【摘 要】 給出有限數(shù)字單純映射間的數(shù)字連續(xù)關(guān)系、數(shù)字連續(xù)類(lèi)、有限數(shù)字單純復(fù)形以及有限數(shù)字單純映射的強(qiáng)數(shù)字等價(jià)等概念。在此基礎(chǔ)上，定義了有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字Lusternik-Schnirelmann 范疇和數(shù)字幾何Lusternik-Schnirelmann范疇。最后，給出了在強(qiáng)數(shù)字等價(jià)和強(qiáng)數(shù)字收縮的情況下，以上兩個(gè)數(shù)字范疇的一些相關(guān)結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】 有限數(shù)字單純復(fù)形；數(shù)字 Lusternik-Schnirelmann 范疇；數(shù)字連續(xù)類(lèi)；強(qiáng)數(shù)字等價(jià)；強(qiáng)數(shù)字收縮

Digital Lusternik-Schnirelmann Category of Finite

Digital Simplicial Complexes

He Zhen， Yang Zikang， Wang Yuyu*

（Tianjin Normal University， Tianjin 300387， China）

【Abstract】 In this paper， the concepts of the digital continuous relation， the digital contiguity class， the finite digital simplicial complex and the strong digital equivalence of finite digital simplicial mappings are given. Based on this， the digital Lusternik-Schnirelmann category and the digital geometric Lusternik-Schnirelmann category of finite digital simplicial complexes are defined. Finally， some conclusions are given about the above two digital categories in the case of strong digital equivalence and strong digital collapse.

【Key words】 finite digital simplicial complexes; digital Lusternik-Schnirelmann category; digital contiguity class; strong digital equivalence; strong digital collapse

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 O189.23 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A   〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2024）03 - 0025 - 05

1 預(yù)備知識(shí)

Lusternik-Schnirelmann （LS）范疇不僅是流形理論中探究不變量問(wèn)題的有力工具，而且還涉及到具體的應(yīng)用問(wèn)題： 射影乘積空間和拓?fù)鋸?fù)雜性的計(jì)算［1-2］。另外，其在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用［3］。近幾年，出現(xiàn)了 LS 范疇理論在數(shù)字空間中的推廣，如數(shù)字圖像和數(shù)字連續(xù)映射的數(shù)字 LS 范疇［4-5］。然而，針對(duì)有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字 LS 范疇理論尚處于空缺階段。本文在單純映射的連續(xù)類(lèi)以及有限單純復(fù)形 LS 范疇定義的基礎(chǔ)上，將理論進(jìn)行推廣。

20世紀(jì)60年代，數(shù)字幾何領(lǐng)域的奠基人 Azriel Rosenfeld 教授在二維數(shù)字空間上引入格點(diǎn)模型，之后又引入數(shù)字k-鄰接關(guān)系， 通過(guò)圖論的方式對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行分析，從而證明了在二維數(shù)字空間中存在4-鄰接關(guān)系和8-鄰接關(guān)系，詳見(jiàn)定義1。后來(lái)，研究者又引入了公理化拓?fù)浞椒ǎ?根據(jù)公理化的要求確定像素之間的關(guān)系， 利用該方法引入了數(shù)字拓?fù)涞母拍睿?以下著重?cái)⑹鲆恍┫嚓P(guān)知識(shí)。

定義1［6］ 給定數(shù)字空間[?n]和自然數(shù)[l（1≤l≤n）]，若稱(chēng)點(diǎn)[p=（p1，p2，...，pn）]，[q=（q1，q2，...，qn）]為數(shù)字[k（l，n）]-鄰接，并簡(jiǎn)記為數(shù)字[k]-鄰接， 需滿(mǎn)足：

（1）有至多[l]個(gè)指標(biāo)[i]，滿(mǎn)足[pi- qi=1]；

（2）對(duì)其他指標(biāo)[i]滿(mǎn)足[pi=qi]。

比如： 當(dāng)[n=2]時(shí)，有[k（1，2）=4]，[k（2，2）=8]；

當(dāng)[n=3]時(shí)，有[k（1，3）=6]，[k（2，3）=18]，[k（3，3）=26]。

定義 2 ［7］ 令[S]為數(shù)字圖像[（K，k）]的一個(gè)非空子集族，若[S]中的元素[s]滿(mǎn)足下面的條件，則稱(chēng)[s]為數(shù)字圖像[（K，k）]中的數(shù)字單形。

（1）[s]中的不同兩點(diǎn)滿(mǎn)足數(shù)字[k（l，n）]-鄰接關(guān)系；

（2）如果[s∈S]且[?≠t?s]，則 [t∈S]。

一個(gè)[m]維數(shù)字單形是指由[m+1]個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的單形，并稱(chēng)這些點(diǎn)為該單形的頂點(diǎn)。

令[P]為一個(gè)[m]維數(shù)字單形，如果[P′]是[P]的一個(gè)非空子集，則[P′]稱(chēng)為[P]的一個(gè)面；若[P′]為一個(gè)真子集，則稱(chēng)[P′]為[P]的一個(gè)真面。

定義3［7］ 令[（K，k）]是以[m]維數(shù)字單形為元素的有限集合，若滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件，則稱(chēng)[（K， k）]為一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形。

（1）如果[P∈K]，則[P]的每一個(gè)面 [t∈K]；

（2）如果[P，Q∈K]，則[P?Q]要么是空集要么是[P]和 [Q]的公共真面。

注 1 有限數(shù)字單純復(fù)形的維數(shù)即為其包含的最大數(shù)字單形的維數(shù)。

若有限數(shù)字單純復(fù)形的子集仍是有限數(shù)字單純復(fù)形，則稱(chēng)該子集為有限數(shù)字單純子復(fù)形。

2 主要定義

在以上概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)將經(jīng)典拓?fù)鋵W(xué)中的理論推廣到有限數(shù)字單純復(fù)形上。

定義4 給定有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]，[（L，l）]且[φ：（K，k）→（L，l）]，任取[（K，k）]中的[m]維數(shù)字單形[σ]，若[φσ]為[（L，l）]中的[n]維數(shù)字單形，[n≤m]，則稱(chēng)[φ]為有限數(shù)字單純映射。

定義5 令[（K， k）]，[（L， l）]為兩個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形，稱(chēng)有限數(shù)字單純映射[f，g：（K，k）→（L，l）]是[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意數(shù)字單形[σ∈（K，k）]，有[f（σ）?g（σ）∈（L，l）]，記作[f～c，k，lg]。

注 2 定義5中的數(shù)字連續(xù)關(guān)系滿(mǎn)足自反性和對(duì)稱(chēng)性，但是通常情況下并不具有傳遞性。

定義 6 若稱(chēng)有限數(shù)字單純映射

[f，g：（K，k）→（L，l）]

在同一個(gè)[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，即需要存在一個(gè)有限數(shù)字單純映射序列[f=f0～c， k， lf1...～c， k， lfn=g]，其中[fi：（K，k）→（L，l）]，[0≤i≤n]，記作[f～k， lg]。

數(shù)字連續(xù)類(lèi)的概念是類(lèi)比數(shù)字空間中數(shù)字同倫的概念，這也是定義有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字 LS 范疇的關(guān)鍵。

定義 7 對(duì)于有限數(shù)字單純映射

[f：（K，k）→（L，l）]

如果存在另一個(gè)有限數(shù)字單純映射[g：（L，l）→（K，k）]滿(mǎn)足條件[g°f～k， k1K]，[f°g～l，l1L]，則稱(chēng)有限數(shù)字單純映射[f]為強(qiáng)數(shù)字等價(jià)。

注 3 如果在有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]與[（L，l）]之間存在一個(gè)強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的有限數(shù)字單純映射，則稱(chēng)[（K，k）]和[（L，l）]是強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的有限數(shù)字單純復(fù)形，并記作[K～k， lL]。

定義 8 令[（K，k）]為有限數(shù)字單純復(fù)形，對(duì)[（K，k）]的有限數(shù)字單純子復(fù)形[（U，k）]來(lái)講，若存在一個(gè)頂點(diǎn) [x∈（K，k）]，使得內(nèi)射[iU：（U，k）→（K，k）]與常值映射

[cx：（U，k）→（K，k）]

在同一個(gè)[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，即[iU～k， kcx]，則 [（U，k）]滿(mǎn)足數(shù)字單純子復(fù)形范疇的條件。

定義 9 令[（K，k）]為有限數(shù)字單純復(fù)形， 若存在它的一個(gè)覆蓋[{（U0，k），（U1，k），...，（Um，k）}]以及一個(gè)頂點(diǎn)[x∈（K，k）]， 使得內(nèi)射

[iUi：（Ui，k）→（K，k）]

與常值映射

[cx：（Ui，k）→（K，k）]

在同一個(gè)[（k，l）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，則其中的最小整數(shù)[m≥0]稱(chēng)為有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]的數(shù)字LS范疇， 記作[scatk（K）=m]，稱(chēng)

[{（U0，k），（U1，k），...，（Um，k）}]

是[（K，k）]的一個(gè)數(shù)字范疇覆蓋。

在以上定義的基礎(chǔ)上，受經(jīng)典拓?fù)鋵W(xué)中“拓?fù)淇臻g的幾何范疇不是同倫不變量”的影響，給出了有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字幾何 LS 范疇的概念，并在文末（定理3， 定理4）討論了相關(guān)的問(wèn)題。

定義 10 一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]是強(qiáng)數(shù)字收縮是指[（K，k）]強(qiáng)數(shù)字等價(jià)于一個(gè)點(diǎn)，也就是說(shuō)， [1K]與[cx：（K，k）→（K，k）] 在同一個(gè)[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中。

下文中所有“*”均表示數(shù)字單純復(fù)形中的任意頂點(diǎn)。

定義 11 有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]的數(shù)字幾何LS范疇是使其能夠被[m+1]個(gè)強(qiáng)數(shù)字收縮子復(fù)形覆蓋的最小整數(shù)[m≥0]，即存在[（K，k）]的一個(gè)覆蓋

[{（U0，k），（U1，k），…，（Um，k）}?K]，

使得[Ui～（k，k）?]，[0≤i≤m]，記作[gscat（K）=m]。

3 主要結(jié)果及證明

這部分主要分析在改變一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形上的鄰接關(guān)系時(shí)相應(yīng)的數(shù)字 LS 范疇的變化，并證明強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的有限數(shù)字單純復(fù)形有相同的數(shù)字 LS 范疇。最后，給出數(shù)字 LS 范疇與數(shù)字幾何 LS 范疇的關(guān)系等結(jié)果。

定理1 設(shè) [k，l]為有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，?）]上的數(shù)字鄰接關(guān)系，當(dāng)[k>l]，有[scatk（K）≤scatl（K）]

證明 假設(shè)[scatl（K）=m]，由定義 9 可知， 存在[（K，l）]的一個(gè)數(shù)字范疇覆蓋

[{（U0，l），（U1，l），...，（Um，l）}]

以及一個(gè)頂點(diǎn)[x∈（K，l）]使得內(nèi)射

[iUi：（Ui，l）→（K，l）]

與常值映射

[cx：（Ui，l）→（K，l）]

在同一個(gè)[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，其中[0≤i≤m]。再由定義 6 可知，存在以下序列

[iUi=ψ0～c， l， lψ1...～c， l， lψn=cx]，

其中[ψi：（Ui，l）→（K，l）]，[0≤i≤n]。

由于[k > l]，所以?xún)蓚€(gè)滿(mǎn)足[l]-鄰接關(guān)系的點(diǎn)一定滿(mǎn)足[k]-鄰接關(guān)系，從而任意兩個(gè)[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)的有限數(shù)字單純映射也是[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)的，因此處于同一個(gè)[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)的兩個(gè)有限數(shù)字單純映射也處于同一個(gè)[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中。

綜上，[iUi～k， kcx]，故[{（U0，l），（U1，l），...，（Um，l）}]也為[（K，k）]的一個(gè)覆蓋，因此結(jié)論成立。

下面給出引理 1 和引理 2，繼而證明了強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的有限數(shù)字單純復(fù)形有相同的數(shù)字 LS 范疇。

引理 1 設(shè)[f，g ：（K，k）→（L，l）]為有限數(shù)字單純映射，滿(mǎn)足[f～c，k，lg]，若存在數(shù)字單純映射

[i：（N，n）→（K，k）]，[r：（L，l）→（N，n）]

則有[f°i～c， n， lg°i]， [r°f～c， k， nr°g]

證明 任取[（K，k）]中的一個(gè)數(shù)字單形[σ]，由定義4， 有[i（σ）∈（K，k）]。又因?yàn)閇f～c，（k，l）g]， 此時(shí)， 可以得到

[f（i（σ））?g（i（σ））∈（L，l）]

即[f°i（σ）?g°i（σ）∈（L，l）]

同理有

[r°f～c， k， nr°g]

引理 2 設(shè)[f：（K，k）→（L，l）]，[g：（L，l）→（K，k）]為兩個(gè)有限數(shù)字單純映射，且滿(mǎn)足[g°f～k， k1K]，則[scatk（K）≤scatl（L）]。

證明 任取[（L，l）]的一個(gè)有限數(shù)字單純子復(fù)形[（U，l）]，由定義 9 可知，存在一頂點(diǎn)[x∈（L，l）]使得內(nèi)射 [iU：（U，l）→（L，l）]

與常數(shù)值映射[cx：（U，l）→（L，l）]在同一個(gè)[（l，l）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中。由定義 6， 存在以下序列

[iU= φ0～c，（l， l）...～c，（l， l）φn=cx]

其中[φi：（U，l）→（L，l）]，[0≤i≤n] 。

考慮有限數(shù)字單純子復(fù)形[（f-1（U），k）?（K，k）]，因?yàn)?/p>

[g°f～（k， k）1k]

從而有以下序列

[1K=ψ0～c，（k， k）ψ1...～c，（k， k）ψn=g°f]

其中[ψi：（K，k）→（K，k）]，[0≤i≤m] 。此時(shí)，令

[f ′：（f-1U，k）→（U，l）]，[j：（f-1U，k）→（K，k）]，

由引理1 有

[j=1K°j=ψ0°j～c，（k， k）ψ1°j...～c，（k， k）ψm°j] [=g°f°j]，

因?yàn)閇f°j=iU°f ′]，有

[g°f°j=g°iU°f ′=g°φ0°f ′～c，（k，k）g°φ1°f ′…～c，（k，k）g°φn°f ′，]

由于[φn=cx]，從而[g°φn°f ′：（f-1（U），k）→（g（U），k）]

為一個(gè)常值映射，所以有[j～（k， k）g°φn°f ′]，故有限數(shù)字單純子復(fù)形[（f-1U，k）?（K，k）]滿(mǎn)足數(shù)字單純子復(fù)形范疇條件。

綜上，假設(shè)[scatl（L）=q]，[{（U0，l），（U1，l），...，（Uq，l）}]為[（L，l）]的一個(gè)數(shù)字范疇覆蓋，而

[{（f-1（U0），k），（f-1（U1），k），...，（f-1（Uq），k）}]

是[（K，k）]的一個(gè)數(shù)字范疇覆蓋，于是[scatk（K）≤q]。

定理 2 若有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]，[（L，l）] 滿(mǎn)足[K～（k， l）L]，則[scatk（K）=scatl（L）]。

證明 設(shè)[f：（K，k）→（L，l）]為有限數(shù)字單純映射，由[K～（k， l）L]，根據(jù)定義7，存在數(shù)字單純映射

[g： （L，l） → （K，k）] ，

使得[g°f～（k， k）1K]，[f°g～（l， l）1L] 。

又由引理2知，

[scatk（K）≤scatl（L）]，[scatl（L）≤scatk（K）]，故結(jié)論成立。

進(jìn)一步，一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形的核是指它的無(wú)主要頂點(diǎn)的數(shù)字子復(fù)形， 且在數(shù)字同構(gòu)的意義下， 核是唯一的。根據(jù)定理2， 數(shù)字 LS 范疇在強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的條件下是不變的， 故可得以下推論。

推論1 令[（K0，k）]是有限數(shù)字單純復(fù)形[（K，k）]的核， 則[scatk（K）≤scatk（K0）]。

接下來(lái)討論與經(jīng)典拓?fù)鋵W(xué)中一類(lèi)范疇相似的數(shù)字幾何 LS 范疇，仍通過(guò)數(shù)字連續(xù)類(lèi)去類(lèi)比經(jīng)典拓?fù)鋵W(xué)中的同倫概念進(jìn)行討論。

定理 3 [scatk（K）≤gscatk（K）]。

證明 只需證強(qiáng)收縮的數(shù)字單純子復(fù)形滿(mǎn)足數(shù)字單純子復(fù)形范疇條件。事實(shí)上，兩個(gè)概念唯一的區(qū)別是，一個(gè)是指恒等映射[1U]在某個(gè)常值映射[cx]的[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，另一個(gè)是指包含映射[iU：（U，k）→（K，k）]能滿(mǎn)足[iU～（k，k）cx]。

定理4 如果[（L，k）]是[（K，k）]的強(qiáng)數(shù)字收縮，則[gscatk（L）≥gscatk（K）]。

證明 不失一般性，假設(shè)存在一個(gè)強(qiáng)數(shù)字收縮[r：（K，k）→（L，k）]，對(duì)于[（K，k）]中的單形[σ]以及包含映射[i：（L，k）→（K，k）]，當(dāng)[σ?（i°r）（σ）]是[（K，k）]的單形時(shí)，有[r°i=1L]。設(shè)[（V，l）]是[（L，l）]的強(qiáng)數(shù)字收縮子復(fù)形，即恒等映射[1V]在某個(gè)常值映射[cw：（V，k）→（V，k）]的[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，由定義6，這意味著存在一系列的數(shù)字映射

[φi：（V，k）→（V，k）]，[0≤i≤n]，

使得

[1V=φ0～c，（l，l）φ1…～c，（l，l）φn=cw]

令[r′=r|r-1（V）：（r-1（V），k）→（V，k）]，

[i′：（V，k）→（r-1（V），k）]

由引理1 以及[φi～c，（l，l）φi+1]，進(jìn)而

[i′°φi°r′～c，（k，k）i′°φi+1°r′]

顯然[i′°φ0～r′=i′°cw°r′=ci（w）]是一個(gè)常值映射。

另一方面，有[i′°φ0°r′=i′°1V°r′=i′°r′]，并且最后一個(gè)數(shù)字映射與[1r-1（V）]是數(shù)字連續(xù)的。

事實(shí)上，若[σ]是[（r-1（V），k）]中的一個(gè)單形，那么它一定是[（K，k）]的單形，因此[σ?（i°r）（σ）]是[（K，k）]的單形且包含于[（r-1（V），k）]，又由于[（i°r）（σ）=（i′°r′）（σ）]，所以[σ?（i′°r′）（σ）]是[（r-1（V），k）]的單形。

至此，已經(jīng)證明了常值映射[cw]與[1r-1（V）]在同一個(gè)[（k，k）]-數(shù)字連續(xù)類(lèi)中，這也證實(shí)了后者是強(qiáng)數(shù)字收縮的。

現(xiàn)在，令[m=gscat（K）]并且

[{（V0，k），（V1，k），…，（Vm，k）}]

是[（L，k）]的強(qiáng)數(shù)字收縮子復(fù)形的覆蓋，因此

[{（r-1（V0），k），（r-1（V1），k），…，（r-1（Vm），k）}]

是[（K，k）]的強(qiáng)數(shù)字收縮子復(fù)形的覆蓋，這就證明了[gscatk（K）≤m]。

4 結(jié)論

以上結(jié)果給出了同一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形在不同的數(shù)字鄰接關(guān)系下，相應(yīng)的數(shù)字 LS 范疇的大小比較，強(qiáng)數(shù)字等價(jià)的有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字 LS 范疇相等。討論了同一個(gè)有限數(shù)字單純復(fù)形的數(shù)字 LS 范疇與數(shù)字幾何 LS 范疇的關(guān)系，在強(qiáng)數(shù)字收縮下，數(shù)字幾何 LS 范疇不會(huì)降低。

進(jìn)一步展望，Ayse Boart 和 Tane Vergili［4］給出一個(gè)三維數(shù)字空間中數(shù)字圖像的 LS 范疇算法，該算法利用了二維數(shù)字空間中 LS 范疇的定義， 這對(duì)于在更大維數(shù)的數(shù)字空間中是否需要再定義 LS 范疇留下了懸念， 并且，是否可以在有限數(shù)字單純復(fù)形中進(jìn)行研究也是值得探討的。

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責(zé)任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-04-18

［基金項(xiàng)目］ 國(guó)家自然科學(xué)基金（11301386）; 天津市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（19JCYBJC30300）; 天津師范大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目（2022KYCX107Y）

［作者簡(jiǎn)介］ 何震（2000- ）， 男， 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生， 研究方向： 拓?fù)浼捌鋺?yīng)用。

［通訊作者］ 王玉玉（1979- ），女， 博士， 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，研究方向： 代數(shù)拓?fù)渑c計(jì)算拓?fù)洹?/p>