摘 要： Je?manowicz猜想丟番圖方程[anx+bny=cnz]的正整數(shù)解只有（x，y，z） = （2，2，2），其中（[a]，b，c）是本原的畢達(dá)哥拉斯數(shù)組。該文運(yùn)用同余、奇偶分析和2-adic等初等方法，證明了該猜想在（[a]，b，c） [=] （4194303，4096，4194305）時(shí)是成立的。

關(guān)鍵詞：Je?manowicz猜想；丟番圖方程；同余；奇偶分析；2-adic

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0" " 引言

不定方程的求解是一類(lèi)古老而有趣的數(shù)論問(wèn)題。早在公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖就系統(tǒng)地研究過(guò)不定方程，因此不定方程又稱(chēng)為丟番圖方程。丟番圖方程的形式是多種多樣的，一般是根據(jù)方程形式的特點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)求解方法。本文對(duì)一類(lèi)特殊的丟番圖方程，運(yùn)用初等數(shù)論的方法確定了其正整數(shù)解。

若正整數(shù)[a]，b，c滿(mǎn)足[a2+b2=c2]，其中b是偶數(shù)，則稱(chēng)（[a]，b，c）是一個(gè)畢達(dá)哥拉斯數(shù)組；進(jìn)一步地，若[a]，b，c還互素，則稱(chēng)（[a]，b，c）是本原的。給定正整數(shù)[n]，有丟番圖方程

[anx+bny=cnz，] （1）

它顯然有平凡的正整數(shù)解（x，y，z） = （2，2，2）。1956年Sierpinski［1］證明，當(dāng)（[a]，b，c）[ =] （3，4，5） 時(shí)，方程（1）對(duì)任意正整數(shù)n都只有平凡的正整數(shù)解；同年Je?manowicz［2］證明上述結(jié)論也適用于情形（[a]，b，c）[ =] （5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），進(jìn)而猜想方程（1）對(duì)任意正整數(shù)n都只有平凡的正整數(shù)解。

近年來(lái)的研究已陸續(xù)證實(shí)很多畢達(dá)哥拉斯數(shù)組都使得Je?manowicz猜想成立，具體見(jiàn)表1。

2014年袁平之等［18］研究了當(dāng)[a]，b，c滿(mǎn)足一些同余性時(shí)該猜想成立的情形。2015年Miyazaki ［19］研究了（a， b， c） = （2k-1， 2k， 2k + 1）時(shí)該猜想成立的情形。2017年楊海等［20］證明，當(dāng)[n≥2]時(shí)，方程（1）不存在滿(mǎn)足[maxx， ygt;][ minx， ygt;z]的解[（x， y， z） ]，特別地，對(duì)[（a， b， c）= ][p2-4， 4p， p2+4]，不存在滿(mǎn)足[xgt;zgt;y]的解（x，y，z）。2023年鄧乃娟［21］研究了當(dāng)[n≥2]時(shí)丟番圖方程[mm4-10m2+5nx+5m4-10m2+1ny=m2+1z]的正整數(shù)解。

本文研究方程（1）在[（a， b， c）] [= ]（4194303，4096，4194305）時(shí)的情形，得到如下結(jié)果。

定理1 對(duì)任意正整數(shù)[n]，方程

[4194303nx+4096ny=4194305nz] （2）

只有平凡的正整數(shù)解（x，y，z） = （2，2，2）。

1" "若干引理

為證明定理1，我們先敘述一些重要的引理。

引理1［3］517 設(shè)[a， b， c是畢達(dá)哥拉斯數(shù)組]，則方程[ax+by=cz]的滿(mǎn)足條件[z≥maxx，y]的正整數(shù)解只有[x， y， z=2， 2， 2]。

引理2［22］ 設(shè)畢達(dá)哥拉斯數(shù)組（a，b，c）形如（[t2-1， 2t]，[t2+1]），其中t為正整數(shù)，則方程[ax+by= ][cz]有唯一的正整數(shù)解[x， y， z=2， 2， 2]。

引理3［23］ 如果[x， y， z]是方程（1）的非平凡的正整數(shù)解，則必有

（i） [zgt;2]；" " （ii） [maxx， ygt;z]；" " （iii） [zgt;maxx2， y2]。

引理4［24］ 設(shè)[a， b， c]是畢達(dá)哥拉斯數(shù)組，如果方程[ax+by=cz]只有平凡的正整數(shù)解[x， y， z=2， 2， 2]，那么方程（1）不存在滿(mǎn)足[xgt;zgt;y]或[ygt;zgt;x]的非平凡解。

引理5［25］ 設(shè)整數(shù)[z≥4]，則：

（i） 方程[P4+Q2=Rz]沒(méi)有滿(mǎn)足[gcdP， Q=1]的非零整數(shù)解[P， Q， R]。

（ii）方程[P4+2Q2=Rz]沒(méi)有滿(mǎn)足[gcdP， Q=1]且[z≠5]的非零整數(shù)解[P， Q， R]。如果[z=5]，則該方程僅有正整數(shù)解[P， Q， R=1， 11， 3]。

2" " "定理1的證明

引理2表明，方程（2）當(dāng)[n=1]時(shí)沒(méi)有非平凡解。假設(shè)方程（2）在[n≥2]時(shí)有非平凡的正整數(shù)解[x， y， z]，則由引理1和引理3知2 lt; [zlt;maxx，y]。由引理4得[xgt;zgt;y]或[ygt;zgt;x]。

情形1" [ygt;zgt;x]

將方程（2）化為

[4194303x=nz-x4194305z-4096yny-z。] （3）

方法一

（1） 當(dāng)n與4194303互素時(shí)，有[z-x=0]，即[z=x]，矛盾。

（2）當(dāng)n與4194303不互素時(shí)，因[4194303=3×23×89×683]，可令[n=3p23q89r][683sn1]，其中[4194303， n1=1]且[p+q+r+s≥1]。由（3）可得

[4194303=3pz-x23qz-x89rz-x683sz-xn1z-x 4194305z-4096y3py-z23qy-z89ry-z683sy-zn1y-z。]

因此有[pz-x=qz-x=rz-x=sz-x=x]。由上式可得

[1=n1z-x4194305z-4096y4194303ry-zn1y-z。]

因此[n1=1]，于是有[4096y4194303ry-z=4194305z-1]，模3得

[4096y][4194303ry-z+1≡1mod 3，4194305z≡-1zmod 3]，

故有

[-1z3=4194305z3=4096y4194303ry-z+13=13=1]。

當(dāng)[z]為奇數(shù)時(shí)，由上式得[-1=1]，不可能。故令[z=2z1]，進(jìn)而有

[4096y4194303ry-z=4194305z1+14194305z1-1]。

注意到[4194305z1+1， 4194305z1-1=2]，故[4096y2 4194305z1-1]；但又有

[4096ygt;4096z=40962z1=16777216z1gt;2?4194305+1z1gt;" " " " " " " " " " " " "2?4194305z1+1gt;2?4194305z1-1，]

從而矛盾。

方法二

由[gcd4194303， 4194305=1]可得[gcdnz-x， 4194305z-4096yny-z=1]，于是有

[nz-x=ax1，4194305z-4096yny-z=ax2，a1a2=a，" "gcda1， a2=1。] （4）

如果[a2=1]，則由（4）可知

[4096yny-z=4194305z-1。] （5）

因?yàn)閇4194305≡1mod 222]，[n]為奇數(shù)，故有

[12y=v24194305z-1=22+v2z，] （6）

其中[v2]（k）表示k的2-adic值。從而[12y- ][22=v2z≤logzlog2lt;logylog2]，與[y≥3]矛盾，因此[a2gt;1]。由于[n≥2]為奇數(shù)，所以[n≥3]，再由方程（4）的第一式可知[a1≥3]為奇數(shù)。

接下來(lái)證明[x]和z均為偶數(shù)。注意到[4194305≡1mod 222，4096y≡0mod 222，]由（4）中的等式[4194305z-4096yny-z=ax2]得[ax2≡1mod 222]。因[a2gt;1]，有[ax2-1gt;0]，從而

[v2ax2-1≥22。] （7）

考慮（7）的左邊的上界。設(shè)[ε=±1]，那么[a2≡εmod 4]。如果[ε=1]，則[v2ax2-1=v2a2-1+v2x]，如果[ε=-1]，則由[4194305z-][4096yny-z=ax2]得[-1x≡1mod 4]，于是x 是偶數(shù)，故

[v2ax2-1=v2a22x/2-1=v2a22-1+v2x/2=v2a2+1+v2x。]

注意到[a=a1a2=4194303]，有

[" 22≤v2ax2-1≤v2a2-ε+v2x≤loga2-εlog2+v2x≤loga2-εlog2 loga/3+1log2+v2x=20+v2x。]

因此[v2x≥2]，從而有[4x]。

最后證明z是偶數(shù)。假設(shè)[z]是奇數(shù)，則由（4）中的等式[nz-x=ax1]知[n]是平方數(shù)，于是由（4）可得

[ax/424+4096yn（y-z）/22=4194305z]。

由引理5可得上述方程中[z≤3]，然而這與[zgt;x]且[4x]矛盾。由方程（4）中的[4194305z-4096yny-z=ax2]可得

[4194305z/2+ax/224194305z/2-ax/22≡0mod 212。] （8）

由于[4194305z/2+ax/22≡2mod 4]，[4194305z/2-ax/22≡0mod 4]，所以[212y-1" ][4194305z/2-ax/22]，因此有

[212y-1≤4194305z/2lt;2?4194305z/2lt;2?4194305y/2]。

于是

[212y-1≤4194305z/2lt;2?4194305z/2lt;2?4194305y/2=2?222+1y/2lt;223y/2+1，]

故[12y-1lt;23y2+1]，從而[ylt;4]，這與[ygt;zgt;x≥4]矛盾。

情形2" [ xgt;zgt;y]

此時(shí)方程（1）可化為

[4096y=nz-y4194305z-4194303xnx-z。] （9）

當(dāng)n與4096互素時(shí)有[z-y=0]，即[z=y]，矛盾。

設(shè)n與4096不互素。因[4096=212]，可令[n=2tn2]，其中n2與4096互素。由（9）得

[4096y=2tz-ynz-y24194305z-4194303x2tx-znx-z2]，

因此有[tz-y=12y]，從而有

[1=nz-y24194305z-4194303x4096t（x-z）/12nx-z2。]

故[n2=1]，進(jìn)而[4194303x4096t（x-z）/12=4194305z-1]，模3得

[4194303x][4096t（x-z）/12+1≡1mod 3，4194305z≡-1zmod 3]，

故有

[-1z3=4194305z3=4194303x4096t（x-z）/12+13=13=1]。

若[z]為奇數(shù)，則由上式得[-1=1]，矛盾。令[z=2z2]，則根據(jù)方程（9）得

[2tx-z?3x?23x?89x?683x=41943052z2-1。] （10）

而[4194305+1=2?32?43?5419]，故[541941943052z2-1]，但[5419?2tx-z?3x?23x?] [89x?683x]，矛盾。

定理1得證。

3" " 結(jié)束語(yǔ)

Je?manowicz猜想是一個(gè)著名的猜想，它一直以來(lái)吸引著眾多數(shù)論學(xué)者，相關(guān)的研究成果頗為豐富。但迄今為止，這個(gè)猜想仍是一個(gè)遠(yuǎn)未解決的數(shù)論難題。本文在充分借鑒前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，運(yùn)用同余、奇偶分析和2-adic等初等數(shù)論的方法，證明了方程（2）對(duì)任意正整數(shù)n都只有平凡的正整數(shù)解[（x， y， z）=（2， 2， 2）]。接下來(lái)可以考慮的問(wèn)題是：

1） 對(duì)于方程（2），能否用不同的方法（初等的或非初等的）證明它只有平凡的正整數(shù)解？

2） 方程（1）在[b=2][p]（p為素?cái)?shù)）時(shí)的情況是怎樣的，是否也只有平凡的正整數(shù)解？

參考文獻(xiàn)：

［1］ SIERPINSKI W. On the equation [3x+4y=5z]［J］. Wiadomosci matematyczne，1955（1）： 194-195.

［2］ JE?MANOWICZ Z L. Severa lremark son Pythagorean numbers［J］. Wiadomosci matematyczne，1955（1）： 196-202.

［3］DENG M J，COHEN G L. On the conjecture of Je?manowicz concerning Pythagorean triples［J］. Bulletin of the Australian mathematical society，1998，57.

［4］ 鄧謀杰. 關(guān)于丟番圖方程[13nx+84ny=85nz] ［J］. 黑龍江農(nóng)墾師專(zhuān)學(xué)報(bào)，1999（3）： 40-41.

［5］ 鄧謀杰. 關(guān)于丟番圖方程[15nx+112ny=113nz]［J］. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（5）： 617-620.

［6］ 車(chē)慧. 關(guān)于不定方程[21nx+220ny=221nz]［D］. 重慶： 西南大學(xué)，2011.

［7］ YANG Z J，TANG M. On the Diophantine equation [8nx+15ny=17nz]［J］. Bulletin of the Australian mathematical society，2012，86（2）： 348-352.

［8］ 楊志娟，翁建欣. 關(guān)于丟番圖方程[12nx+35ny=37nz]［J］. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，28（5）： 698-704.

［9］ CHENG Z，SUN C F，DU X N. On the Diophantine equation [20nx+21ny=][" 29nz]［J］. Mathematica applicata，2013，26（1）： 129-133.

［10］ SUN C F，CHENG Z. A note on the Je?manowicz' conjecture［J］. Journal of mathematics，2013，33（5）： 788-794.

［11］ SUN C F，CHENG Z. A conjecture of Je?manowicz' concerning Pythagorean triples［J］. 數(shù)學(xué)進(jìn)展，2014，43（2）： 267-275.

［12］ 馬米米，吳建東. 關(guān)于丟番圖方程[65nx+72ny=97nz]［J］. 南京師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，37（4）： 28-30.

［13］ 冉銀霞. 關(guān)于丟番圖方程[44nx+117ny=125nz]［J］. 南寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，38（3）： 26-30.

［14］ 李益孟. 關(guān)于丟番圖方程[48nx+55ny=73nz]［J］. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，35（2）： 27-30.

［15］ 崔保軍. 關(guān)于丟番圖方程[60nx+91ny=109nz]［J］. 廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，36（2）： 43-46.

［16］ 冉銀霞. 關(guān)于丟番圖方程[24nx+143ny=145nz]［J］. 四川輕化工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，34（2）： 89-94.

［17］ 崔保軍. 關(guān)于丟番圖方程[136nx+273ny=305nz]［J］. 南寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，39（4）： 10-13.

［18］ MIYAZAKI T，YUAN P Z，WU D Y. Generalizations of classical results on Je?manowicz' conjecture concerning Pythagorean triples II［J］. Number theory，2014，141（1）： 184-201.

［19］ MIYAZAKI T. A remark on Je?manowicz' conjecture for the non-coprimality case［J］. Acta mathematica Sinica（English series），2015，31（8）： 1255-1260.

［20］ 楊海，任榮珍，付瑞琴. 關(guān)于商高數(shù)的Je?manowicz猜想［J］. 數(shù)學(xué)雜志，2017，37（3）： 506-512.

［21］ 鄧乃娟. 丟番圖方程[anx+bny=cnz， a2+b2=c5]［J］. 南寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，40（3）： 10-14.

［22］ LU W T. On the Pythagorean numbers [4n2-1， 4n] and [4n2+1]［J］. Acta Scientiarum naturalium universitatis szechuan，1959，2： 39-42.

［23］ 樂(lè)茂華. 關(guān)于本原Pythagorean數(shù)組的Je?manowicz猜想［J］. 湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，26（2）： 121-122.

［24］ DENG M J. A note on the Diophantine equation [nax+nby=ncz]［J］. Bulletin of the Australian mathematical society，2014，89（2）： 316-321.

［25］ BENNETT M A，ELLENBERG J S，NG N C. The Diophantine equation [A4+] [2δB2=Cn]［J］. International journal of number theory，2010，6： 311-338.

［責(zé)任編輯：彭喻振］

收稿日期：2024-02-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“關(guān)于Dedekind和的混合均值與互反公式的研究”（11226038）；陜西省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“幾類(lèi)橢圓曲線整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題的研究”（2021JM443）；陜西省數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)論中兩類(lèi)經(jīng)典指數(shù)不定方程的研究”（23JSY042）

通信作者：楊海，博士，西安工程大學(xué)教授，電子郵箱為xpuyhai@163.com。