【摘 要】 在[n]維空間中研究一類帶散射阻尼項和記憶項的半線性波動方程的柯西問題。通過引入乘子處理阻尼項，構造檢驗函數(shù)，并且利用迭代方法，得到當非線性項指數(shù)滿足一定條件時，問題的解會在有限時間內破裂，并給出解的生命跨度的上界估計。

【關鍵詞】 波動方程；記憶項；迭代方法；破裂；生命跨度估計

Blow-up of Solutions for a Class of Wave Equations with Memory Term

Xue Hui1， Ming Sen2

（1.Shanxi Finance & Taxation College， Taiyuan 030024， China；

2.North University of China， Taiyuan 030051， China）

【Abstract】 This paper is concerned with the study of Cauchy problem for the nonlinear wave equation with scattering damping term and memory term for [n]space dimensions. Blow-up of solution in finite time is proved under a certain assumption for the exponent in nonlinear term. By introducing a multiplier to deal with the damping term， constructing a test function and using iteration method， the author obtains upper bound lifespan estimate of solution for the problem.

【Key words】 wave equation; memory term; iteration method; blow-up; lifespan estimate

〔中圖分類號〕 O175.29 〔文獻標識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0021 - 04

0 引言

近年來，非線性波動方程的柯西問題和初邊值問題引起廣泛關注［1-7］，即探究問題解破裂時生命跨度的上界估計、非線性項指數(shù)和空間維數(shù)三者之間的關系。賴寧安等［1-3］研究了在次臨界情形下帶散射阻尼項的波動方程[utt-Δu+μ（1+t）-αut=up（α>1）]的初值問題，得到解會在有限時間內破裂，并給出解的生命跨度估計。D′abbicco M等［4］研究了帶強阻尼項的波動方程[utt-Δu-Δut=up]，在非線性項指數(shù)[1<p<1+2/n]時解會破裂。明森等［5］研究了帶強阻尼項和散射阻尼項的波動方程[utt-Δu-][Δut+μ（1+t）-αut=f（u，ut）]的初邊值問題，利KRbtvVRwPPp/ySJKR06oAA==用檢驗函數(shù)方法和迭代方法分別分析[f（u，ut）=up]，[utp]，[up+utp]三種情形下解的破裂性態(tài)，并給出其生命跨度的上界估計。

關于[n]維空間中帶散射阻尼項和記憶項的波動方程的柯西問題尚無研究結果。因此，本文擬利用檢驗函數(shù)方法和迭代方法，研究如下半線性波動方程的小初值問題

[utt-Δu+μ1+t-αut=cγ0tt-s-γux，tpds，x，t∈Rn×0，+∞， ux，0=εu0x，utx，0=εu1x， x∈Rn，] （1）

其中空間維數(shù)[n≥1]，[μ1+t-αutα>1]為散射阻尼項，[ε>0]是一個小參數(shù)，[cγ=1/Γ1-γ0<γ<1]，其中[Γs=0+∞xs-1e-xdxs>0]為第二類歐拉積分，[cγ0tt-s-γux，tpds]為記憶項，[p>1]。[u0x∈H1Rn]，[u1x∈L2Rn]為非負光滑函數(shù)，且不恒等于零，[supp u0（x） ， u1（x）?BR（0）={x |x| ≤R}]，[R>2]。

1 基本知識

引理1［3］ 設

[φ1x=ex+e-x， n=1，Sn-1ex?wdSw， n≥2，]

則有[Δφ1x=φ1x]，[0<φ1x≤C1+x-n-1/2ex]，其中[C]為正常數(shù)。

令[ψx，t=e-tφ1x]，則有[?tψx，t=-ψx，t]，[?2tψx，t=Δψx，t=ψx，t]。

引理2［8］ 令[n≥1]，[p>1]，對[?t≥0]，則有

[xt+Rψx，tp/（p-1）dx≤C11+tn-11-p/2p-1]

其中[C1=C1n，p，R>0]。

定義1 若[u]是問題（1）弱解，則[u∈C[0，T），H1Rn?C1[0，T），L2Rn?Lploc0，T×Rn]，并且

[Rnutx，t?x，tds-εRnu1x?x，0dx-0tRnutx，s?tx，sdxds+0tRn?ux，s??x，sdxds+0tRnμ1+s-αutx，s?x，sdxds=cγ0tRn?x，s0ss-σ-γux，σpdσdxds] （2）

對[??∈C∞0[0，T）×Rn]都成立。

引入乘子[mt=expμ1-α-11+t1-α]，可知[m′（t）=μ（1+t）-αm（t）]。對[?t≥0]，則有[0<m（0）≤m（t）≤1]。

2 主要結果及證明過程

本文擬利用檢驗函數(shù)方法和迭代方法研究問題（1）解的破裂性態(tài)，得到如下結果。

定理1 設[n≥2]，[1<p<ps（n，γ）]，[ps（n，γ）]是方程[-（n-1）p2+（n-2γ+3）p+2=0]的正根。若問題（1）的解[u]滿足[supp u?{（x，t）∈Rn×[0，+∞） |x| ≤t+R}]，則解會在有限時間內破裂，且有如下的生命跨度上界估計

[T<Cε-pmn，p，γ] ?; （3）

其中[mn，p，γ=-n-1p2+2-γ+3-γp-1]，[C]是與[ε]無關的正常數(shù)。

注1 定理1中[p<2n/n-2n≥2]時滿足記憶項[cγ0tt-s-γux，tpds]可積。

下面證明定理1。令

[F0（t）=Rnu（x，t）dxF1（t）=Rnu（x，t）ψ（x，t）dx]

在式（2）中令[?（x，t）≡1]，等式兩邊對[t]求導，得到

[F″0（t）+μ（1+t）-αF′0（t）=cγRn0t（t-s）-γ?u（x，s）pdsdx] （4）

兩邊同乘以[m（t）]，又因為[0<m（0）≤m（t）≤1]，則有

[m（t）F′0（t）′≥m（0）cγRn0t（t-s）-γ?u（x，s）pdsdx] （5）

兩邊在[（0，t）]上積分，計算得到

[F′0（t）≥cγm（0）0tRn0s（s-σ）-γ?u（x，σ）pdσdxds] （6）

利用Holder不等式得到

[Rnu（x，t）pdx≥F1（t）p?x≤t+Rψ（x，t）p/（p-1）-（p-1）] （7）

式（2）兩邊關于[t]求導，并同乘以[m（t）]可知

[ddtm（t）Rnut（x，t）?（x，t）dx-m（t）Rnut（x，t）?t（x，t）dx-m（t）Rnu（x，t）Δ?（x，t）dx=cγm（t）Rn?（x，t）0t（t-s）-γu（x，s）pdsdx] （8）

兩邊在[（0，t）]上積分，令[?（x，t）=ψ（x，t）=e-tφ1（x）]，計算得到

[m（t）F′1（t）+2F1（t）-m（0）εRn[u0（x）+u1（x）]φ1（x）dx=0tμ（1+s）-αm（s）F1（s）ds+cγ0tm（s）Rnψ（x，s）0s（s-σ）-γu（x，σ）pdσdxds] （9）

兩邊同除以[m（t）]，則有

[F′1（t）+2F1（t）≥m（0）εCu0，u1+1m（t）0tμ（1+s）-αm（s）F1（s）ds] （10）

其中[Cu0，u1=Rn[u0（x）+u1（x）]φ1（x）dx>0]。

計算可知

[F1（t）≥12m（0）εCu0，0] （11）

結合（6）（7）（11）式及引理2得到

[F′0（t）≥C2εp0t0s（s-σ）-γ（1+σ）（n-1）（1-p/2）dσds] （12）

其中[C2=C1-p-1cγm（0）m（0）Cu0，02p。]

式（12）兩邊在[（0，t）]上積分，得到

[F0（t）≥C2nn+1n+2εp1+t-n-1p/2tn+2-γ] （13）

下面運用迭代方法計算。假設

[F0（t）≥Dj（1+t）-ajtbj，t≥0，j∈N?] （14）

其中[D1=C2n（n+1）（n+2）εp]，[a1=n-1p2]，[b1=n+2-γ]。

將（14）式代入（6）式，兩邊在[（0，t）]上積分得到

[F0（t）≥C3Djp（bjp+2）3（1+t）-n（p-1）-ajptbjp-γ+3] （15）

此處[C3=C2cγm（0）]。則有[Dj+1=C3Dpj（bjp+2）3]，[aj+1=ajp+n（p-1）]，[bj+1=bjp-γ+3]。

依次遞推可得

[aj=pj-1n-1p2+n-n]，[bj=pj-1n+2-γ+3-γp-1-3-γp-1]，[Dj≥C4p-3j-1Dpj-1]，

其中[C4=C3n+2-γ+（3-γ）/（p-1）-3]。

于是

[lnDj≥plnDj-1-3（j-1）lnp+lnC4≥p2lnDj-2-3p（j-2）+（j-1）lnp+（p+1）lnC4] （16）

計算可知

[lnDj≥pj-1lnD1-k=1j-13klnp-lnC4pk] （17）

因此

[Dj≥exppj-1lnD1-Spj] （18）

其中[Spj=k=1j-13klnp-lnC4pk]

當[p>1]時，可知

[limj→∞3j-1lnp-lnC4pj-1=0]

所以根據(jù)d′Alembert′s準則，當[j→∞]時，[Spj]是收斂的。因此

[Dj≥exppj-1lnD1-Sp∞] （19）

（19）式代入（14）式得到

[F0t≥1+tnt-3-γ/p-1exp[pj-1Jt]] （20）

其中

[Jt=-n-1p2-nln1+t+n+2-γ+3-γp-1lnt+lnD1-Sp∞]

當[t≥1]時，則有

[Jt≥-n-1p2-nln2t+n+2-γ+3-γp-1lnt+lnD1-Sp∞=mn，p，γlnt+lnD1-n-1p2+nln2-Sp∞=lntmn，p，γD1-C5] （21）

其中[mn，p，γ=-n-1p2+2-γ+3-γ/][（p-1）]，

[C5=n-1p/2+nln2+Sp∞>0]

當[Jt>1]時，則有

[t>nn+1n+2e1+C5/C21/mn，p，γε-p/mn，p，γ]

當[j→∞]時，[F0（t）→∞]。因此，問題（1）的解的生命跨度的上界估計為

[T<C6ε-pmn，p，γ]

其中[C6=nn+1n+2e1+C5/C21mn，p，γ]，[C6]是與[ε]無關的正常數(shù)。

3 結語

本文以[n]維空間中帶散射阻尼項和記憶項的半線性波動方程為研究對象，通過構造檢驗函數(shù)，利用迭代方法，得到當非線性項指數(shù)滿足一定條件時，方程（1）柯西問題的解會在有限時間內破裂，并給出解的生命跨度的上界估計。

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責任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-03-20

［基金項目］ 山西省基礎研究計劃資助項目（20210302123045、20210302123182）；中北大學本科教育教學改革項目（2021130）

［作者簡介］ 薛慧（1994- ），女，碩士，山西省財政稅務?？茖W校公共課教學部助教，研究方向：偏微分方程、非線性分析及應用、數(shù)學建模。