【摘 要】 研究含參數(shù)和p-Laplacian的無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題。任意給定一個正參數(shù)[λ]時，方程存在唯一的正解，給出依賴于參數(shù)[λ>0]的正解的幾個明確性質(zhì)，即正解[u?λ]連續(xù)，關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞增，且[limλ→+∞u?λ=+∞，limλ→0+u?λ=0。]具體分析依賴于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的新理論，其中[A]是一個混合單調(diào)算子。最后給出一個具體例子作為所獲結(jié)論的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 存在唯一性；正解；分?jǐn)?shù)階微分方程；p-Laplacian

Uniqueness of Positive Solutions for Infinite Point Boundary Value Problems of Fractional Differential Equations with p-Laplacian and Parameters

Wang Li

（Jinzhong University， Jinzhong 030619， China）

【Abstract】 The boundary value problem of fractional differential equations with infinite points with parameters and p-Laplacian is studied. The existence of unique positive solutions with any given positive parameter [λ] is obtained. Several definite properties of positive solutions dependent on parameter [λ>0] are given， namely， the positive solution [u?λ] is continuous， strictly increasing with [λ]， and [limλ→+∞u?λ=+∞，limλ→0+u?λ=0.] The concrete analysis relies on a new theory of operator equations [A（x，x）=x] and [A（x，x）=λx]， and [A] is a mixed monotone operator. Finally， a concrete example is given as an application of the conclusions.

【Key words】 existence and uniqueness; positive solution; fractional differential equation; p-Laplacian

〔中圖分類號〕 O175.8 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0014 - 07

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程成為眾多學(xué)者的研究對象，這是由分?jǐn)?shù)階微積分理論本身的密集發(fā)展以及這種結(jié)構(gòu)在工程等學(xué)科中的廣泛應(yīng)用所引起的。［1-2］例如，分?jǐn)?shù)階微分方程可以對SIRS流行病建模，分析致命傳染病爆發(fā)時人群中恐懼情緒的影響；［3］分?jǐn)?shù)階微分方程可以有效地處理各種自然和工程問題，［4］也有一些論文研究求解分?jǐn)?shù)階微分方程的方法，包括解析方法和數(shù)值方法。［5-7］

Zhong等［8］研究了如下無窮點(diǎn)邊值問題，

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+f（t，u（t））=0， 0<t<1u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0， u（i）（1）=j=1∞αju（ξj）]

得到至少存在一個正解的結(jié)論。文獻(xiàn)［8］采用上下解法和Schauder不動點(diǎn)定理，得到上述方程正解存在的結(jié)論，但未對正解的唯一性進(jìn)行研究。此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)中無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程的研究成果很多，但是關(guān)于無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階邊值問題正解的唯一性，研究結(jié)果卻非常少?；诖?，本文討論一類無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程，并得到方程正解存在唯一性的結(jié)論。

本文討論如下含有p-Laplacian和參數(shù)的無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+λf（t，u（t），u（t））=0，0<t<1u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0，Dα0+u（0）=0，u（i）（1）=j=1∞αju（ξj）] （0.1）

其中[Dα0+，Dβ0+]是Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)，[φp（s）=|s|p-2?s，p>1，λ>0]是一個參數(shù)，

[f∈C[0，1]×J，J，J=[0，+∞），i∈[1，n-2]]是一個固定整數(shù)，[n-1<α≤n，n≥3，0<β≤1，αj≥0，]

[0<ξ1<ξ2<…<ξj-1<ξj<…<1（j=1，2，…）， Δ-j=1∞αjξα-1j>0]，這里[Δ=（α-1） （α-2） … （α-i）。]

本文將基于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的一些結(jié)果，研究問題（0.1）對每一個參數(shù)[λ>0]，存在唯一的正解。此外，還將給出與參數(shù)有關(guān)的正解的一些明確性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

設(shè)[（E，?）]為實Banach空間，[θ]表示[E]的零元。若[ P]滿足條件：（i） [x∈P， r≥0?rx∈P;] （ii） [x∈P，-x∈P?x=θ，]那么[P?E]是一個錐，且定義半序[x≤y][?][y-x∈P。]進(jìn)一步，如果存在正常數(shù)[N>0]，對任意[x， y∈E， θ≤x≤y]，都有[x≤Ny]成立，那么稱[P]為正規(guī)錐。對于任意的[h>θ]，集合[Ph={x∈E∣x～h}]，其中[～]是一個等價關(guān)系。對任意[x，h∈E]，關(guān)系[x～h]意味著存在[λ>0， μ>0]使得[λx≤h≤μx。]易得[Ph?P]且[Ph]是凸的，且對于所有[l>0]有[lPh=Ph]。

定義1.1 如果[A（x，y）]關(guān)于[x]單調(diào)遞增關(guān)于[y]單調(diào)遞減，則稱[A：P×P→P]為混合單調(diào)算子，即[ui，vi（i=1，2）∈P，u1≤u2，v1≥v2]，可推出[A（u1，v1）≤A（u2，v2）。]如果[A（x，x）=x]，則稱元素[x∈P]為[A]的一個不動點(diǎn)。

為討論問題（0.1），首先研究下列線性邊值問題

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+y（t）=0，0<t<1，u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0， u（i）（1）=j=1∞αju（ξj） ，] （1.1）

其中[y∈L1[0，1]]且[y≥0。]

引理1.1［8］ 線性問題（1.1）有下列形式的解

[u（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1y（τ）dτds，]

其中

[G（t，s）=1p（0）Γ（α）tα-1p（s）（1-s）α-1-i-p（0）（t-s）α-1，0≤s≤t≤1，tα-1p（s）（1-s）α-1-i， 0≤t≤s≤1，] （1.2）

[p（s）=Δ-s≤ξjαjξj-s1-sα-1（1-s）i，] 顯然[G（t，s）]在[[0，1]×[0，1]]上連續(xù)。

引理1.2［8］ （1.2）表示的格林函數(shù)[G（t，s）]有下列性質(zhì)：

（i） [G（t，s）≥1p（0）Γ（α）m1s（1-s）α-1-i?tα-1≥0， t，s∈[0，1]；]

（ii） [G（t，s）≤M1+p（0）np（0）Γ（α）（1-s）α-1-i?tα-1，t，s∈[0，1]；]

（iii） [G（t，s）≥1p（0）Γ（α）[p（s）（1-s）α-1-i-p（0）（1-s）α-1]?tα-1，t，s∈[0，1]；]

（iv） [G（t，s）≤1p（0）Γ（α）p（s）（1-s）α-1-i?tα-1，t，s∈[0，1]，]

其中 [m1=inf0<s≤1p（s）-p（0）s，M1=sup0<s≤1p（s）-p（0）s] 是正數(shù)。

Zhai等［9］研究了算子方程

[A（x，x）=x ， A（x，x）=λx，] &nbsp; （1.3）

其中，[A：P×P→P]是一個混合單調(diào)算子且滿足下面的條件：

（A1）存在[ h∈P，h≠θ]使得[A（h，h）∈Ph；]

（A2）對任意[u，v∈P，t∈（0，1）]，存在[φ（t）∈（t，1）]使得

[A（tu，t-1v）≥φ（t）A（u，v）。]

并得到方程（1.3）存在唯一的解。

引理1.3 令[P]是[E]中的一個正規(guī)錐且滿足條件（A1）（A2），則算子方程[A（x，x）=x]在[Ph]上有唯一正解[x*]。另外對于任意初值[x0，y0∈Ph，]序列

[xn=A（xn-1，yn-1）， yn=A（yn-1， xn-1）， n=1，2，…]

滿足[xn-x*→0，yn-x*→0，n→∞]

引理1.4 令[P]是[E]中的一個正規(guī)錐且滿足條件（A1）（A2），并設(shè)[xλ（λ>0）]是參數(shù)方程[A（x，x）=λx]在[Ph]上的唯一解，則下列結(jié)論成立：

（B1）對于[t∈（0，1）]，如果[φ（t）>t12]，則[xλ]關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞減，即[0<λ1<λ2]可推出 [xλ1>xλ2]；

（B2）對于[t∈（0，1）]，如果存在[β∈（0，1）]使得[φ（t）≥tβ]，則[xλ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即 [λ→λ0（λ0>0）]可推出[xλ-xλ0→0；]

（B3）對于[t∈（0，1）]，如果存在[β∈（0，12）]使得[φ（t）≥tβ]，則 [limλ→+∞xλ=0，limλ→0+xλ=+∞。]

2 主要結(jié)論

這部分主要運(yùn)用引理1.3和引理1.4研究問題（0.1），并得到問題（0.1）存在唯一的正解。另外還會證明正解關(guān)于[λ]的一些性質(zhì)。

設(shè)[E=C[0，1]]表示[[0，1]]上的連續(xù)函數(shù)空間，范數(shù)定義為[x=supx（t）：t∈[0，1]。]先給出下列條件：

（H1）[f（t，x，y）： [0，1]×[0，+∞）×[0，+∞）→[0，+∞）]是一個連續(xù)函數(shù)；

（H2）對于每一個[t∈[0，1]，y∈[0，+∞）， f（t，x，y）]關(guān)于[x]單調(diào)遞增；對于每一個[t∈[0，1]，][ x∈[0，+∞），][f（t，x，y）]關(guān)于[y]單調(diào)遞減；

（H3）對于[r∈（0，1）]，存在[γ∈（0，p-1）]使得

[f（t，rx，r-1y）≥rγf（t，x，y），t∈[0，1]，x，y∈[0，+∞）]；

（H4）[f（t，0，1）≡0，t∈[0，1]]。

定理2.1 設(shè)（H1）-（H4）成立，則

（a）對于每一個[λ∈（0，+∞）]，問題（0.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中

[h（t）=tα-1，t∈[0，1]。]

另外對任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds，]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，滿足[un（t）→u*λ（t），vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]

證明 首先，從引理1.1可知，問題（0.1）等價于如下表達(dá)式

[u（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1y（τ）dτds，]

其中[G（t， s）]由（1.2）給出。對任意[u， v∈P，]定義

[A（u，v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds]

對于[x≥0]，有[φ-1p（x）≥0]。因為 [1Γ（β）q-1>0，G（t，s）≥0]，易得[A：P×P→P]。接著通過如下步驟檢驗[A]滿足引理1.3的所有假設(shè)。

第一步，證明[A]是一個混合單調(diào)算子。事實上，對于[ui，vi∈P，i=1，2，][u1≥u2，][v1≤v2]，已知[u1（t）≥u2（t），v1（t）≤v2（t），t∈[0，1]]，且通過（H1）（H2）（H4），引理1.1以及[φ-1p]單調(diào)遞增可得

[A（u1，v1）（t）=1Γ（β）01G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u1（τ），v1（τ））dτds≥]

[1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u2（τ），v2（τ））dτds=A（u2，v2）（t）]

第二步，證明[A]滿足條件（A2）。從條件（H3）可得，對于[u，v∈P，r∈（0，1）]有

[A（ru，r-1v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，ru（τ），r-1v（τ））dτds≥rγΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds=rγq-1A（u，v）（t），t∈[0，1]]

令[φ（t）=tγ（q-1），t∈（0，1）]，則[0<γ（q-1）<1]，因此[φ（t）∈（t，1），t∈（0，1）]。于是

[A（tu，t-1v）≥φ（t）A（u，v），?u，v∈P，t∈（0，1）]

所以條件（A2）滿足。

第三步，證明[A（h，h）∈Ph]。一方面，因為[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]，從條件（H1）-（H4），引理1.2，有

[A（h，h）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds≥01tα-1m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）=01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，τα-1，τα-1）dτds?h（t）?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）]

[≥01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτds?h（t）?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）]

另一方面，從條件（H1）-（H4）和引理1.2有

[A（h，h）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds≤01tα-1p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，h（τ），h（τ））dτds?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）=01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，τα-1，τα-1）dτds?h（t）?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）]

[≤01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds?h（t）?1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）]

令[l1=01m1s（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτds，] [l2=01p（s）（1-s）α-1-iφ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds]

因為[f]連續(xù)，[f（t，0，1）≡0]，所以[0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτ≥0]且 [0s（s-τ）β-1f（τ，0，1）dτ?0]

因此， [φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds≥0]且 [φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，1，0）dτds≡0，τ∈[0，1]]

從[m1s≤p（s）]可得[0<l1≤l2。]因此，

[A（h，h）（t）≥1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）?l1?h（t）]

[A（h，h）（t）≤1Γ（β）q-1?1p（0）Γ（α）?l2?h（t）]

所以有

[1Γ（β）q-1?l1p（0）Γ（α）?h≤A（h，h）≤1Γ（β）q-1?l2p（0）Γ（α）?h]

因此[A（h，h）∈Ph]，滿足條件（A1）。

從引理1.3可得，存在[u*λ′∈Ph]使得[A（u*λ′，u*λ′）=λ′u*λ′]。因為[φ（t）=tγ（q-1）]且 [0<γ（q-1）<1]，所以引理1.4中的（B2）意味著[u*λ′]關(guān)于[λ′]連續(xù)。令[λ′=1λq-1，u*λ′=u*λ，]則[A（u*λ，u*λ）=1λq-1u*λ]，即[u*λ=λq-1A（u*λ，u*λ）]。對任意給定的[λ>0]，易得[u*λ]是問題（0.1）的唯一正解，另外[u*λ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即[u*λ-u*λ0→0，λ→λ0（λ0>0）]。

最后，令[Aλ=λq-1A]，則[Aλ]滿足引理1.3的所有條件。通過引理1.3，對任意初值 [u0，v0∈Ph]，構(gòu)造兩個序列[un+1=Aλ（un，vn），vn+1=Aλ（vn，un），n=0，1，2，…，]則有 [un→u*λ，vn→u*λ，n→∞]，即

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds→u*λ（t），]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds→u*λ（t），n→∞。]

下面給出另一個條件：

（H3）*對于[r∈（0，1）]，存在[γ∈（0，p-12）]使得

[f（t，rx，r-1y）≥rγf（t，x，y），][ t∈[0，1]， x，y∈[0，+∞）]。

定理2.2 設(shè)條件（H1）（H2）（H3）*（H4）成立，則

（a）對于每一個[λ>0，]問題（0.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]。另外對任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds，]

[vn+1（t）=λΓ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，滿足[un（t）→u*λ（t），vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（c）[u*λ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即[u*λ-u*λ0→0，λ→λ0（λ0>0）]；

（d）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

證明 考察算子

[A（u，v）（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，u（τ），v（τ））dτds，]

類似于定理2.1的證明可得[A：P→P]是一個單調(diào)混合算子且滿足

（i）[A（h，h）∈Ph，] 其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]；]

（ii）[A（tx，ty）≥φ（t）A（x，y），x，y∈P，t∈（0，1），]其中[φ（t）=tγ（q-1），t∈（0，1）。]

令[β=γ（q-1）]，則從條件（H3）*可得[0<γ（q-1）<12，t12<φ（t）=tβ<1。]所以通過引理1.3，存在[u*λ′∈Ph]使得[A（u*λ′，u*λ′）=λ′u*λ′]。令[λ′=1λq-1，u*λ′=u*λ，]則[A（u*λ，u*λ）=1λq-1u*λ，]即[u*λ=λq-1A（u*λ，u*λ）。]則對于任意[λ>0，u*λ]是問題（0.1）的唯一正解。進(jìn)一步根據(jù)引理1.4可得，[u*λ′]是嚴(yán)格遞減的且關(guān)于[λ]連續(xù)，

[limλ′→+∞u*λ′=0， limλ′→0+u*λ′=+∞。]

所以可以得到：

（i）[u*λ]關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（ii）[u*λ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]；

（iii）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

推論2.1 設(shè)條件（H1）-（H4）成立，則含有p-Laplacian的無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程

[Dβ0+（φp（Dα0+u（t）））+f（t，u（t），u（t））=0，0<t<1，u（0）=u′（0）=…=u（n-2）（0）=0， Dα0+u（0）=0，u（i）（1）=j=1∞αju（ξj） ]

在[Ph]上有唯一正解[u*]，其中[h（t）=tα-1，t∈[0，1]]。另外對任意初值[u0，v0∈Ph]，構(gòu)造序列

[un+1（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，un（τ），vn（τ））dτds]

[vn+1（t）=1Γ（β）q-101G（t，s）φ-1p0s（s-τ）β-1f（τ，vn（τ），un（τ））dτds]

（[n=0，1，2，…]），可得[un（t）→u*（t），vn（t）→u*（t），n→∞。]

注記2.1 在文獻(xiàn)中，關(guān)于無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程這類問題沒有發(fā)現(xiàn)有類似定理 2.1，定理2.2，推論2.1這樣的結(jié)論。文獻(xiàn)中也沒有用到混合單調(diào)算子的方法，所以本文用的方法不同于參考文獻(xiàn)中的方法。本文的主要結(jié)果不僅能保證對任意參數(shù)都得到正解的存在唯一性，而且能夠構(gòu)造兩個迭代序列來逼近得到的正解。

3 應(yīng)用

這部分作為所得結(jié)論的應(yīng)用，將用一個具體例子來驗證主要結(jié)論的正確性。

例3.1 考慮含有[p]-Laplacian和參數(shù)的分?jǐn)?shù)階邊值問題

[D120+（φ3（D720+u））（t）+λu（t）3+0a86a735cf2f28de0e9ebbc113583c6c1u（t）+14t3=0，0<t<1u（0）=u′（0）=0， D720+u（0）=0， u′（1）=j=1∞2j2u（1j）] （3.1）

其中

[n=3，i=1，2<α≤3， β=12∈（0，1]， p=3， αj=2j2， ξj=1j，]

[f（t，x，y）=x3+1y+14t3]

經(jīng)過簡單計算可得[Δ=52，j=1∞αjξα-1j≈2.109<Δ。]顯然[f（t，x，y）]滿足條件（H1）（H2）。令[γ=13]，則[γ∈（0，p-12）=（0，1）。]進(jìn)一步對于[r∈（0，1）， x≥0，y≥0]，有

[f（t，rx，r-1y）=rx3+11ry+14t3≥r13x3+r14y+14t3≥r13x3+11+y4t3=rγf（t，x，y）]

此外[f（t，0，1）=124t3≡0，t∈[0，1]。]所以滿足定理2.2的所有條件。從定理2.2可得

（a）對于[λ>0，]問題（3.1）在[Ph]上有唯一正解[u*λ]，其中[h（t）=t52，t∈[0，1]]。另外對任意初值[u0，v0∈Ph]，序列

[un+1（t）=λ12π401G（t，s）φ-130s（s-τ）-12un（τ）3+1vn（τ）+14τ3dτds，]

[vn+1（t）=λ12π401G（t，s）φ-130s（s-τ）-12vn（τ）3+1un（τ）+14τ3dτds，]

[（n=0，1，2，…）]，滿足[un（t）→u*λ（t）， vn（t）→v*λ（t），n→∞]；

（b）[u*λ]關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞增，即[u*λ1<u*λ2， 0<λ1<λ2]；

（c）[u*λ]關(guān)于[λ]連續(xù)，即[u*λ-u*λ0→0， λ→λ0（λ0>0）]；

（d）[limλ→+∞u*λ=+∞， limλ→0+u*λ=0。]

4 結(jié)論

本文討論一類具有p-Laplacian和參數(shù)的無窮點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程。對于任意給定的正參數(shù)[λ]，得到方程正解的存在唯一性。采用的方法是關(guān)于算子方程[A（x，x）=x]和[A（x，x）=λx]的新理論，其中[A]是一個混合單調(diào)算子。并進(jìn)一步給出與參數(shù)[λ>0]有關(guān)的正解的一些很好的性質(zhì)，即正解[u?λ]連續(xù)，關(guān)于[λ]嚴(yán)格遞增，且[limλ→+∞u?λ=+∞，limλ→0+u?λ=0。]

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責(zé)任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-03-25

［基金項目］ 山西省自然科學(xué)基金青年項目（202303021212267）；晉中學(xué)院2023年教學(xué)改革創(chuàng)新項目（Jg202362）

［作者簡介］ 王麗（1991-），女，博士，晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，研究方向：非線性泛函分析和偏微分方程控制。