摘要：隨著社會(huì)的進(jìn)步和科技的發(fā)展，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門強(qiáng)調(diào)實(shí)踐應(yīng)用的大學(xué)數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程，其教學(xué)研究值得我們不斷思考。本文立足“三全育人”工作格局，以概率統(tǒng)計(jì)中經(jīng)典內(nèi)容貝葉斯公式為例，在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，引導(dǎo)學(xué)生以問題驅(qū)動(dòng)的形式思考和分析問題。融入思政元素，踐行“三全育人”理念，提高學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)德育目標(biāo)，達(dá)到知識(shí)傳授與價(jià)值塑造的雙層目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；三全育人；貝葉斯公式

Abstract：Withtheprogressofsocietyandthedevelopmentoftechnology，thecourse"ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics"，asahighlyappliedpublicbasiccourseinuniversitymathematics，deservesourcontinuousreflectiononitsteachingresearch.Thisarticleisbasedontheworkpatternof"comprehensiveeducation"，takingtheclassiccontentof"probabilityandstatistics"asanexample，andguidingstudentstothinkandanalyzeproblemsinaproblemdrivenmannerintheprocessofclassroomteachingdesign.Integratingideologicalandpoliticalelements，practicingtheconceptof"comprehensiveeducation"，improvingstudents'ability&nb58912c60cc2735be0c5739cfc7da1e81d5ecae810eea07990c6adf116c9a204bsp;toapplyprobabilitytheoryandeducationalstatisticsknowledgetosolvepracticalproblems，achievingmoraleducationgoals，andachievingadualgoalofknowledgetransmissionandvalueshaping.

Keywords：ProbabilityTheoryandMathematicalideologicalandpolitical；Threefulleducation；Bayesformula

習(xí)近平總書記在2016年12月全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上的講話中指出：“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，努力開創(chuàng)我國(guó)高等教育事業(yè)發(fā)展新局面?！保?2］。2020年4月，《教育部等八部門關(guān)于加快構(gòu)建高校思想政治工作體系的意見》印發(fā)，明確提出“以建立完善全員、全程、全方位育人體制機(jī)制為關(guān)鍵”［3］。中國(guó)的設(shè)計(jì)教育需要牢牢把握立德樹人的核心使命，深入挖掘并發(fā)揮中國(guó)特色社會(huì)主義教育的獨(dú)特育人價(jià)值，以社會(huì)主義核心價(jià)值觀作為行動(dòng)指南，以全面提升人才培養(yǎng)質(zhì)量為核心，確保思想政治工作體系與高等院校的教學(xué)體系相互融合、相互貫通。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（簡(jiǎn)稱“概率統(tǒng)計(jì)”）是專注于探究隨機(jī)事件及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。通過本課程的學(xué)習(xí)，旨在幫助學(xué)生掌握概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，以便他們能夠初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本思想和方法，并具有運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力。在全面推進(jìn)“三全育人”的教育背景下，概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)需要注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)。基于此，在教學(xué)過程中，筆者以貝葉斯公式為例，將思政教育有效融入課程教學(xué)，在發(fā)揮概率統(tǒng)計(jì)課程隱性育人功能的同時(shí)，使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到普遍提升。

1教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1教學(xué)背景

貝葉斯公式在概率統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，它被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如科學(xué)、技術(shù)、醫(yī)學(xué)等。貝葉斯公式是在“條件概率、全概率公式”概念提出的前提下，從已知結(jié)果事件的概率推算未知復(fù)雜原因事件概率的內(nèi)容。它是處理“逆向概率”問題，即已知結(jié)果，反推原因的概率問題。

1.2學(xué)情分析

（1）學(xué)生的知識(shí)現(xiàn)狀分析。學(xué)生在上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了條件概率、乘法公式和全概率公式，這些知識(shí)為本節(jié)課深入學(xué)習(xí)貝葉斯公式打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。然而，對(duì)學(xué)生而言，貝葉斯公式理解起來存在一定的難度。因此，在教學(xué)過程中，筆者會(huì)提前對(duì)所需知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固，以確保學(xué)生能夠更好地掌握和理解貝葉斯公式的內(nèi)涵和應(yīng)用。

（2）學(xué)生應(yīng)用層面分析。首先，盡管學(xué)生可以復(fù)述公式，但在面對(duì)真實(shí)問題時(shí)，他們往往不知道如何應(yīng)用貝葉斯公式。學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)據(jù)和信息的分析和處理能力，這使得他們難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。因此文中采用了貼近生活的實(shí)例進(jìn)行分析。其次，將貝葉斯公式應(yīng)用于實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生需要面對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理和模型構(gòu)建問題，這要求他們具備較高的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)背景，采用循序漸進(jìn)的教學(xué)策略，從基本概念入手，逐步深入公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

（3）情感價(jià)值觀分析。由于公式本身的復(fù)雜性，學(xué)生可能會(huì)在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生挫敗感，影響其持續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。在教學(xué)過程中，將從簡(jiǎn)單易懂的生活實(shí)例開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的自信心。

1.3教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：理解貝葉斯公式的含義及其應(yīng)用背景。掌握貝葉斯公式的計(jì)算方法，能夠根據(jù)已知條件進(jìn)行概率計(jì)算。理解貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關(guān)系，借助貝葉斯公式進(jìn)行實(shí)際問題的解決。

（2）能力目標(biāo)：通過實(shí)例演示，學(xué)生了解貝葉斯公式的應(yīng)用場(chǎng)景和重要性；通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，學(xué)生掌握貝葉斯公式的計(jì)算方法和步驟；通過小組討論和案例分析，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并解決的能力。

（3）思政目標(biāo)：將“思政元素”融入專業(yè)課堂。通過貝葉斯公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和探索創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生積極參與討論和實(shí)踐，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力；有助于培養(yǎng)學(xué)生的誠(chéng)信意識(shí)和社會(huì)主義核心價(jià)值觀，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的社會(huì)責(zé)任感和使命感。

1.4教學(xué)重點(diǎn)

（1）理解、掌握貝葉斯公式。

（2）貝葉斯公式的條件概率和全概率之間的關(guān)系。

1.5教學(xué)難點(diǎn)

條件概率和全概率之間的關(guān)系以及在實(shí)際應(yīng)用中，確定是由因求果（全概率公式），還是執(zhí)果索因（貝葉斯公式）。貝葉斯公式的核心在于通過先驗(yàn)概率和新的觀測(cè)數(shù)據(jù)來更新后驗(yàn)概率，這一過程涉及復(fù)雜的邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算，可能使學(xué)生感到困惑。

1.6思路設(shè)計(jì)（見圖1）

2教學(xué)過程

2.1問題引入

案例：測(cè)謊儀是用來檢測(cè)一個(gè)人是否說謊的儀器，經(jīng)常被用于征兵、安全部門的篩查、偵破、訴訟等領(lǐng)域。

問題：如何從概率的角度來說明當(dāng)測(cè)謊儀顯示他說謊時(shí)，他真的說謊了嗎？

2.2舊知回顧

（1）條件概率公式：

P（B|A）=P（AB）P（A）

（2）概率的乘法公式：

P（AB）=P（B|A）P（A）=P（A|B）P（B）

（3）全概率公式：

P（A）=∑ni=1P（A|Bi）P（B）

值得注意的是乘法公式中，這兩個(gè)公式如何來選取呢？就看A和B是誰先發(fā)生。如果B事件先與A事件發(fā)生，就采用前者。如果A事件先于B事件發(fā)生，就采用后者。全概率公式解決的是由因求果的問題，也就是已知原因發(fā)生的概率，探求結(jié)果發(fā)生的概率。知道每一個(gè)原因發(fā)生的概率，再知道每一種原因發(fā)生條件下，結(jié)果發(fā)生了條件概率，然后每一種原因?qū)е陆Y(jié)果發(fā)生的概率加權(quán)求和，就得到了全概率公式。其基本思想就是化繁為簡(jiǎn)，化整為零，分而治之，各個(gè)擊破。

2.3新知探索

用客觀的新信息更新我們最初關(guān)于某個(gè)事物的信念后，我們就會(huì)得到一個(gè)新的、改進(jìn)了的信念。

全概率公式：

全盤考慮所有導(dǎo)致事件B發(fā)生的原因，由因求果。

貝葉斯公式：

P（Ai|B）——條件概率，執(zhí)果索因。

（1）貝葉斯（Bayes）公式定義：

設(shè)A1A2，…An為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，即：

∪niAi=Ω，且AiAj=，i≠j，i，j=1.2.…，n.

對(duì)任意事件BΩ，P（B）＞0，則：

P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj），i=1，2，…n.

英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯（ThomasBayes）提出了一個(gè)重要研究成果——貝葉斯公式。貝葉斯主要研究概率論，并且成功地將歸納推理法融入概率基礎(chǔ)理論中，進(jìn)而形成了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論。貝葉斯在概率論領(lǐng)域有頗深的研究。經(jīng)過多年的發(fā)展和精進(jìn)，貝葉斯公式的核心理念已經(jīng)深化并拓展為一套完整且系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷方法論——“Bayes方法”。

（2）對(duì)貝葉斯公式的證明：

證明：因?yàn)锳1A2，…An為樣本空間的一個(gè)劃分，由全概率公式得：

P（B）=∑ni=1P（B|Ai）P（Ai）

由條件概率公式：

P（Ai|B）=P（AiB）P（B）

=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj）

（3）對(duì)貝葉斯公式的說明：

①把事件B看成某一過程的結(jié)果，而A看成該過程中導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的所有可能原因。根據(jù)以往的資料，每一個(gè)原因發(fā)生的概率是已知的，而且每一個(gè)原因?qū)Y(jié)果的影響程度也是已知的。如果已知結(jié)果B發(fā)生的情況下，要求此時(shí)由第i個(gè)原因所引起的概率，那么就可以用這個(gè)貝葉斯公式了。也就是說，貝葉斯公式解決的是由果索因的問題。

②貝葉斯公式的本質(zhì)：貝葉斯公式的本質(zhì)是在已知某個(gè)觀測(cè)結(jié)果的情況下去更新某個(gè)原因的概率。貝葉斯公式可以用乘法公式和全概率公式來展開條件概率公式中的分子和分母，從而得到更準(zhǔn)確的概率估計(jì)。貝葉斯公式的另一個(gè)重要特點(diǎn)是它考慮了先驗(yàn)概率，即在觀測(cè)結(jié)果發(fā)生之前的原因的概率，從而在更新概率時(shí)能夠考慮到歷史數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)信息。這正是貝葉斯理論的核心思想，就是用后驗(yàn)概率迭代更新先驗(yàn)概率。

2.4問題解決

案例：檢測(cè)人說謊時(shí)正確檢測(cè)的概率為0.88，檢測(cè)人沒有說謊時(shí)誤判的概率為0.14。大部分人比較誠(chéng)實(shí)，說謊概率設(shè)為0.01；把嫌疑犯的說謊概率設(shè)為0.6。比較不同人群測(cè)謊儀測(cè)謊結(jié)果的可信度。

分析：

解：已知P（B|A）=0.88，P（B|A）=0.14

對(duì)大部分人P（A）=0.01

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.01×0.880.01×0.88+0.99×0.14

≈0.06

對(duì)于嫌疑犯P（A）=0.06

由貝葉斯公式：

P（A|B）=P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.6×0.880.6×0.88+0.4×0.14

≈0.904

由上知：先驗(yàn)概率P（A）=0.01P（A）=0.06

后驗(yàn)概率P（A|B）≈0.06P（A|B）≈0.904

故測(cè)謊儀并不適用于普通人，但對(duì)特殊人群還是可信的。初始概率越準(zhǔn)確，就能越容易、越快速地得到真實(shí)的概率。

2.5應(yīng)用舉例

例題“三人成虎”是一個(gè)古老的成語，意思是三個(gè)人謊報(bào)集市里有老虎，聽者就信以為真。這個(gè)成語實(shí)際上是一個(gè)典型的貝葉斯公式應(yīng)用的案例。

假設(shè)集市上出現(xiàn)老虎的概率是P（A）=a，每個(gè)人對(duì)此事（出現(xiàn)老虎）說真話的可能為P（B）=b（這里假設(shè)每人說真話的概率相同，當(dāng)然，概率不同的話也是一樣的道理，為了簡(jiǎn)化后面的推導(dǎo)，就這么假設(shè)），考慮以下幾件事件的概率：

（1）有一個(gè)人說市集上有老虎，而確實(shí)有老虎的概率：P1=P（A|B1）；

（2）有兩個(gè)人說市集上有老虎，確有老虎的概率：P2=P（A|B1B2）；

（3）有n個(gè)人說市集上有老虎，確有老虎的概率：Pn=P（A|B1B2…Bn）。

解：（1）由貝葉斯公式：

P1=P（A|B1）

=P（A）P（B1|A）P（A）P（B1|A）+P（A）P（B1|A）

=abab+（1－a）（1－b）

（2）由貝葉斯公式和條件獨(dú)立：

P2=P（A|B1B2）

=P（A）P（B1B2|A）P（A）P（B1B2|A）+P（A）P（B1B2|A）

=P（A）P（B1|A）P（B2|A）P（A）P（B1|A）P（B2|A）+P（A）P（B1|A）P（B2|A）

=ab2ab2+（1－a）（1－b）2

（3）類似地，我們可得：

Pn=P（A|B1B2…Bn）=abnabn+（1－a）（1－b）n

分析：

集市出現(xiàn)老虎可看作小概率事件，假設(shè)為11000概率發(fā)生，陳述者說實(shí)話的概率為90%，則上述：

（1）P1=0.0089，可信度低。

（2）P3=0.075，還是不可信。

（3）P3=0.42，這時(shí)候作為君主就不可以忽略這種概率。

當(dāng)然，上面一切討論的前提是這n個(gè)人相互獨(dú)立，沒有合伙坑人，這個(gè)時(shí)候國(guó)君是有理由相信市集上有老虎的。這個(gè)問題也說明了指證罪人的可行性，也告誡我們“事不過三”。

2.6知識(shí)小結(jié)

在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常需要計(jì)算某個(gè)未知參數(shù)的后驗(yàn)概率。這可以通過將先驗(yàn)概率、似然函數(shù)和歸一化常數(shù)代入貝葉斯公式來實(shí)現(xiàn)。

（1）確定先驗(yàn)概率P（A）；

（2）計(jì)算似然函數(shù)P（B|A）；

（3）計(jì)算后驗(yàn)概率P（A|B）。

希望通過本文，同學(xué)們能從知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和思政目標(biāo)這三個(gè)方面有所收獲。其中貝葉斯公式以及建模過程是重點(diǎn)，貝葉斯思想以及模型的應(yīng)用是難點(diǎn)。

3教學(xué)反思

3.1思政元素

（1）踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀：誠(chéng)信。大學(xué)生教育中，誠(chéng)信教育尤為重要。當(dāng)代大學(xué)生當(dāng)以誠(chéng)信贏得信任和尊重，實(shí)現(xiàn)個(gè)人和事業(yè)的雙贏。孔子說：“人而無信，不知其可也。大車無輗，小車無軏，其何以行之哉?！笨梢姡庞檬莻€(gè)人成功和社會(huì)和諧的重要基石。

（2）要有“學(xué)無止境”的精神。貝葉斯方法的核心在于利用已知信息更新對(duì)未知事物的認(rèn)識(shí)，這與“學(xué)無止境”的精神不謀而合。持之以恒的學(xué)習(xí)態(tài)度使我們能夠不斷地適應(yīng)環(huán)境的變化，以此提升自己的能力和見識(shí)。

3.2教學(xué)思考

貝葉斯公式是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它為人們提供了在不確定條件下進(jìn)行推理和決策的方法。在教學(xué)過程中，筆者注重將貝葉斯公式的數(shù)學(xué)原理與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，通過案例分析、小組討論等形式，引導(dǎo)學(xué)生理解貝葉斯公式的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，筆者積極探索如何將思政元素自然地融入教學(xué)中，融入思政元素的教學(xué)方法和互動(dòng)式學(xué)習(xí)方式能夠有效提高學(xué)生的思政意識(shí)?？傊?，在貝葉斯公式的教學(xué)過程中應(yīng)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握這一概念，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考和探索將貝葉斯公式應(yīng)用于實(shí)際問題中的方法和策略。

結(jié)語

在課程思政理念下，教師要把“德育”看作教育的根本任務(wù)，更新觀念深入挖掘，以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為載體，發(fā)揮數(shù)學(xué)育人的特殊作用，促進(jìn)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀?！案怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門強(qiáng)調(diào)實(shí)踐應(yīng)用的大學(xué)數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程，其課程思政元素的融入設(shè)計(jì)、這些設(shè)計(jì)在實(shí)際教學(xué)中的有效應(yīng)用，以及思政元素在課堂中的具體實(shí)施策略，都是值得我們深入探討和研究的重要課題。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12101265）

*通訊作者：趙春香（1989—），女，漢族，山東單縣人，博士，助理研究員，碩士生導(dǎo)師，研究方向：無窮維動(dòng)力系統(tǒng)。