【摘 要】 給出不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的一種參數(shù)求解方法，分別對[K=4D]和[K≠4D]兩種情況進(jìn)行討論，得到相應(yīng)不定方程的參數(shù)解求解公式，其中[K，D]是互素的整數(shù)且[KD>0]。

【關(guān)鍵詞】 參數(shù)法；不定方程；整數(shù)解

Integer Solving of Parameters on the Diophantine Equation [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]

Yang Yaqin

（Qiqihar University， Qiqihar 161006， China）

【Abstract】 In this paper， a parameter method for solving diophantine equation [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）] is given. [K=4D] and [K≠4D] are discussed respectively， and the parametric solution formula of the corresponding diophantine equation is obtained. [K，D] are coprime integers and [KD>0].

【Key words】 parameter method; diophantine equation; Integer solving

〔中圖分類號〕 O156.1 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0033 - 04

關(guān)于不定方程[Kx （x+1）… （x+s）][=Dy （y+1）…]

[（y+t），（x，y∈Z，][ s， t∈Z+）]已經(jīng)有許多研究成果［1-6］。盧安然［1］證明了方程[3x （x+1）（x+2）（x+3）=10y][ （y+1）][（y+2）（y+3）]共有16組整數(shù)解，并且無正整數(shù)解。本文給出不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）][（y+3），][（x，y∈Z）]的一種參數(shù)求整數(shù)解的方法，分別對[K=4D]和[K≠4D]兩種情況進(jìn)行討論，得到不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的參數(shù)解求解公式。

設(shè)[K，D]是已知的整數(shù)，[K，D]互素且[KD>0]，本文中所涉及的變量[x，y，m，n，u，v]都是整數(shù)。[Z]是整數(shù)集。

引理 連續(xù)4個整數(shù)的乘積等于連續(xù)兩個偶數(shù)的乘積。

證明 對于任意整數(shù)[n]，[n（n+1）（n+2）（n+3）]是連續(xù)4個整數(shù)的乘積，有

[n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+3）（n+1）（n+2）]?; [ =（n2+3n）（n2+3n+2）]

而[n2+3n]和[n2+3n+2]是兩個連續(xù)的偶數(shù)或者是兩個連續(xù)的奇數(shù)。

又因連續(xù)4個整數(shù)[n]，[n+1]，[n+2]，[n+3]中必含有兩個連續(xù)的偶數(shù)和兩個連續(xù)的奇數(shù)。

所以，連續(xù)4個整數(shù)的乘積[n（n+1）（n+2）（n+3）]等于連續(xù)兩個偶數(shù)[n2+3n]和[n2+3n+2]的乘積。

1 [ 4x （x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y][∈Z）]的整數(shù)解

定理1 對于給定整數(shù)[K，D]滿足[（K，D）=1]且[KD>0]時，不定方程

[4x （x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]

的解的參數(shù)形式為

[x=n（n+3）2 y=n ， n∈Z]

證明 設(shè)[K，D]是互素的已知整數(shù)，由引理知，對于任意整數(shù)[n]，[n（n+3）]是偶數(shù)，則[x=n（n+3）2]和[y=n]都是整數(shù)。又因

[4x （x+1）=4n（n+3）2[n（n+3）2+1]][=4n（n+3）2n（n+3）+22][=n（n+3）（n2+3n+2）][=n（n+3）（n+1）（n+2）]

所以，則[x=n（n+3）2]，[y=n][（n∈Z）]是不定方程[4x（x+1）=y （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的解。

2 [K≠4D]時，[Kx（x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整數(shù)解

定理2 對于給定整數(shù)[K，D]滿足[（K，D）=1]，[KD>0]和[K≠4D]時，對于不定方程

[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），][（x，y∈Z）]

若存在整數(shù)[h]，使得[Δ=4DKh2+（4D-K）2是平方數(shù)u=-4Dh±ΔK-4D是奇數(shù) v=-Kh±ΔK-4D是整數(shù) 5+4v是平方數(shù) ]， 則

[x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D） y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2 ]，[h]是參數(shù)（[h∈Z]）

當(dāng)[y]是整數(shù)時，[（x，y）]是不定方程[Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整數(shù)解的參數(shù)形式。

證明 因[K，D]互素，而[K=4，D=1]的情況已在定理1中討論，那么，除[K=4，D=1]的情況之外，[K≠4D]成立。

由引理知，[y，y+1，y+2，y+3]中[y+1，y+2]是一奇一偶，則[y，y+3]也是一奇一偶。則

[y（y+3）=y2+3y<y2+3y+2=（y+1）（y+2）]

那么，存在偶數(shù)[m]，使[y（y+1）（y+2）（y+3）=m（m+2）]，其中[y（y+3）=m]。

由 [Kx （x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3）=Dm （m+2）]

得 [Kx2+Kx=D（m2+2m+1-1）]

即 [Kx2+Kx=D（m+1）2-D]

有 [4Kx2+4Kx+K-K=4D （m+1）2-4D]

也就得到[K（2x+1）2-K=4D （m+1）2-4D]

設(shè)[u=2x+1，v=m+1]，得[Ku2-4Dv2+（4D-K）=0]，再設(shè)[u=v+h]，[h∈Z]，有[K（v+h）2-4Dv2+（4D-K）=0]，

即[（K-4D）v2+2Khv+（Kh2+4D-K）=0]，得

[v=-2Kh±4K2h2+4（4D-K）（Kh2+4D-K）2（K-4D）=-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D]

當(dāng)[Δ=4DKh2+（4D-K）2]是平方數(shù)時，得[v=-Kh±ΔK-4D]；

再當(dāng)[v=-Kh±ΔK-4D]是整數(shù)時，由[u=v+h]，得[u=-Kh±ΔK-4D+h]，得[u=-4Dh±ΔK-4D]；

然后當(dāng)[u=-4Dh±ΔK-4D]是奇數(shù)時，由[u=2x+1]得[x=u-12=-4Dh-K-4D±Δ2K-4D]，即

[x=（4D-4Dh-K）±Δ2K-4D]是整數(shù)；

最后當(dāng)[5+4v]是平方數(shù)時，由[y（y+3）=m]和[v=m+1]，得[y2+3y-（v-1）=0]，有

[y=-3±9+4（v-1）2=-3±5+4v2][=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2]

所以，當(dāng)[K≠4D]時，若存在整數(shù)[h]，使得[Δ=4DKh2+（4D-K）2是平方數(shù)u=-4Dh±ΔK-4D是奇數(shù) v=-Kh±ΔK-4D是整數(shù) 5+4v是平方數(shù) ]

則 [x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D） y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2 ]，[h]是參數(shù)（[h∈Z]）

且[y]是整數(shù)時，[（x，y）]是不定方程[Kx（x+1）=Dy （y+1）（y+2）（y+3），（x，y∈Z）]的整數(shù)解的參數(shù)形式。

例1 求[2x（x+1）=y（y+1）（y+2）（y+3）]的整數(shù)解。

解 設(shè)[K=2，D=1]，取[h=2]，

[Δ=4DKh2+（4D-K）2=4×1×2×22+（4×1-2）2=62是平方數(shù)u=-4Dh±ΔK-4D=-4×1×2±62-4×1=-8±6-2=-4±3-1=1或7 v=-Kh±ΔK-4D=-2×2±62-4×1=-4±6-2=-2±3-1=-1或5 5+4v=5+4×-2±3-1=12或52是平方數(shù) ]

那么，有[x=（4D-K-4Dh）±4DKh2+（4D-K）22（K-4D）y=-3±5+4-Kh±4DKh2+（4D-K）2K-4D2]，求得[x=0 y=-1或y=-2]和[x=3 y=1或y=-4]

所以，[（0，-1），（0，-2）]和[（3，1），（3，-4）]都是不定方程[2x（x+1）=y（y+1）（y+2）（y+3）]的整數(shù)解。

例2 求[3x（x+1）=7y（y+1）（y+2）（y+3）]的整數(shù)解。

解 設(shè)[K=3，D=7]，取[h=0]，得

[Δ=4DKh2+ （4D-K）2= （4D-K）2 = 252]，[v=][-Kh±ΔK-4D=±25-25=-1或1]，[u=v+h=-1或1]，[x=u-12]；

因[5+4v=12或32]是平方數(shù)，則[y=-3±5+4v2，] 求得[x=-1 y=-1或y=-2] 和[x=0 y=0或y=-3]

取 [h=10]，有[Δ=][4DKh2+（4D-K）2=][84h2+252=952]，[v=][-Kh±ΔK-4D=-30±95-25]，

因[v∈Z]，得[v=5]，[u=v+h=15]，[x=u-12=7]，

因[5+4v=52]是平方數(shù)，則[y=-3±5+4v2][=-3±52]，求得[y=1或y=-4]，

所以，[（-1，-1），（-1，-2）]，[（0，0），（0，-3）]，[（7，1），（7，-4）]是不定方程[3x（x+1）=7y（y+][1）（y+2）（y+3）]的整數(shù)解。

3 結(jié)論

不定方程[Kx（x+1）… （x+s）][=Dy （y+1）…（y+t），（x，][y∈Z，][ s， t∈Z+）]求整數(shù)解還有許多種形式需要研究，本文只研究了其中一種，為其他形式的不定方程求解提供了思路。

［參考文獻(xiàn)］

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責(zé)任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2023-12-28

［基金項(xiàng)目］ 黑龍江省自然科學(xué)基金聯(lián)合引導(dǎo)項(xiàng)目（LH2019A026）

［作者簡介］ 楊雅琴（1971- ），女，碩士，齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院副教授，研究方向：代數(shù)學(xué)和組合數(shù)學(xué)。