【摘 要】 為增強(qiáng)圖像加密安全性，基于Lorenz混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新型的多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)。通過(guò)最大李雅普諾夫指數(shù)圖、分岔圖和雙參復(fù)雜度圖進(jìn)行理論分析和仿真，結(jié)果顯示該系統(tǒng)具有共存吸引子現(xiàn)象，驗(yàn)證了系統(tǒng)具有超混沌特點(diǎn)及對(duì)初始值的高敏感性。此外，利用該系統(tǒng)在高復(fù)雜度區(qū)間生成的混沌序列對(duì)圖像矩陣進(jìn)行擴(kuò)散、置亂、旋轉(zhuǎn)及循環(huán)處理，實(shí)現(xiàn)圖像的加密。通過(guò)直方圖、信息熵及相鄰像素相關(guān)性分析，證實(shí)了該算法具有較高的加密性能。

【關(guān)鍵詞】 多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)；共存吸引子；圖像加密

Application of Multi-attractor Memristor Chaotic System in Image Encryption

Dai Wenpeng1， Chen Heng2*， Song Li1， He Na1， Yang Hongyu1

（1.Yantai Institute of Science and Technology， Yantai 265600， China;

2.Xijing University， Xi′an 710123， China）

【Abstract】 In order to enhance the security of image encryption， a new multi-attractor memristor chaotic system based on Lorenz chaotic system is designed. Through the theoretical analysis and simulation of the maximum Lyapunov exponent graph， the bifurcation graph and the two-parameter complexity graph， the author draws the conclusion that the system has the coexistence attractor phenomenon， and it is verified that the system is hyperchaotic and highly sensitive to the initial value. In addition， the chaotic sequence generated by the system in the high complexity region is used to diffuse， scramble， rotate and cycle the image matrix， so as to realize the image encryption. Through the analysis of histogram， information entropy and the correlation of adjacent pixels， the author confirms that the algorithm has high encryption performance.

【Key words】 muti-attractor memristor chaotic system; coexisting attractors; image encryption

〔中圖分類號(hào)〕 TN601 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A 〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2024）03 - 0060 - 08

0 引言

多吸引子混沌系統(tǒng)結(jié)合了具有記憶性的憶阻器，增加了系統(tǒng)的隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性，從而使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為更為復(fù)雜［1-2］。由于混沌序列的復(fù)雜性，系統(tǒng)更難被攻擊者預(yù)測(cè)，有效增強(qiáng)了抗攻擊能力。同時(shí)，由于數(shù)字圖像像素之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密中，可以有效打破這種關(guān)聯(lián)性，從而進(jìn)一步提高密文的抗攻擊性［3-6］。因此，對(duì)Lorenz混沌系統(tǒng)進(jìn)行模擬和改進(jìn)，以提高系統(tǒng)復(fù)雜度，并將改進(jìn)后的系統(tǒng)與加密算法相結(jié)合，不僅增強(qiáng)了像素的隨機(jī)性，也為提高加密算法的安全性提供了新的思路，顯示出該系統(tǒng)在圖像加密領(lǐng)域的重要應(yīng)用價(jià)值。

首先，通過(guò)引入正弦函數(shù)、憶阻器到模擬Lorenz系統(tǒng)中，構(gòu)建了多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)。使用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和仿真，驗(yàn)證了該系統(tǒng)能夠根據(jù)初始條件及參數(shù)變化顯示出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為。其次 ，利用該系統(tǒng)在高復(fù)雜度區(qū)間生成的混沌序列，執(zhí)行圖像加密過(guò)程中的各種操作，包括擴(kuò)散、置亂、旋轉(zhuǎn)和循環(huán)運(yùn)算，此操作有助于破壞圖像數(shù)據(jù)中像素之間原有的關(guān)聯(lián)性，從而實(shí)現(xiàn)圖像的有效加密［7-8］。最后，通過(guò)對(duì)加密圖像信息熵、直方圖及相關(guān)性分析，表明該系統(tǒng)的算法復(fù)雜性強(qiáng)，能夠顯著提高圖像加密的安全性能。

1 多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)

杜傳紅［9］替換Lorenz系統(tǒng)非線性項(xiàng)，使用絕對(duì)值函數(shù)和雙極轉(zhuǎn)換常數(shù)，模擬出Lorenz系統(tǒng)：

[x=a（y-x）y=（c-z） sign （x）z=|x|-bz] （1）

分段二次型有源磁控憶阻器模型為：

[q（φ）=-aφ+0.5φ2sgn（φ）]

憶導(dǎo)為：

[w（φ）=dq（φ）dφ=-a+b|φ|] （2）

對(duì)于系統(tǒng)（1），引入正弦信號(hào)及憶阻器模型（2），構(gòu)建新的多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)：

[x=a（y-x）+0.5sign（sin（0.05t））y=（c-z） sign （x）z=w|x|-bzw=-k1|z|+k2w] （3）

系統(tǒng)初值[x0=0.1]、[y0=0.1]、[z0=1]、[w0=3]，系統(tǒng)參數(shù)[a=1.2]、[b=1.8]、[c=2]、[k1=0.1]、[k2=0.2]、[m=5]、[n=0.2]時(shí)，系統(tǒng)（3）相圖如圖1所示，顯示存在2個(gè)混沌吸引子。計(jì)算得到該系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)（LE）分別為[λ1=0.336]、[λ2=0.304]、[λ3=-1.005]、[λ4=-2.035]，有兩個(gè)正的LE，說(shuō)明系統(tǒng)（3）具有超混沌特性。

2 平衡點(diǎn)及共存吸引子分析

將系統(tǒng)（3）設(shè)為零，分析該系統(tǒng)在沒(méi)有加入脈沖信號(hào)時(shí)的平衡點(diǎn)：

[a（y-x）=0（c-z）sign（x）=0w|x|-bz=0-k1|z|+k2w=0] （4）

得出平衡點(diǎn)為：

[E1=（0，0，0，0）]、[E2=（0.08，0.08，2，-0.2）]。

加入脈沖信號(hào)[signsin（0.05t）]時(shí)：

[a（y-x）+0.5signsin（0.05t）=0（c-z）sign（x）=0w|x|-bz=0-k1|z|+k2w=0] （5）

得出平衡點(diǎn)為：

[E3=（0，0±0.42，0，0）]、[E4=（0.08，0.08±0.42，2，-2）]。

通過(guò)公式（4）、（5）結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)（3）平衡點(diǎn)在[y]方向上平移了±0.42個(gè)單位，說(shuō)明該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性較強(qiáng)。從圖2（a）系統(tǒng)在[y]軸上的時(shí)序圖中可以看出，虛線代表的脈沖信號(hào)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生了顯著影響。在脈沖信號(hào)的控制下，[y]方向的波形沿著脈沖信號(hào)上下移動(dòng)，振幅在±2之間，振蕩中心在大約±0.42之間。表明脈沖信號(hào)使得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)沿著[y]軸方向發(fā)生了±0.42個(gè)單位的平移。圖2（b）的相圖俯視圖進(jìn)一步驗(yàn)證了這一結(jié)果，相圖清晰地展示了在脈沖信號(hào)作用下，系統(tǒng)在相空間中的軌跡發(fā)生了顯著變化，引發(fā)了多吸引子混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)，表明系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得更加豐富。

當(dāng)[a=1.2]、[b=1.8]、[c=2]、[k1=0.1]、[k2=1]、[m=5]、[n=0.2]、[x0=0]、[y0=0.1]、[z0=±1]、[w0=3]時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共存混沌吸引子，如圖3（a）所示；取[b=4]，出現(xiàn)共存周期吸引子，如圖3（b）所示，說(shuō)明系統(tǒng)受初值影響敏感。

3 系統(tǒng)參數(shù)分析

首先，研究模擬Lorenz系統(tǒng)參數(shù)[a]、[b]、[c]在4個(gè)方向上的LE圖，如圖4所示。系統(tǒng)（3）變量分別設(shè)定為特定值時(shí)發(fā)現(xiàn)：僅參數(shù)[a]發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)處于弱混沌狀態(tài)，如圖4（a）；僅參數(shù)[b]發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)在[b∈[0，2）]上展現(xiàn)出混沌態(tài)，在[b∈[2，10]]上為周期態(tài)，如圖4（b）；僅參數(shù)[c]變化時(shí)，系統(tǒng)則進(jìn)入超混沌態(tài)，如圖4（c）。鑒于高復(fù)雜度的混沌序列能夠增強(qiáng)圖像927c5c9b953d5c2a1c056599d7c88ccf加密的安全性。因此，所選定的參數(shù)值[a=1.2]、[b=0.2]、[c=2]符合該要求。

為更好地研究憶阻器相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響，繪制了系統(tǒng)（3）在4個(gè)方向上的LE圖、分岔圖以及雙參數(shù)復(fù)雜度圖。當(dāng)參數(shù)[k1]單一變化時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌狀態(tài)，具體如圖5（a）、5（b）所示；當(dāng)參數(shù)[k2]單一變化時(shí)，系統(tǒng)同樣為超混沌狀態(tài)，如圖5（c）、5（d）所示；當(dāng)[m]單一變化時(shí)，系統(tǒng)在[m=0.2]附近為周期狀態(tài)，而其余區(qū)間則為超混沌態(tài)，具體如圖5（e）、5（f）所示；最后，當(dāng)參數(shù)[n]單一變化時(shí)，系統(tǒng)再次呈現(xiàn)超混沌狀態(tài)，具體如圖5（g）、5（h）所示。說(shuō)明憶阻器的引入，系統(tǒng)整體呈現(xiàn)為超混沌態(tài)，提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度。因此，選擇復(fù)雜性較強(qiáng)的參數(shù)[k1=0.1]、[k2=0.5]、[m=5]、[n=0.2]，作為后續(xù)加密應(yīng)用的參數(shù)。

當(dāng)[a=1.2]、[b=1.8]、[c=2]、[k1=0.1]、[k2=0.2]時(shí)，做系統(tǒng)（3）的[m-n]雙參數(shù)復(fù)雜度狀態(tài)圖。其中，暗紅色部分代表復(fù)雜度最高，橙色部分代表復(fù)雜度較高，黃色部分代表復(fù)雜度一般，綠藍(lán)色部分代表復(fù)雜度較低，如圖6（a）所示。當(dāng)[m=5]時(shí)，[n∈[0，5]]區(qū)間復(fù)雜度相似且為強(qiáng)復(fù)雜區(qū)，與圖5（h）關(guān)于的[n]單參數(shù)LE變化一致。當(dāng)[n=0.2]，[m∈[0，5]]區(qū)間復(fù)雜度呈上升趨勢(shì)，且在[m=5]處復(fù)雜度較強(qiáng)，與圖5（f）關(guān)于[m]的單參數(shù)LE變化一致。

當(dāng)[a=1.2]、[b=1.8]、[c=2]、[m=5]、[n=0.2]時(shí)，系統(tǒng)（3）的[k1-k2]雙參數(shù)復(fù)雜度圖見(jiàn)如圖6（b）。當(dāng)[k1=0.1]時(shí)，[k2∈[0，5]]區(qū)間復(fù)雜度相似且為強(qiáng)復(fù)雜區(qū)，與圖5（d）關(guān)于[k2]的單參數(shù)LE變化一致。當(dāng)[k2=0.2]，[k1∈[0，5]]區(qū)間復(fù)雜度呈微弱下降趨勢(shì)，且在[k1=5]處復(fù)雜度相對(duì)較小，與圖5（b）關(guān)于[m]的單參數(shù)LE變化一致。

從圖6得出[k1=0.1]、[k2=0.2]、[m=5]、[n=0.2]在強(qiáng)復(fù)雜度區(qū)間內(nèi)，為后續(xù)加密參數(shù)的設(shè)定提供依據(jù)。

綜上所述，系統(tǒng)參數(shù)采用[a=1.2]、[b=0.2]、[c=2]、[k1=0.1]、[k2=0.5]、[m=5]、[n=0.2]，系統(tǒng)初值采用[x0=0.1]、[y0=0.1]、[z0=1]、[w0=3]，應(yīng)用于后續(xù)圖像加密中，混沌序列復(fù)雜性較高，使加密后的圖像破解難度增加，更具有安全性。

4 圖像加密仿真及安全驗(yàn)證

4.1 加密方案

系統(tǒng)加密方案如圖7所示，具體流程為：

Step1：讀取原始圖像信息，獲取圖像矩陣像素值；設(shè)定初始值（密鑰[x0]、[y0]、[z0]、[w0]）及系統(tǒng)參數(shù)，利用多吸引子混沌系統(tǒng)產(chǎn)生X、Y、Z、W、U、V混沌矩陣及混沌元素a、b。

Step2：將X混沌矩陣及混沌元素a與圖像矩陣P進(jìn)行異或運(yùn)算，將前向擴(kuò)散后的矩陣旋轉(zhuǎn)180°并通過(guò)Z、W、U、V混沌矩陣進(jìn)行圖像矩陣位置的置亂，將得到的矩陣旋轉(zhuǎn)180°，形成新的矩陣。

Step3：將Y混沌矩陣及混沌元素b與Step2得到的圖像矩陣進(jìn)行異或運(yùn)算，得到的矩陣后向擴(kuò)散并旋轉(zhuǎn)180°輸出加密矩陣。根據(jù)設(shè)定值n進(jìn)行以上工序的進(jìn)步加密，輸出加密圖片。

4.2 解密方案

解密過(guò)程是加密過(guò)程的逆過(guò)程，首先授權(quán)用戶使用相同的混沌序列對(duì)加密后的矩陣像素值進(jìn)行逆向替換，然后再進(jìn)行逆向置換，最終恢復(fù)出原始圖像，具體流程如圖8所示。

Step1：讀取密圖圖像信息，獲取圖像矩陣元素值；配置初始值（密鑰[x0]、[y0]、[z0]、[w0]），利用多吸引子混沌系統(tǒng)產(chǎn)生X、Y、Z、W、U、V混沌矩陣及混沌元素a、b。

Step2：將旋轉(zhuǎn)180°后的Y混沌矩陣同混沌元素b與密圖矩陣C進(jìn)行前向擴(kuò)散，將擴(kuò)散后的矩陣旋轉(zhuǎn)180°。輸出的矩陣通過(guò)變化后的Z、W、U、V混沌矩陣進(jìn)行元素位置的置亂，將置亂后的矩陣旋轉(zhuǎn)180°，根據(jù)設(shè)定值n進(jìn)行工序的進(jìn)一步循環(huán)，輸出原始圖片。

4.3 算法驗(yàn)證及圖像直方圖分析

采用基于多吸引子的圖像加密算法對(duì)雪景原圖加密，加密后的雪景密圖如圖9（b）所示，經(jīng)該算法得到的雪景解密圖如圖9（c）所示。圖9（a）雪景原圖與雪景解密圖一致，實(shí)現(xiàn)了圖像信息加密及解密。為進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的有效性，從圖像內(nèi)在的像素值分布情況進(jìn)行分析，根據(jù)圖10（a）原圖像素值分布情況，得出原圖像素值分布隨機(jī)性弱，像素值具有一定的關(guān)聯(lián)性，數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)特性強(qiáng)。根據(jù)圖10（b）密圖像素值分布情況，得出密圖像素值分布具體高度隨機(jī)性，像素值關(guān)聯(lián)性很弱，數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)特性不明顯。根據(jù)圖10（c）解密圖像素值分布情況，得出解密圖像素值分布情況與10（a）原圖像素值分布情況基本一致。充分驗(yàn)證了該算法的有效性。

圖像直方圖是對(duì)像素?cái)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的一種方法，用以表示圖像灰度值的像素?cái)?shù)分布情況［9-10］。橫坐標(biāo)表示灰度值，縱坐標(biāo)表示該灰度值出現(xiàn)的頻次。原圖像的灰度頻次分布不均勻且統(tǒng)計(jì)特性明顯，如圖11（a）所示，密圖的灰度頻次分布更均勻，且直方圖統(tǒng)計(jì)特性不明顯，如圖11（b）所示。說(shuō)明該算法具有抗統(tǒng)計(jì)攻擊特性。

4.4 信息熵及相關(guān)性分析

信息熵值反映像素值混亂程度，信息熵越大時(shí)像素值越亂，反之越小［11］。經(jīng)計(jì)算得出原圖信息熵為7.4531，密文信息熵為7.9999，接近理論值8，加密效果較好。為研究像素相鄰元素相關(guān)性，對(duì)原始圖片及加密圖片進(jìn)行像素值相關(guān)性分析，相關(guān)性計(jì)算公式為：

[ρx，y=cov（x，y）D（x）+D（y）] （6）

其中：

[D（x）=1Ni=1Nxi-E（x）2]，[D（y）=1Ni=1Nyi-E（y）2]

[cov（x，y）=E（x-E（x））（y-E（y））]。

隨機(jī)抓取10次，進(jìn)行絕對(duì)平均值處理，每次統(tǒng)計(jì)10000個(gè)像素點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)值，如表1所示。原圖行、列、對(duì)角方向的相關(guān)系數(shù)為0.9786、0.9713、0.9561，密圖相關(guān)系數(shù)為0.0017、0.0021、0.0020。結(jié)果表明，經(jīng)該算法加密后，圖片矩陣像素值相關(guān)性較低，加密算法有效。

圖像化直觀展示相關(guān)性，由圖12（a），12（c），12（e）可知，原圖像素間相關(guān)性顯著，由圖12（b），12（d），12（f）可知，密圖像素間相關(guān)性弱。說(shuō)明該算法能夠有效降低相關(guān)性，提高圖像加密性能。

為充分驗(yàn)證該算法有效性，表2列出了基于多吸引子混沌系統(tǒng)加密算法與其他算法的對(duì)比數(shù)據(jù)，其相關(guān)性系數(shù)值說(shuō)明本算法可以有效降低像素離散程度，安全性較好。

5 結(jié)論

本文基于Lorenz混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新型的多吸引子憶阻混沌系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密中，以增強(qiáng)圖像加密的安全性能。首先，通過(guò)分岔圖、LE圖、相圖及復(fù)雜度圖分析了該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，驗(yàn)證了系統(tǒng)具有超混沌特點(diǎn)及動(dòng)態(tài)復(fù)雜性?；诖税l(fā)現(xiàn)，提出高復(fù)雜度區(qū)間的混沌序列對(duì)圖像矩陣進(jìn)行擴(kuò)散、置亂和旋轉(zhuǎn)處理相結(jié)合的方案，通過(guò)直方圖、信息熵和相鄰像素相關(guān)性的分析等方法證明本加密方案可以很好地隱藏明文圖像的信息，加密效果較好。

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責(zé)任編輯 呂榮榮

［收稿日期］ 2024-05-11

［基金項(xiàng)目］ 陜西省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2018GY-091）；西安市科技創(chuàng)新引導(dǎo)項(xiàng)目（201805043YD21CG27-2）

［作者簡(jiǎn)介］ 代文鵬（1991- ），男，碩士，煙臺(tái)科技學(xué)院海洋工程學(xué)院教師，研究方向：開(kāi)關(guān)電源與混沌控制。

［通訊作者］ 陳恒（1965- ），男，博士，西京學(xué)院副教授，研究方向：混沌控制與機(jī)器人技術(shù)。