摘要：本文通過研究數(shù)學(xué)分析的相關(guān)概念和思想方法，與中學(xué)數(shù)學(xué)相對應(yīng)的部分進行對比，探究利用數(shù)學(xué)分析的思想方法解決高中數(shù)學(xué)問題的途徑，有利于豐富目前的高中數(shù)學(xué)解題方法和技巧，同時可促進數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；高中數(shù)學(xué)；解題技巧

AnExplorationoftheApproachtoSolvingHighSchoolMathematics

ProblemsUsingtheIdeologicalMethodsofMathematicalAnalysis

JinYingying1*GaoPeng2

1.DepartmentofGeneralRequiredCourses，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487；

2.SchoolofCivilEngineering，GuangzhouPanyuPolytechnicGuangdongGuangzhou511487

Abstract：Thispaper&527124024a35495eb778af80316a7f40nbsp;conductsastudyontherelatedconceptsandideologicalmethodsofmathematicalanalysisandcomparesthemwiththecorrespondingpartsofhighschoolmathematics.Theexplorationintotheuseoftheideologicalmethodsofmathematicalanalysistosolvehighschoolmathematicsproblemscanenrichthecurrentmethodsandtechniquesforsolvingproblemsinhighschoolmathematicsandmayalsopromoteteachingreformsinthecours3b67ac18fd6f8b9d616cbc175b6f46edeofmathematicalanalysis.

Keywords：MathematicalAnalysis；HighSchoolMathematics；ProblemsolvingTechniques

數(shù)學(xué)分析為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的最重要的專業(yè)課程之一。近年來，一些數(shù)學(xué)系師范生有一種片面的觀點，認(rèn)為他們在大學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)師范類主干課程與中學(xué)數(shù)學(xué)沒有多大關(guān)系。事實上，中學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)師范類主干課程的基礎(chǔ)和開端，而數(shù)學(xué)師范類主干課程是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和擴展。對于數(shù)學(xué)系師范生來說，學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析這類數(shù)學(xué)師范類相關(guān)主干課程是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)師范類主干課程對于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)有極大的幫助，而中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)也離不開數(shù)學(xué)師范類主干課程的輔助。數(shù)學(xué)分析通常指以微積分學(xué)和無窮級數(shù)一般理論為主要內(nèi)容，并包括它們的理論基礎(chǔ)（實數(shù)、函數(shù)和極限的基本理論）的一個較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)分析研究的主要方面是關(guān)于微積分學(xué)的研究，微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)是極限理論，而極限理論的理論基礎(chǔ)是實數(shù)理論［1］。正是在討論函數(shù)的各種極限運算的合理性的過程中，數(shù)學(xué)家們一步步建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系。中學(xué)數(shù)學(xué)就是對應(yīng)于我們在中學(xué)時期所進行的數(shù)學(xué)教育與探究。通過在數(shù)學(xué)活動中不斷加深數(shù)學(xué)感，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維。本文通過研究數(shù)學(xué)分析的相關(guān)概念和思想方法，探究對應(yīng)的中學(xué)數(shù)學(xué)的概念和思想方法，從一元函數(shù)微分學(xué)、微分中值定理、條件極值、求曲線的漸近線、求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程這五方面的應(yīng)用來探索利用數(shù)學(xué)分析方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的途徑。

1一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1.1利用求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性

在判斷函數(shù)的單調(diào)性方面，中學(xué)數(shù)學(xué)中用在判斷函數(shù)的單調(diào)性的定義法機械且繁雜，遇到復(fù)雜的計算很難由定義法來判斷函數(shù)的單調(diào)性。數(shù)學(xué)分析中通過求導(dǎo)判斷一元函數(shù)的單調(diào)性相對計算簡便。

例1［4］：證明：f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上嚴(yán)格遞增。

證明：由f（x）=3x+1，故當(dāng)x∈（-∞，+∞）時，f′（x）=3＞0；因為當(dāng)x∈（-∞，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，所以f（x）=3x+1在（-∞，+∞）上嚴(yán)格遞增。

1.2利用求導(dǎo)求函數(shù)的極值

在中學(xué)數(shù)學(xué)階段，極值問題往往需要靈活運用一些基本不等式（如平均值不等式），并需要一定的解題技巧才能解出。而在數(shù)學(xué)分析本科階段，通過一元函數(shù)微分學(xué)方法的使用，對函數(shù)進行求導(dǎo)可以輕易得到函數(shù)的極值性質(zhì)。在此處可以看出使用一元函數(shù)微分學(xué)解法去解答部分中學(xué)數(shù)學(xué)題目顯得更為快捷。

例2：求f（x）=x2+128x的極值。

解：當(dāng)x≠0時，f′（x）=2x-128x2=2x3－128x2。

令f′（x）=0，即f′（x）=2x3－128x2=0，解得x=4，即f（x）=x2+128x的穩(wěn)定點為x=4。

又因為f″（x）=2+256x3，即f″（4）=2+25643=6＞0。

由極值的第二充分條件，x=4為f（x）=x2+128x的極小值點，即極小值f（4）=42+1284=48。

所以f（x）=x2+128x的極小值為48。

2微分中值定理的應(yīng)用

利用微分中值定理證明不等式與等式。對于一些中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)不等式的證明，若通過中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的相關(guān)知識證明的話，通常需用到相應(yīng)的基本不等式，而且證明思路也不是太明朗。我們可以使用數(shù)學(xué)分析里的拉格朗日中值定理可以快捷地證實此類題目。使用數(shù)學(xué)分析里的微分中值定理，此題的思路一目了然，證明過程簡單。因此，在解題過程中千萬不要沉迷于中學(xué)數(shù)學(xué)這個范圍，有時跳出一定的知識面問題或許會豁然開朗。

例1：［4］證明不等式：b－ab＜lnba＜b－aa，其中0＜a＜b。

證明：設(shè)f（x）=lnx，則由拉格朗日中值定理得：

f（b）-f（a）=f′（$）（b-a）

則得：lnb-lna=1$（b-a），其中0＜a＜$＜b，即lnba=b－a$；

又因為0＜a＜$＜b，所以不等式：b－ab＜lnba＜b－aa成立。

例2：證明：arctanx+arccotx=π2，x∈R。

證明：因為x∈R，由拉格朗日中值定理得：

（arctanx+arccotx）′=11+x2－11+x2=0

所以（arctanx+arccotx）′=C（C為常數(shù)）。

又因為：

y=arctanx，定義域為（－∞，+∞），值域為－π2，π2；

y=arccotx，定義域為（－∞，+∞），值域為（0，π）。

令x=0，則arctan0+arccot0=π2=C，所以C=π2。

所以arctanx+arccotx=π2，x∈R成立。

初讀此題，用中學(xué)數(shù)學(xué)知識解題的話，很難想出思路，甚至于即便知道（arctanx+arccotx）′=C（C為常數(shù)），也不知道如何繼續(xù)證明下去。但是如果這里的恒等式證明用數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理證明的話，此題會迎刃而解。由此看來，學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)分析這門專業(yè)課程有利于數(shù)學(xué)系師范生更好地進行中學(xué)數(shù)學(xué)的教育。

3條件極值的應(yīng)用

求解用料最省的相關(guān)應(yīng)用題時，使用中學(xué)知識可以用數(shù)形結(jié)合等方法來解。但是如果用數(shù)學(xué)分析的條件極值方法解答此類問題別有新意，能增添我們的數(shù)學(xué)發(fā)散思維，而且使用條件極值的相關(guān)方法來解答，節(jié)省了大部分計算量，顯得簡潔。

例：［4］要修造一個容量為V的長方形開口水箱，試問水箱的長、寬、高各為多少時，其表面積最??？

解：設(shè)長方形開口水箱的長、寬、高分別為x、y、z（x＞0，y＞0，z＞0）。

則得長方形開口水箱的表面積S=2（xz+yz）+xy。

又可得長方形開口水箱的體積V=xyz，即xyz-V=0。

此題實際上即求解函數(shù)S=2（xz+yz）+xy在前提xyz-V=0與x＞0，y＞0，z＞0下的最小值。

則設(shè)所求問題的拉格朗日函數(shù)是：

L（x，y，z，λ）=2（xz+yz）+xy+λ（xyz-V）

對L分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，則得：

LX=2z+y+λyz=0Ly=2z+x+λxz=0

LZ=2（x+y）+λxy=0Lλ=xyz－V=0

由上面四個式子聯(lián)立，解得：

x=y=2z=32V，λ=－432V

由此得長方形開口水箱在條件xyz-V=0與條件x＞0，y＞0，z＞0下確實存在最小值。

所以當(dāng)高為3V4，長與寬都為高的2倍時，即長與寬都為23V4，其表面積最小，且表面積最小值為：

S=2（xz+yz）+xy=3（2V）23

4求曲線的漸近線的應(yīng)用

求解曲線的漸近線表達式一向是中學(xué)數(shù)學(xué)的熱門研究內(nèi)容，高考?xì)v年多考察計算曲線的漸近線表達式。在中學(xué)數(shù)學(xué)的范圍中，我們可以通過一系列的聯(lián)立曲線方程組的計算來求得曲線的漸近線方程，但是這種運算的計算量實在過大。遇到某些求曲線的漸近線方程的題目，我們其實可以考慮數(shù)學(xué)分析中的極限思想來求解，這樣可以大大地減輕我們求解時所做的運算量。

例：求雙曲線x225-y216=1的漸近線方程。

解：雙曲線x225-y216=1可化為y=±45x2－25。

該漸近線的斜率k為f（x）x=±45x2－25x→±45（x→∞），即得k=±45。

在Y軸上的截距b為f（x）-kx=±45x2－2545x→0（x→∞）。

所以該雙曲線x225-y216=1的漸近線方程為y=±45x。

5求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)的一些復(fù)雜立體圖形的題目中，很多時候都要求我們計算這個立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程。在中學(xué)數(shù)學(xué)階段中，我們只有用幾何法或者向量法來解決此類題目，但是幾何法要求過高的空間想象能力，而向量法往往伴隨著很大的計算量。如果我們遇到一些需要求立體圖形的切線（切平面）與法線（法平面）方程，此時我們不妨如此題般考慮下能否用隱函數(shù)（組）定理求解，從而達到化簡計算量的目的。

例：［4］計算球面x2+y2+z2=50與錐面x2+y2=z2所截出的曲線的點（3，4，5）處的切線和切平面方程。

解：設(shè)F（x，y，z）=x2+y2+z2-50，F(xiàn)（x，y，z）=x2+y2-z2。

它們在點（3，4，5）處的偏導(dǎo)數(shù)和雅克比行列式之值為：

Fx=6，F(xiàn)y=8，F(xiàn)z=10，

Gx=6，Gy=8，Gz=-10

與（F，G）（y，z）=-160，（F，G）（z，x）=120，（F，G）（x，y）=0

所以，曲線在點（3，4，5）處的切線方程為：

x－3－160=y－4120=z－50

即：

3（x－3）+4（y－4）=0

z=5

其法平面方程為-4（x-3）+3（y-4）+0（z-5）=0。

化簡得4x-3y=0。

所以球面x2+y2+z2=50與錐面x2+y2=z2所截出的曲線的點（3，4，5）處的切線方程為：3（x－3）+4（y－4）=0

z=5；其法平面方程為：4x-3y=0。

結(jié)語

數(shù)學(xué)分析對于中學(xué)數(shù)學(xué)的理解與運用能力有極大的幫助，而中學(xué)數(shù)學(xué)的理解與運用能力的提高也離不開數(shù)學(xué)分析的輔助。數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)師范類主干課程是在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上進行更深刻的研究，是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化。而中學(xué)數(shù)學(xué)則通過講述基本數(shù)學(xué)概念來加強我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)分析等大學(xué)主干課程的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)師范類主干課程在內(nèi)容上是中學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)與擴充，在解法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深入與擴展，在思維上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深入與探究。本文通過研究數(shù)學(xué)分析這類數(shù)學(xué)師范主干課程的相關(guān)概念和思想方法，與中學(xué)數(shù)學(xué)相對應(yīng)的部分進行對比，探究利用數(shù)學(xué)分析的思想方法解決高中數(shù)學(xué)問題的途徑，一方面有利于豐富目前的高中數(shù)學(xué)解題方法和技巧，另一方面，以提高數(shù)學(xué)師范生的畢業(yè)后的教學(xué)能力為導(dǎo)向，可促進數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革。

參考文獻：

［1］包崇胡.數(shù)學(xué)分析思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（14）：4849.

［2］何經(jīng)剛.淺談提高學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的策略［J］.安徽教育科研，2022（14）：6667.

［3］何天榮.數(shù)學(xué)分析課程中導(dǎo)數(shù)單元的教學(xué)實施及反思改進——以麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)教育專業(yè)為例［J］.教師，2022（14）：3638.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上、下冊）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001.

［5］金迎迎，謝利紅.從數(shù)學(xué)文化角度探討空間解析幾何的思政元素［J］.科教導(dǎo)刊電子版（上旬），2021（8）：213214.

［6］金迎迎，謝利紅.數(shù)學(xué)軟件在《空間解析幾何》課程實踐教學(xué)中的探索［J］.內(nèi)蒙古煤炭經(jīng)濟，2021（13）：209211.

基金項目：廣州市高等學(xué)校教育教學(xué)改革一般項目（生源多樣化背景下基于藍(lán)墨云班課的翻轉(zhuǎn)課堂實踐研究——以高等數(shù)學(xué)課程為例，項目編號：2022JXGG124）資助

*通訊作者：金迎迎（1982—），女，河南洛陽人，博士，副教授，研究方向：主要從事幾何拓?fù)?、拓?fù)浯鷶?shù)的研究。