一、學(xué)前測(cè)試及分析

五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前基本掌握了平面圖形的特征，明確了面積的意義，經(jīng)歷了長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，積累了一定的動(dòng)手操作能力和推理意識(shí)。在推導(dǎo)過(guò)程中，基本掌握了通過(guò)數(shù)格子（1 cm2）等方法可以得出圖形的面積。但之后一年多較少涉及面積知識(shí)，學(xué)生的基礎(chǔ)怎樣？他們對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解力如何？有必要開(kāi)展一個(gè)知識(shí)前測(cè)便于準(zhǔn)確把握學(xué)情。筆者設(shè)計(jì)了3個(gè)題目（如圖1），分別在城鎮(zhèn)小學(xué)3個(gè)同質(zhì)學(xué)生平行班進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查時(shí)間為教學(xué)此內(nèi)容前10天，要求在5分鐘內(nèi)獨(dú)立完成。調(diào)查結(jié)果如表1所示。

這3個(gè)班級(jí)的學(xué)生分別對(duì)不同要求、不同思維層次的題目進(jìn)行解答，可以從一個(gè)側(cè)面了解平行四邊形面積前概念情況。從調(diào)查的結(jié)果看，大部分學(xué)生不借助方格圖也能通過(guò)自己的測(cè)量求出平行四邊形的面積（約占77.3%），且理由寫(xiě)得比較正確。在題1中可以發(fā)現(xiàn)，約83.7%的學(xué)生采用整體切割的方法進(jìn)行拼組，明顯區(qū)別于教材中“不滿一格都按半格算”這樣數(shù)一數(shù)的方法；而在題2、題3中，大部分學(xué)生也通過(guò)整體剪拼變成長(zhǎng)方形然后求出平行四邊形的面積。因此，筆者認(rèn)為：一是教學(xué)時(shí)可以組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐或借助方格圖引導(dǎo)其自主探究平行四邊形面積，再比較兩種方法的相同點(diǎn)，從而滲透轉(zhuǎn)化思想，感受形狀變了而面積不變的本質(zhì)。

二是根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)較好的實(shí)際，可以把平行四邊形的面積研究得更深入一些，進(jìn)行周長(zhǎng)變了面積不變、面積變了周長(zhǎng)不變的練習(xí)，滲透“變中有不變”的辯證思想。

二、課堂教學(xué)實(shí)踐

環(huán)節(jié)一：遷移已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)認(rèn)知沖突。

課始，出示一個(gè)平行四邊形，設(shè)疑：這是一個(gè)平行四邊形，你已經(jīng)知道了它的哪些知識(shí)？還想知道關(guān)于它的哪些知識(shí)？通過(guò)答疑，學(xué)生想研究平行四邊形的周長(zhǎng)和面積。于是，教師給定平行四邊形的底邊和鄰邊的長(zhǎng)度分別是6 cm和5 cm，學(xué)生快速口答它的周長(zhǎng)是22 cm。隨后，猜測(cè)這個(gè)平行四邊形的面積是多少。

生：平行四邊形的面積是6×5=30（cm2）。

生：不對(duì)，這個(gè)5 cm不是它的高，要求出平行四邊形的面積，需要知道高是多少。

師：如果這個(gè)高是4 cm，面積是多少呢？

生：6×4=24（cm2）。

針對(duì)兩種不同的答案，組織學(xué)生采用方格圖和其他學(xué)具進(jìn)行驗(yàn)證。我們認(rèn)為，這個(gè)環(huán)節(jié)一是可以調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)圖形經(jīng)驗(yàn)，自然地引出求平行四邊形的周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用熟悉的方法進(jìn)行計(jì)算，無(wú)形中促進(jìn)圖形間知識(shí)的遷移；二是在求平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生有認(rèn)知沖突，出現(xiàn)了“底邊×鄰邊”和“底×高”兩種方法，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考；三是借助具象的平行四邊形圖和方格圖，讓學(xué)生經(jīng)歷由猜想到驗(yàn)證的過(guò)程，培養(yǎng)他們的動(dòng)手操作能力和推理意識(shí)。

環(huán)節(jié)二：借助生成資源，推導(dǎo)面積計(jì)算公式。

根據(jù)課前調(diào)查的情況和提供的學(xué)具，學(xué)生一般會(huì)研究出兩種不同的推導(dǎo)思路，可以對(duì)這兩種方法進(jìn)行對(duì)比與分析。在研究的基礎(chǔ)上集中反饋。

反饋一：

生：平行四邊形的面積是24 cm2。我是用數(shù)格子的方法，先數(shù)滿格的，有18格，再把不滿格的拼在一起，拼成6格，一共是24格，面積就是24 cm2。

生：我是這樣數(shù)的，把左邊多的這塊拼到右邊，然后數(shù)一數(shù)每行的格數(shù)，再數(shù)有幾行，然后算一算，總共是24 cm2（如圖2）。

然后讓其他學(xué)生說(shuō)說(shuō)第二位同學(xué)在數(shù)的時(shí)候采用的方法，得出整體切割、平移、拼組的方法，采用“每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=總個(gè)數(shù)”的方法來(lái)計(jì)算面積。

反饋二：

生：我是把這個(gè)平行四邊形沿著高剪開(kāi)，再把它拼成一個(gè)長(zhǎng)6 cm、寬4 cm的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積是24 cm2，平行四邊形的面積也就是24 cm2。

師：在這個(gè)剪拼的過(guò)程中你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：在剪拼的過(guò)程中，平行四邊形變成了長(zhǎng)方形，形狀變了，但是面積不變。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

師：兩種方法都驗(yàn)證了它的面積是24 cm2，也就是底的單位面積個(gè)數(shù)×高的單位面積個(gè)數(shù)，這就是平行四邊形的面積。那數(shù)方格法和剪拼法這兩種方法之間有聯(lián)系嗎？

生：它們都是將左邊多出來(lái)的部分移到右邊，把平行四邊形剪拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，但面積不變。這樣，不僅數(shù)起來(lái)簡(jiǎn)單，計(jì)算起來(lái)也簡(jiǎn)單。

師：是的，這兩種方法背后的道理是一樣的，都用到了“轉(zhuǎn)化”的方法。通過(guò)比較、溝通和聯(lián)系，現(xiàn)在我們知道平行四邊形的面積=底×高（如圖3）。

隨后，組織學(xué)生進(jìn)行兩個(gè)平行四邊形面積的計(jì)算，在計(jì)算的過(guò)程中掌握字母公式和底與高相對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。

這一環(huán)節(jié)主要問(wèn)題是在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)整體數(shù)方格的方法與剪拼法本質(zhì)上是一致的，都是基于對(duì)規(guī)則圖形的度量，同時(shí)第一次讓學(xué)生感受平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程中的“變與不變”。

環(huán)節(jié)三：利用框架演示，感知變與不變。

在課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生猜想出面積是6×5=30（cm2），他們的認(rèn)知困惑在哪里？教學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)又在哪里？教師需要利用這一生成性資源進(jìn)行拓展。接著設(shè)疑：想象一下面積是6×5=30（cm2），這是在計(jì)算怎樣一個(gè)圖形的面積？組織學(xué)生利用框架進(jìn)行演示：將平行四邊形拉成長(zhǎng)方形（如圖4）。

師：觀察剛才的圖形和現(xiàn)在的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)形狀變了，由平行四邊形變成了一個(gè)長(zhǎng)方形。

生：我發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)不變，面積發(fā)生了變化，面積比原來(lái)更大了。

師：如果這個(gè)圖形的周長(zhǎng)不變，面積會(huì)發(fā)生變化嗎？為什么？

生：面積會(huì)發(fā)生變化，因?yàn)楦咭恢痹谧儭?/p>

師：在這個(gè)變化過(guò)程中，什么時(shí)候面積最大？什么時(shí)候又變?。磕阌惺裁聪敕?？

生：當(dāng)拉成長(zhǎng)方形時(shí)面積最大，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候高等于長(zhǎng)方形的寬，是最大的時(shí)候；再拉動(dòng)時(shí)，面積又變小了，因?yàn)楦咦冃×恕?/p>

生：我覺(jué)得平行四邊形的面積變化與高的變化密切相關(guān)。

這是第二次讓學(xué)生感受“變與不變”的規(guī)律，也就是周長(zhǎng)不變，面積發(fā)生變化，其本質(zhì)是小學(xué)階段平行四邊形面積與鄰邊的長(zhǎng)度沒(méi)有直接聯(lián)系，而與高有密切的關(guān)系。

隨后，組織學(xué)生研究面積是24 cm2的平行四邊形還會(huì)有怎樣的形狀，也就是等底等高的平行四邊形（面積相等的圖形）會(huì)有怎樣的特征。設(shè)問(wèn)：如果平行四邊形的底是6 cm、高是4 cm、面積是24 cm2，還能畫(huà)出其他的平行四邊形嗎？獨(dú)立完成后鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)展示所畫(huà)的平行四邊形。

師：這些平行四邊形的面積是多少？你是怎么判斷的？

生：面積都是24 cm2，因?yàn)樗鼈兌伎梢赞D(zhuǎn)化為長(zhǎng)6 cm、寬4 cm的長(zhǎng)方形。

生：這些平行四邊形的底都是6 cm、高都是4 cm，底和高沒(méi)有發(fā)生變化，所以它們的面積不變，還是24 cm2。

師：剛剛大家所畫(huà)的平行四邊形和老師一開(kāi)始出示的平行四邊形有什么關(guān)系？

生：它們面積不變，但形狀變了，周長(zhǎng)變了。

生：我發(fā)現(xiàn)底與鄰邊的夾角發(fā)生了變化，高不變，面積不變，周長(zhǎng)變了。

師：像這樣，底是6 cm、高是4 cm、面積是24 cm2的平行四邊形有多少個(gè)？

生：有無(wú)數(shù)個(gè)。只要所畫(huà)的平行四邊形底是6 cm、高是4 cm，無(wú)論形狀怎么變，夾角怎么變，它們的面積始終是24 cm2。

……

學(xué)生通過(guò)想象、觀察和動(dòng)手操作，深刻感悟到“面積不變，角度、周長(zhǎng)變了”，滲透了“變與不變”的內(nèi)涵，也為初中研究平行四邊形面積與鄰邊的關(guān)系埋下了伏筆。

借助具象的框架演示，有利于減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，在有限的時(shí)間內(nèi)使研究開(kāi)展得更深入?；顒?dòng)緊緊圍繞兩條線開(kāi)展：一條線是“周長(zhǎng)不變、面積發(fā)生變化”，另一條線是“面積不變、周長(zhǎng)發(fā)生變化”。這一過(guò)程中學(xué)生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，在“變”與“不變”中，加深了對(duì)知識(shí)的理解，把平行四邊形的面積順利納入圖形面積的整體結(jié)構(gòu)中。

（作者單位：浙江桐廬縣方埠小學(xué)） L