【摘 要】 在確定型模型的基礎(chǔ)上，考慮隨機(jī)因素，得到了一類具有飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIR模型。首先給出隨機(jī)模型的正不變集，進(jìn)而介紹持久性含義，利用It?公式及強(qiáng)大數(shù)定律得到了疾病流行的充分性條件。結(jié)果表明，當(dāng)白噪聲強(qiáng)度滿足一定的參數(shù)條件時，染病類群體不會消失，這對于控制疾病的蔓延是不利的。

【關(guān)鍵詞】 隨機(jī)SIR模型；飽和恢復(fù)率；正不變集；It?公式

Permanence of a Stochastic SIR Epidemic Model

with Saturated Recovery Rate

Liu Juan， Wu Yanmin

（Bengbu University， Bengbu 233030， China）

【Abstract】 On the basis of deterministic models， a class of stochastic SIR models with saturated recovery rate is obtained by considering random factors. Firstly， the positive invariant set of the stochastic model is given， and then the meaning of persistence is introduced. The sufficiency conditions for disease prevalence are obtained by using the It? formula and the strong law of large numbers. The results indicate that when the white noise intensity meets certain parameter conditions， the infected population will not disappear， which is unfavorable for controlling the spread of diseases.

【Key words】 stochastic SIR model; saturated recovery rate; positive invariant set; It? formula

〔中圖分類號〕 O175.12 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0005 - 04

0 引言

研究傳染病的傳播原理、蔓延情況不但具有理論價值，也具有實(shí)際應(yīng)用價值。在數(shù)學(xué)建模的思想中，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型是研究傳染病的重要方法，通常建立微分方程模型來研究傳染病的傳播情況，進(jìn)而利用各種微分方程理論分析模型的性質(zhì)。近年來學(xué)者們利用建模思想建立了一些確定型傳染病模型［1-6］，并討論了模型解的存在性及唯一性，Liu等［7］研究了如下的具有飽和恢復(fù)率的SIR模型：

[dS（t）dt=A-βS（t）I（t）-μS（t）dI（t）dt=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dR（t）dt=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （1）

由傳染病模型的意義，易知（1）式中的[S（t）]、[I（t）]和[R（t）]分別表示易感類群體、感染者類群體、恢復(fù)類群體在時刻[t]的數(shù)量。[A]表示[S（t）]群體的輸入率，[β]為易感類群體、感染者類群體之間的接觸率系數(shù)。假設(shè)三類群體具有相同的自然死亡率，記為[μ]，[ε]為[I（t）]群體因疾病導(dǎo)致的死亡率。感染類群體經(jīng)過治療，可以恢復(fù)為健康人群，設(shè)[cI（t）b+I（t）]為兩類群體之間的飽和恢復(fù)率函數(shù)。

在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上，加入隨機(jī)因素可以得到隨機(jī)傳染病模型，隨機(jī)因素反映了現(xiàn)實(shí)環(huán)境的不確定因素對動力系統(tǒng)的影響，相對于確定型系統(tǒng)，隨機(jī)系統(tǒng)可以更有效地刻畫傳染病的傳播特點(diǎn)［8-9］。在隨機(jī)微分方程理論中通常用白噪聲代表外部環(huán)境的影響，假設(shè)白噪聲主要影響模型（1）中的參數(shù)[β]，則可將[βdt]改為[βdt+σdB（t）]。由隨機(jī)微分方程理論可知，[B（t）]為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，[σ2]為噪聲強(qiáng)度。由此建立了一個具有飽和恢復(fù)率的隨機(jī)模型：

[dS（t）=A-βS（t）I（t）-μS（t）dt-σS（t）I（t）dB（t）dI（t）=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）dt+σS（t）I（t）dB（t）dR（t）=cI（t）b+I（t）-μR（t）dt] （2）

本文主要利用隨機(jī)微分方程理論對上述模型的持久性進(jìn)行分析，即模型參數(shù)滿足一定條件時，染病類群體可能持續(xù)存在。

1 基本知識

為了研究疾病的持久性，首先討論系統(tǒng)的正不變集，為此將（2）式兩邊相加，則有

[d（S+I+R）=[A-μ（S+I+R）-εI]dt≤[A-μ（S+I+R）]dt]

假設(shè)（2）具有初始條件[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，通過計算可求得

[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ+e-μtS（0）+I（0）+R（0）-Aμ]

故[X（0）=S（0）+I（0）+R（0）≤Aμ]時，可得[S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ]，這意味著模型中的三類群體總量不會超過某一范圍，此時稱集合

[Γ?={（S（t），I（t），R（t））∈R3+：S>0，I>0，R>0，S（t）+I（t）+R（t）≤Aμ}] （3）

為（2）的正不變集。

在生物數(shù)學(xué)中，持久性這一概念代表生物系統(tǒng)中的群體可以持續(xù)存在，不會滅絕。引申到傳染病模型中，持久性說明了傳染病模型中的一類群體持續(xù)存在［10］，隨機(jī)動力系統(tǒng)中，假設(shè)[f（t）]代表系統(tǒng)的某一類群體，設(shè)

[f（t）=0tf（s）dst]

由此可以規(guī)定系統(tǒng)持久性的含義。

定義1 若上極限[lim supt→∞f（t）>0]，則稱[f（t）]為弱平均持久。

定義2 若下極限[lim inft→∞f（t）>0]，則稱[f（t）]為強(qiáng)平均持久。

2 主要結(jié)果

在上述基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，說明隨機(jī)傳染病模型（2）式中疾病持續(xù)存在的條件。

定理 若系統(tǒng)（2）的白噪聲強(qiáng)度參數(shù)滿足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]且[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]，則對任給的初值[X（0）=（S（0），I（0），R（0））]，[I（t）]的上、下極限滿足下面的不等式：

[I?≤lim inft→∞I（t）≤lim supt→∞I（t）≤I?]

其中 [I?=βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ]， [I?=βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμ]。

證明 對系統(tǒng)（2）進(jìn)行變形，取0到t的積分，再除以t，此時（2）式變?yōu)?/p>

[S（t）-S（0）t=A-βS（t）I（t）-μS（t）-σt0tS（r）I（r）dB（r）I（t）-I（0）t=βS（t）I（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）+σt0tS（r）I（r）dB（r）R（t）-R（0）t=cI（t）b+I（t）-μR（t）] （4）

將（4）式的前兩項相加可得

[S（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t=A-μS（t）-（μ+ε）I（t）-cI（t）b+I（t）]

由此解得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] （5）

其中 [φ（t）=-1μS（t）-S（0）t+I（t）-I（0）t]

由正不變集（3）的有界性可知

[limt→∞φ（t）=0 a.s.] （6）

對[lnI]利用It?公式，得

[d（lnI）=1IdI-12I2（dI）2][=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≥βS-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2dt+σSdB（t）] （7）

由[S（t）]的表達(dá)式得

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）] [≥Aμ-μ+εμI（t）-cbμI（t）+φ（t）][=Aμ-b（μ+ε）+cbμ I（t）+φ（t）]

將（7）式兩邊從0到t積分，再除以t，并將上式代入，得

[lnI（t）-lnI（0）t][≥βS（t）-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+M（t）t][≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2-bβ（μ+ε）+βcbμI（t）+βφ（t）+M（t）t] （8）

上式中，[M（t）=σ0tS（r）dB（r）]，故[M（t）]為連續(xù)的局部鞅，且有[M（0）=0]。又因?yàn)?/p>

[lim supt→∞<M，M>tt≤σ2A2μ2<∞]

故由強(qiáng)大數(shù)定律得

[limt→∞M（t）t=0] （9）

記[l=bβ（μ+ε）+βcbμ]，可將（8）式化為

[I（t）≥1lβAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2+βφ（t）+M（t）t-lnI（t）-lnI（0）t] （10）

對（10）式兩邊取下極限，利用（6）（9）兩個極限結(jié)果有

[lim inft→∞I（t）≥βAμ-（μ+ε）-cb-σ2A22μ2bβ（μ+ε）+βcbμ：=I?] （11）

為了保證上述極限的非負(fù)性，應(yīng)有分子大于0，此時應(yīng)滿足[σ2<2μ2A2（βAμ-μ-ε-cb）]。

由正不變集的有界性知[I≤Aμ]，故可將[d（lnI）]放大為

[d（lnI）=βS-（μ+ε）-cb+I-σ2S22dt+σSdB（t）] [≤βS-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2S22dt+σSdB（t）]

再次對上式兩邊取0到t的積分，再除以t，得

[lnI（t）-lnI（0）t] [≤βS（t）-（μ+ε）-cb+Aμ-12σ2S（t）2+σt0tS（r）dB（r）] （12）

又因?yàn)?/p>

[S（t）=Aμ-μ+εμI（t）-cμI（t）b+I（t）+φ（t）≤Aμ-μ+εμI（t）+φ（t） ]

代入（12）式得

[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）-12σ2S（t）2+M（t）t+βφ（t）]

對于上式中的[S（t）]，利用不等式 [S（t）≥Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+φ（t） ]

代入得[lnI（t）-lnI（0）t≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-β（μ+ε）μI（t）+M（t）t]

[-12σ2A2μ2+b（μ+ε）+cbμ2I（t）2+φ2（t）+Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμI（t）+Φ（t）]

[≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2+M（t）t+Φ（t）][-β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμI（t）] （13）

上式中[Φ（t）=-σ2φ（t）Aμ-b（μ+ε）+cbμI（t）+βφ（t）]

由（6）可知

[limt→∞Φ（t）=0 a.s.] （14）

當(dāng)[σ2<βbμ（μ+ε）A[b（μ+ε）+c]]時，取（13）式兩邊的上極限，并利用（9）（14）兩式得

[lim supt→∞I（t）≤βAμ-（μ+ε）-cb+Aμ-σ2A22μ2β（μ+ε）μ-Aσ2μ?b（μ+ε）+cbμ：=I?] （15）

根據(jù)（11）（15）的結(jié)果可得定理結(jié)論。

3 結(jié)論

在已知的確定型傳染病模型的基礎(chǔ)上，本文研究了一類飽和恢復(fù)率的隨機(jī)SIR傳染病模型的持久性。隨機(jī)模型比確定型模型更能反映外部環(huán)境對生物系統(tǒng)的影響。由上述結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)白噪聲強(qiáng)度比較小且滿足系統(tǒng)參數(shù)對應(yīng)的不等式時，染病類群體不會消失，將一直存在，這對于疾病的預(yù)防和控制是不利的，所以研究隨機(jī)傳染病模型中某一群體的變化趨勢具有重要的實(shí)際意義?，F(xiàn)實(shí)生活中影響疾病流行的因素是多樣的，如傳染病的時滯效應(yīng)對于疾病的蔓延影響較大，這也是今后拓展研究的方向。

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責(zé)任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-03-11

［基金項目］ 國家自然科學(xué)基金資助項目（12001001）；蚌埠學(xué)院自然科學(xué)研究項目（2022ZR03）

［作者簡介］ 劉娟（1979- ），女，碩士，蚌埠學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授，研究方向：微分方程、生物數(shù)學(xué)。