【摘要】反證法也叫“逆證法”，是一種間接證明某一命題是否成立的判斷方法，其判斷依據(jù)為判定與命題相矛盾的判斷虛假.該方法是通過(guò)“由果溯因”的思維模式為解決某些疑難問(wèn)題尋找新的突破口，提出了一種新思路.初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視在解決問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.本文就初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)如何應(yīng)用反正法進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；反證法

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，反證法作為一種不可或缺的證明手段，其核心策略是通過(guò)質(zhì)疑一個(gè)命題的對(duì)立面，即假設(shè)其否定為成立，然后通過(guò)邏輯推理揭示這種假設(shè)導(dǎo)致的悖論或與已知事實(shí)的沖突.這種方法用于證明該命題的真實(shí)性.在初中數(shù)學(xué)教育中，反證法的實(shí)踐不僅能夠鍛煉學(xué)生的邏輯推理技巧，而且有助于學(xué)生更好地對(duì)一些定理、公式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.

1 基本命題即學(xué)科中的起始性命題

運(yùn)用反例法，核心在于尋找適當(dāng)?shù)募俣?，從而能從推論中得出相互矛盾的結(jié)論.這往往要求學(xué)生具備一定的洞察力和創(chuàng)造力.只要確定假定，接下來(lái)就可以根據(jù)推導(dǎo)規(guī)律進(jìn)行推理，直至得出相互矛盾的結(jié)論.

例1 “當(dāng)兩條線同時(shí)與另一條線平行時(shí)，原來(lái)的兩條線相互平行.”

已知AB∥EF，CD∥EF，求AB∥CD.

AB

CD

EF

證明 若AB與CD不平行，那么AB與CD則相交于點(diǎn)P，由于AB∥EF，那么AP∥EF、CD∥EF，因此可得出CP∥EF.這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行”的定理產(chǎn)生沖突.因此，原先假設(shè)的AB和CD非平行并不成立，也就是說(shuō)AB∥CD.

解析 由平行定理可知，若兩條線同時(shí)與另一條線平行，則該兩條線亦為平行.因此，由上述兩個(gè)定理可知，EF∥AB，EF∥CD，則AB∥CD是必然的.但從題干來(lái)看，在經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，存在著兩條不同直線與EF平行，從而否定了AB∥CD.因此，假設(shè)的AB和CD不平行并不成立.由此，可以得到如下結(jié)論：若兩條線同時(shí)與另一條線平行，則兩條線也相互平行.由以上分析可知，AB和CD不平行命題不成立，則AB∥CD.

總結(jié) 要讓學(xué)生明白，此類問(wèn)題不能用直接證明法去論證，而要從問(wèn)題的另一面去論證這個(gè)假設(shè)是否成立[1].

2 采取否定形式的命題

命題中有“不是”“沒(méi)有”“不存在”“不可能”等否定字樣的存在.

例2 論證2非有理數(shù)，也就是2為無(wú)理數(shù).

證明 假設(shè)2為有理數(shù)，我們就可以求出自然數(shù)a、b，并得出2=ab.這里涉及的a、b為互質(zhì)的整數(shù)，將2=ab兩邊同時(shí)平方后得出a2=2b2.由于a2是偶數(shù)，因此a必然也是偶數(shù).于是，自然數(shù)c便存在，

可得出a=2c，由此可推導(dǎo)出a2=4c2，2c2=b2，可知b2為偶數(shù)，因此b也同樣為偶數(shù).

從上述可以看出，如果a、b都是偶數(shù)，那么便會(huì)與a、b互質(zhì)相互矛盾，因此最初的假設(shè)不成立，那么2就是無(wú)理數(shù).

解析 當(dāng)需要證明一個(gè)數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí)，如果采用直接證明法，便會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無(wú)從下手，而如果從假設(shè)2為有理數(shù)入手，而得到的結(jié)果必然與原結(jié)論相矛盾，自然也就證明了2為無(wú)理數(shù).

總結(jié) 運(yùn)用反證法處理問(wèn)題，特別是證明否定命題是否正確時(shí)，能極大地簡(jiǎn)化過(guò)程.在初中數(shù)學(xué)中，對(duì)于某些整數(shù)的特性，常用反證法進(jìn)行證明，這種方法不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的深入理解，而且鍛煉了學(xué)生的批判性思考和問(wèn)題解決技巧.

3 有關(guān)個(gè)數(shù)的命題

例3 證明a、b、c三個(gè)正實(shí)數(shù)表達(dá)式至少有一個(gè)大于2：

a+1b，b+1c，c+1a.

證明 首先假定三個(gè)表達(dá)式都小于2，可以將其表述為a+1b<2，b+1c<2，c+1a<2.因a、b、c是任意一個(gè)正實(shí)數(shù)，可以將其表述為a=b=c=5，如此可知a+1b=b+1c=c+1a=515>2，這一結(jié)果與原命題之間存在矛盾.因此，假設(shè)命題不成立，也從側(cè)面反映了原命題的正確性.

解析 “三個(gè)式子中，有一個(gè)不小于2”一共有七種可能，雖然結(jié)果顯而易見(jiàn)，但過(guò)程很復(fù)雜，但“全都小于2”這種反面情形僅有一種可能性.為了從不同視角探討這個(gè)問(wèn)題，可以假設(shè)三個(gè)式子都小于2，然后再去驗(yàn)證原結(jié)論成立.

總結(jié) 通過(guò)上述例子可以發(fā)現(xiàn)，如果結(jié)論中有“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等字眼，那么就可以從另一個(gè)角度去考慮這個(gè)問(wèn)題，然后再用其來(lái)證明這個(gè)原命題，難度會(huì)大大降低[2].

4 有關(guān)角度的命題

例4 在任何一個(gè)三角形內(nèi)，至少有一個(gè)角大于60°.

證明 假設(shè)所有角都小于60°，會(huì)導(dǎo)致內(nèi)角和小于180°.然而，按照三角形內(nèi)角和原理，內(nèi)角和應(yīng)等于180°，這就與假設(shè)的情況相矛盾.所以假設(shè)不成立.從反證法的角度出發(fā)，推導(dǎo)出了“在任意三角形中，至少一個(gè)角大于等于60°”這一定理.

解析 在這種情況下，反證法的作用一目了然.首先，通過(guò)假設(shè)與當(dāng)前條件相反的命題.在此基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)，得到了一個(gè)相互矛盾的結(jié)論（三角形內(nèi)角和定理不符合假定）.最后，通過(guò)邏輯推理，會(huì)得出一個(gè)與初始假設(shè)相悖的結(jié)論，這個(gè)矛盾證實(shí)了原命題的真實(shí)性.

總結(jié) 利用反證法可以快速發(fā)現(xiàn)解題思路，從而有效解決問(wèn)題.反證法作為初中數(shù)學(xué)常用的一種論證方式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維與創(chuàng)新思維有著一定的促進(jìn)作用.

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在教學(xué)中，運(yùn)用反證法對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和解題能力培養(yǎng)是非常必要的.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用反證法可以對(duì)某些公式、幾何圖形進(jìn)行論證.同時(shí)，利用反證法有助于學(xué)生快速理清解題思路，并解決問(wèn)題.因此，教師要在初學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)將反證法作為一種有效的推理方式，來(lái)促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行思考，并將其應(yīng)用到實(shí)際解題中去.

參考文獻(xiàn)：

[1]王輝.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（05）：77-78.

[2]黃輝.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（18）：7-8.