]-小函數(shù)，則[Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λΦn-β=ρ]。

定理G［8］554 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，[d]是[fz]的有窮非零的Borel例外值，[α]是非零常數(shù)，[β，bjj=0， 1， …， m]是[fz]的[λ]-小整函數(shù)。

[（i）] 若[β?d0≤j≤mkj=0bj-αd2]，則[Φ2-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λΦ2-β=ρ]。

[（ii）] 若[β≡d0≤j≤mkj=0bj-αd2]，則下列兩種情況之一成立：

[（a）][" β]是[Φ2]的一個(gè)Borel例外小函數(shù)，且

[β-Φ2f-d2=α=L（z， f）-αd2-β2df-d]。

[b][" Φ2-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且

[Nr，1Φ2-β=Tr， f+Sλr， f]。

定理H［8］555 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，且[0]是[fz]的Borel例外值。設(shè)[α]是非零常數(shù)，[β]是[fz]的[λ]-小整函數(shù)，則[λΦ2-β=ρ]。 特別地，當(dāng)[β≡0]時(shí)有

[Nr， 1Φ2=Tr， f+Sλr， f]。

受文獻(xiàn)［7-8］的啟發(fā)，本文考慮時(shí)滯微分多項(xiàng)式[L（z， f）-Pn（f）-β]的零點(diǎn)分布問題，其中[L（z， f）]是由式[（1）]定義的線性時(shí)滯微分多項(xiàng)式，[Pn（f）] =[ i=1nαifi，][ αn?0， ][…，] [ α1]均為[f]的小函數(shù)。以下記[Φn=Lz， f-Pnf]，[n≥2]。我們將定理E和定理F改進(jìn)為：

定理1 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，若[Nr， 1Pn（f）≤tNr， 1f]，則當(dāng)[n≥t+3]時(shí)[Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)。

如果去掉定理1中的條件[Nr， 1Pn（f）≤tNr， 1f]，改為研究具有一個(gè)有窮非零Borel例外值的情況，則得到定理G的如下改進(jìn)。

定理2 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，[d]是[fz]的有窮非零Borel例外值，則有：

[i] 若[β?d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk]，那么[Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且

[λΦn-β=ρ]，[" " " "Nr，1Φn-β=nTr，" f+Sr，" f]。

[ii] 若[β≡d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk]，那么下述情況之一成立。

[a][" Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λΦn-β=ρf]。

[b][" β]是[Φn]的一個(gè)[Borel]例外小函數(shù)。

定理H可改進(jìn)為：

定理3 設(shè)[fz]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，0是[fz]的一個(gè)Borel例外值，則有：

[i] 若[β?0]，那么[Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λΦn-β=ρf]。

[ii] 若[β≡0]，那么下述情況之一成立：

[a] 若[Lz， f-α1f， α2， …， αn-1]不全恒為0，那么[Φn-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)，且[λΦn-β=ρf]。

[b] 若[Lz， f-α1f， α2， …， αn-1]全恒為0，那么[β]是[Φn]的一個(gè)Borel例外小函數(shù)。

1" " 輔助結(jié)果

我們先介紹整函數(shù)具有有窮Borel例外值時(shí)的性質(zhì)。

引理1［9］ 設(shè)[f]是一個(gè)具有有窮Borel例外值c的有窮級(jí)整函數(shù)，則存在整函數(shù)[h（z）]和多項(xiàng)式[P（z）]，其中[ρhlt;ρf]，[deg（P）=ρf]，使得 [f（z）=hzePz+c]。

引理2［3］82 設(shè)[fj（z）j=1， 2， …， n+1]和[gj（z）j=1， 2， …， nn≥1]是整函數(shù)，且滿足條件

（1） [j=1n fj（z） egj（z）≡fn+1（z）]；

（2）當(dāng)[1≤j≤n+1， 1≤k≤n]時(shí)[fj（z）]的級(jí)小于[egk（z）]的級(jí)。在[n≥2]的情形，當(dāng)[1≤j≤n+1]，[1≤hlt;k≤n]時(shí)[fj（z）]的級(jí)也小于[egh（z）-gk（z）]的級(jí)。

則

[fj（z）≡0]，" " "[ j=1， 2， …， n+1]。

引理3［10］ 設(shè)[f][ （z）是亞純函數(shù)]， [ρ2（f）lt;1]，[c是非零復(fù)常數(shù)]，則有

[Tr， fz+c=Tr， fz+Sr， f]。

引理4［11］15 設(shè)[f][ （z）]是超越亞純函， [ρ2（f）lt;1]，則

[m（r，fk（z+c）f（z））=S（r， f）]，

可能除去一個(gè)關(guān)于r的對(duì)數(shù)測度有窮的集合。

引理5［11］5" 設(shè)[f][ （z）]是超越亞純函，[ρ2（f）lt;1]，則對(duì)任意正整數(shù)k都有

[Tr， fk≤k+1Tr， f+Sr， f]，

可能除去一個(gè)關(guān)于r的對(duì)數(shù)測度有窮的集合。

引理6 設(shè)[f（z）]是有窮級(jí)[ρ]的整函數(shù)，[α1]，[…]，[αn ?0]，[β]是[f]的小函數(shù)，定義[Φn=][ Lz， f-P（f）n≥2]，那么[Φn-β]是超越的，且[ρΦn-β=ρf]。

證明 先證明[Φn-β]是超越的。 假設(shè)[Φn-β=Rz]是有理函數(shù)，則有[i=1nαifi=Lz， f-β-R（z）]。由引理4和Valiron-Mohon′ko定理得

[nT（r， f）+S（r， f）=T（r，i=1nαifi）≤T（r， Lz， f）+S（r， f）=" " " " " " " " " " "m（r， Lz， f）+S（r， f）≤m（r， Lz， ff）+m（r， f）+S（r， f）≤" " " " " " " " " " j=0mm（r， f（kj）z+cjf）+m（r， f）+S（r， f）≤T（r， f）+S（r， f） ，]

由[n≥2]可導(dǎo)出矛盾。

接下來證明[ρΦn-β=ρf]。 由引理4得

[T（r， Φn-β）=T（r， Lz，" f-i=1nαifi-β）≤T（r， i=1nαifi）+T（r， Lz，" f）+S（r，" f）≤" " " " " " " " " "nT（r，" f）+m（r，" Lz，" ff）+m（r，" f）+S（r，" f）=（n+1）T（r，" f）+S（r， f） ，" " " " " " " " " "（3）]

[T（r， Φn-β）=T（r， Lz，" f-i=1nαifi-β）≥T（r， i=1nαifi）-T（r， Lz， f）+S（r， f）≥" " " " " " " " " nT（r，" f）-m（r， Lz，" ff）-m（r，" f）+S（r，" f）=（n-1）T（r，" f）+S（r，" f） 。" " " " " " " " " " （4）]

結(jié)合式[（3）]與式[（4）]便得[ρΦn-β=ρf]。

下面我們給出指數(shù)多項(xiàng)式的相關(guān)性質(zhì)。

引理7［12］ 設(shè)[p1][（z）]，[…]，[ pm][（z）]均為非零多項(xiàng)式，其最高次項(xiàng)依次為[α1zq1]，[…]，[αmzqm]，且它們互不相同。令[q=min]{[q1]，[…]，[qm]}，[q0=max]{[q1]，[…]，[qm]}。設(shè)[G（z）=][ D0z][ +D1zep1（z）+…+Dmzepm（z）]，其中[D0][（z）]，[D1][（z）]，[…]，[Dm][（z）]均為增長級(jí)小于[q]的亞純函數(shù)，且[Dj（z）?0j=1， …， m]，則有：

1） 存在正數(shù)[a1lt;a2]，使得[a1rq0≤Tr， G≤a2rq0]，[r→∞]。

2） 如果[D0（z）?0]，那么[mr， 1G=orq0]，[r→∞]。

3） 如果[D0（z）≡0， m≥2]，那么存在正數(shù)[b1lt;b2]，使得

[b1rq0≤Nr， 1G≤b2rq0]，" "[r→∞]。

引理8 設(shè)[f（z）]是有窮級(jí)[ρ]的超越整函數(shù)，且0是[f（z）]的Borel例外值，則[T（r， ff）=Sr， f]。

證明 顯然有[m（r，ff）=Sr， f]，下證[N（r， ff）=Sr， f]。 由于0是[f（z）]的一個(gè)Borel例外值，故由引理1得[f（z）=hzePz]，其中[h（z）]是整函數(shù)，[λf=ρhlt;ρf]，[deg（P）=ρf]。從而有[ff=hh+P]，因此

[Nr，" ff=Nr，" hh+P≤Nr， h+Nr， 1h+Nr， P=Sr，" f]，

故[T（r， ff）=m（r，" ff）+N（r， ff）=Sr，" f]。

2" " 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 設(shè)[G（z）=L（z， f）-βPn（f）]，則由Valiron-Mohon'ko定理有

[nTr， f+S（r， f）=Tr， Pnf=T（r， Lz， f-βGz）≤Tr， G（z）+T（r， L）+T（r， β）+S（r， f）≤]

[ Tr， G（z）+m（r， Lf）+mr， f+Sr， f≤Tr， G（z）+Tr，" f+S（r，" f），] （5）

并且

[Nr， Gz≤Nr， 1Pnf+Nr， L-β=Nr， 1Pnf+Sr， f]，（6）

[Nr， 1G（z）≤Nr， Pnf+N（r， 1L-β）≤T（r， L）+Sr， f≤]

[" "m（r， Lf）+mr， f+Sr， f≤Tr， f+Sr， f。]" " "（7）

由式[（6）]和式[（7）]，并結(jié)合Nevanlinna第二基本定理，得

[Tr， Gz≤Nr， Gz+Nr， 1Gz+Nr， 1Gz-1+S（r， f）≤Nr， 1Pnf+Tr， f+Nr， 1Gz-1+Sr， f≤ ]

[tNr， 1f+Tr， f+Nr， 1Gz-1+Sr， f。] （8）

將式[（8）]代入式[（5）]，得

[nTr， f≤Tr， G（z）+Tr， f+S（r， f）≤tNr， 1f+2Tr， f+Nr，1Gz-1+Sr， f≤]

[（t+2）Tr，" f+Nr， 1Gz-1+Sr， f。] （9）

由式[（9）]和[G（z）=L（z，" f）-βPn（f）]得

[（n-t-2）Tr， f≤Nr， 1G（z）-1+Sr， f≤Nr， 1L（z，" f）-Pn（f）-β+Sr，" f。]

因此，當(dāng)[n≥t+3]時(shí)，[L（z， f）-Pn（f）-β]有無窮多個(gè)零點(diǎn)。

定理2的證明 設(shè)[d]是[fz]的Borel例外值，由引理1知

[fz=d+Heazρ，]" （10）

其中[a]是非零復(fù)常數(shù)，[ρ=ρf≥1]是一個(gè)整數(shù)，[H]是一個(gè)非零整函數(shù)且[ρHlt;ρ]。于是有

[fz+cj=d+Hz+cjeaz+cjρ=d+Hz+cjeaz+cjρ-azρeazρ=d+Hz+cjHeazρ，]" " " " （11）

其中[H=eaz+cjρ-azρ]。 結(jié)合引理3得[ρHz+cjHlt;ρ]。 對(duì)于[kjgt;0]，通過迭代微分得

[fkjz+cj=d+Hz+cjeaz+cjρkj][=dkj+Hz+cjeaz+cjρkj= ][Hcj，kjeaz+cjρ=Hcj，kjHeazρ，] （12）

其中[Hcj，kj]是關(guān)于[Hz+cj]和[az+cjρ]的微分多項(xiàng)式。結(jié)合引理5得[ρHcj，kjHlt;ρ]。

注意到

[Lz， f=0≤j≤mkj=0bjzfz+cj+0≤j≤mkjgt;0bjzfkjz+cj，]" （13）

結(jié)合式[（11）～（13）]，得

[Lz，" f=0≤j≤mkj=0bjzd+Hz+cjHeaz ρ+0≤j≤mkjgt;0bjzHcj，kjHeaz ρ=eaz ρ0≤j≤mkj=0bjzHz+cjH+eaz ρ0≤j≤mkjgt;0bjzHcj，kjH+0≤j≤mkj=0bjzd。]" "[（14）]

結(jié)合式[（10）]與式[（14）]，得

[Φn-β=Lz， f-i=1nαifi-β= eaz ρ0≤j≤mkj=0bjzHz+cjH+eaz ρ0≤j≤mkjgt;0bjzHcj， kjH+d0≤j≤mkj=0bjz-i=1nαid+Heaz ρi-β=]

[ γzeaz ρ-k=1nt=knαtCktdt-kHkekaz ρ+d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk-β，] （15）

其中[γz=0≤j≤mkj=0bjzHz+cjH+0≤j≤mkjgt;0bjzHcj， kjH。]故[ργzlt;ρ]。

[i" ][β?d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk]。假設(shè)[λΦn-βlt;ρf=ρΦn-β=ρ]，即[β]是[Φn]的Borel例外小函數(shù)，則

[Φn=β+H?ebz ρ，]" " " "[（16）]

其中[b]是非零常數(shù)，[H?]是不恒為0的整函數(shù)且[ρH?lt;ρ]。結(jié)合式[（15）]與式[（16）]，有

[H?ebz ρ=γzeaz ρ-k=1nt=knαtCktdt-kHkekaz ρ+d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk-β。] " " " " "[（17）]

在[（17）]中，通過應(yīng)用引理2有[d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk-β≡0]，矛盾，故[λΦn-β=ρf]。 同時(shí)，應(yīng)用引理7于[（15）]中，有

[a1r ρ≤Tr， Φn-β≤a2rρ]， [mr， 1Φn-β=orρ=Sr， Φn] ，" "[r→∞]，

其中[a1lt;a2]均為正數(shù)。

由Nevanlinna第一基本定理、引理5和Valiron-Mohon'ko定理得

[Nr， 1Φn-β+Sr， Φn=Tr， Φn=nTr， eazρ+Sr，" f=nTr，" f+Sr，" f。]

[ii][" β≡d0≤j≤mkj=0bjz-k=1nαkdk]。我們注意到

[Φn-β=γz-η1eazρ-k=2nηkekazρ，]" [（18）]

其中[ηk=t=knαtCktdt-kHk]，k = 1，2，…，n。

下面分兩種情況討論。

情況1 [γz-η1]，[η2]，[η3]，[…]，[ηn]中至少有兩項(xiàng)不恒為0。此時(shí)由引理7，存在正數(shù)[a1lt;a2]和[b1lt;b2]，使得

[a1rρ≤Tr， Φn-β≤a2rρ]，[" b1rρ≤Nr，1Φn-β≤b2rρ]，" [r→∞]。

故[λΦn-β=ρΦn-β=ρf]。

情況2" [γz-η1]，[η2]，[η3]，[…]，[ηn]中只有一項(xiàng)不恒為0，即[ηn=αnHn?0]。 此時(shí)式[（18）]為

[Φn-β=αnHnenazρ。]

故[λΦn-β=ραnHnlt;ρf]。 因此[ β]是[Φn]的Borel例外小函數(shù)。因?yàn)閇αn?0]，所以不存在其他情況，證畢。

定理3的證明" （i） [β?0]。假設(shè)[λΦn-βlt;ρf]，則由引理1知

[Φn-β=Lz， f-i=1nαifi-β=HeP，]" " " " " " " " " " " " " " [（19）]

其中[H]是[f]的非零小函數(shù)，[P]是一個(gè)多項(xiàng)式且[deg（P）=ρf]。

對(duì)式[（19）]的兩邊微分，消去[eP]，得

[fnQz，" f=Gz，" f，]" " " " " " " " " " " " " " [（20）]

其中

[Qz， f=HH+Pαn-αn′-nαnff，]

[Gz， f=i=1n-1iαif fi-1-i=1n-1HH+Pαi-αi′fi+HH+PL-β+β-L。]

情況1 [Qz， f≡0]。此時(shí)[αnfn=cHeP]，代入[（19）]得

[L-i=1n-1αifi-β=1+1cαnfn。] [（21）]

情況1.1 [c=-1]。此時(shí)[L-β=i=1n-1αifi]，其中[αk?01≤k≤n-1]，但是[αk+1，][ αk+2，][ …， αn-1]全恒為0。再分以下3種情況討論。

情況1.1.1 [k≥2]。此時(shí)有

[kT（r， f）+S（r， f）=T（r，i=1n-1αifi）=T（r， L-β）≤T（r， L）+T（r， β）+S（r， f）≤" " " " " " "m（r，" Lf）+m（r， f）+S（r， f）≤T（r， f）+S（r， f）。]

由[k≥2]可導(dǎo)出矛盾。

情況1.1.2 [k=1]。此時(shí)式[（21）]為[L-α1f=β]，因?yàn)閇β?0]，由引理3和引理5，[ρ=ρL-α1f=ρβlt;ρ]，矛盾。

情況1.1.3 [αi≡0i=1， …， n-1]。此時(shí)式[（21）]為[L=β]，同情況1.1.2可得矛盾。

情況1.2 [c≠-1]。此時(shí)[L-β=1+1cαnfn+i=1n-1αifi]，于是有

[nT（r， f）+S（r， f）=T（r， 1+1cαnfn+i=1n-1αifi）=T（r， L-β）≤T（r， L）+S（r， f）≤m（r， Lf）+m（r， f）+S（r， f）≤T（r， f）+S（r， f）。]

由[n≥2]可導(dǎo)出矛盾。

情況2" [Qz， f?0]。 設(shè)[E1（r）=z：z=r?z：f（z）≤1]，則有[12πE1（r）log+f=S（r， f）]。

對(duì)于[z∈E2（r）=z：z=r＼E1（r）]，由式[（20）]有

[f=Gz， ffn-1Q（z， f）≤]

[1Q（z， f）i=1n-1iαifffi-n+1+i=1n-1HH+Pαi-αi′fi-n+1+H/H+PL-β+β-Lfn-1≤1Q（z， f）i=1n-1iαiff+i=1n-1HH+Pαi-αi′+HH+PL-β+β-L。]

由引理8有

[12πE2log+f≤12π02πl(wèi)og+1Q（z， f）dθ+12πi=1n-102πl(wèi)og+iαiffdθ+12πi=1n-102πl(wèi)og+HH+Pαi-αi′dθ + 12π02πl(wèi)og+HH+PL-β+β-Ldθ+Ο1=S（r， f）。]

于是[T（r， f）=m（r， f）=12πE1（r）log+f+12πE2（r）log+f=S（r， f）]，矛盾。

（ii） [β≡0]。 使用類似定理2的證明方法，由[d=0]及式[（15）]可得

[Φn-β=γz-α1Heaz ρ-k=2nαkHkekaz ρ，]

其中[γz=j∈I1bjzHz+cjH+j∈I2bjzHcj，kjH。]

情況1" [Lz， f-α1f， α2， …， αn-1]不全恒為0。注意[Lz， f≡α1f]即[γzH-α1≡0]。 如果[λΦn-βlt;ρf]，那么有

[Φn-β=γz-α1Heaz ρ-k=2nαkHkekaz ρ=H?ebz ρ，]

再由引理2得[αn≡0]，矛盾。所以[λΦn-β=ρf]。

情況2 [Lz， f-α1f， α2， …， αn-1]全恒為0。 此時(shí)有

[Φn-β=αnHnenaz ρ，]

故[λΦn-β=ραnHnlt;ρf]，因此[β]是[Φn]的Borel例外小函數(shù)。

證畢。

3" " 結(jié)束語

Hayman猜想激發(fā)了眾多學(xué)者研究復(fù)函數(shù)的零點(diǎn)分布問題。本文在前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，運(yùn)用亞純函數(shù)Nevanlinna理論和微差分值分布理論，并結(jié)合Hadamard分解定理和Clunie引理，研究了具有Borel例外值的整函數(shù)的一類時(shí)滯微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問題，證明這類多項(xiàng)式在一定條件下有無窮多個(gè)零點(diǎn)。后續(xù)研究將圍繞如下幾個(gè)問題：

1） 能否將研究范圍由有窮級(jí)的函數(shù)擴(kuò)展到無窮級(jí)的函數(shù)？

2） 能否將研究對(duì)象由整函數(shù)擴(kuò)展為更一般的亞純函數(shù)？

3） 能否將定理2和定理3中的具有Borel例外值的函數(shù)換成一般函數(shù)？

4） 定理2和定理3中的條件“具有Borel例外值”能否去掉？

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊樂.值分布論及其新研究［M］. 北京：科學(xué)出版社，1982.

［2］ HAYMAN W K. Meromorphic functions［M］. Oxford：Clarendon Press，1964.

［3］ 儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論［M］. 北京：科學(xué)出版社，1995.

［4］ HAYMAN W K. Picard values of meromorphic functions and their derivatives［J］. Annals of mathematics（second series），1959，70：9-42.

［5］ ZHENG X M，CHEN Z X. On the value distribution of some difference polynomials［J］. Journal of mathematical analysis and applications，2013，397（2）：814-821.

［6］ LIU Y，YI H X. Properties of some difference polynomials［J］. Proceedings of the Japan academy（series A），2013，89（2）.

［7］ 龍見仁，秦大專. 關(guān)于微分差分多項(xiàng)式零點(diǎn)分布的幾個(gè)結(jié)果［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，44（5）.

［8］ LI N，YANG L Z. On value distribution of certain delay-differential polynomials［J］. Science society Thailand，2023，49（4）.

［9］ LONG J R. Growth of solutions of second order complex linear differential equations with entire coefficients［J］. Filomat，2018，32（1）：275-284.

［10］ KORHONE R. An extension of Picard′s theorem for meromorphic functions of small hyper-order［J］. Journal of mathematical analysis and applications，2009，357：244-253.

［11］ LIU K，LAINE I，YANG L Z. Complex delay-differential equations［M］. Berlin：De Gruyter，2021.

［12］ ZHU M，CHEN J F. On meromorphic solutions of nonlinear complex difference equations［J］. Bulletin of the Malaysian mathematical sciences society，2023，46（6）：181.

［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2024-01-12

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金地區(qū)基金項(xiàng)目“復(fù)方程理論與復(fù)差分的輻角分布”（12261023）；國家自然科學(xué)基金地區(qū)基金項(xiàng)目“復(fù)微分方程、差分方程及差分值分布”（11861023）

通信作者：龍見仁，博士，貴州師范大學(xué)教授，博士研究生導(dǎo)師，電子郵箱為longjianren2004@163.com。