【摘要】二次函數(shù)綜合題中通常會涉及相似三角形，這種類型題目一般都是作為壓軸題目出現(xiàn)，難度較大，重在考查學(xué)生計(jì)算能力以及知識綜合運(yùn)用能力.作為初中數(shù)學(xué)教師，要幫助學(xué)生提高解題效率并保證結(jié)果準(zhǔn)確，就要引導(dǎo)其掌握正確的解題思想方法.本文針對中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)與相似圖形的綜合題型解題思想方法展開研究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題方法

在中考中，二次函數(shù)與相似圖形為重點(diǎn)考點(diǎn)，多在綜合題型中出現(xiàn)[1].學(xué)生對于這方面問題要具備獨(dú)立解決能力，確保解題方向正確，合理使用解題方法，才能加快解題速度，提高結(jié)果的準(zhǔn)確率[2].

1 待定系數(shù)法與分類討論思想結(jié)合

例1 如圖1，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y 軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C處，過點(diǎn)B的拋物線y=-x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，-4）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式；

（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M、O、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在直線BD上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH垂直于x軸，交直線BD于點(diǎn)H．當(dāng)四邊形BOHP是平行四邊形時(shí)，試求動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析 （1）對直線y=2x+2，當(dāng)x=0時(shí)，得y=2，從而可以確定B的坐標(biāo)為（0，2），同時(shí)已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-4），所以可求出直線BD的解析式為：y=-2x+2.

拋物線解析式中，有兩個(gè)待定系數(shù)，將坐標(biāo)點(diǎn)B（0，2），D（3，-4）代入，就能求出拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+x+2.

（2）設(shè)定存在點(diǎn)M使兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似列線段比例式轉(zhuǎn)化成代數(shù)比例式，再轉(zhuǎn)化成方程，最后對方程求解（見圖2）.如果方程有解，就可以證明存在；如果無解，就可以證明不存在[3].因?yàn)樵谝阎獥l件中，并未明確哪兩個(gè)角是對應(yīng)角，所以，此時(shí)分為兩種情況進(jìn)行討論.按照這個(gè)數(shù)學(xué)解題思想，采用如下討論方式[4].

設(shè)定存在點(diǎn)M（x，y）符合題意，拋物線上有M點(diǎn)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)表示為（x，-x2+x+2），就可以得到MN=-x2+x+2，NO=x.應(yīng)用分類討論方法以下面兩種情形展開討論：

①當(dāng)△MNO∽△BOC時(shí)，則MN∶BO=NO∶OC，

所以（-x2+x+2）∶2=x∶1，

所以2x=-x2+x+2，

解得x=1或x=-2.

因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，

所以x=-2不符合題意，舍去.

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1，2）.

②當(dāng)△ONM∽△BOC時(shí)，

則BO∶ON=OC∶MN，

所以2∶x=1∶（-x2+x+2），

所以x=2（-x2+x+2），

解得x=1+334或x=1-334.

因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，

所以x=1-334不符合題意，舍去.

當(dāng)x=1+334時(shí)，

y=1+338，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（（1+33）4， （1+338），

所以符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（1，2），

或M（1+334， （1+338）.

（3）這道題是平行四邊形問題，可按照如下方法解題.

因?yàn)辄c(diǎn)P、H分別在拋物線和直線BD上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a2+a+2），點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（a，-2a +2），又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線BD上方，所以0＜a＜3，所以PH=（-a2+a+2）-（-2a +2）=-a2+3a.

因?yàn)樗倪呅蜝OHP是平行四邊形，所以PH=OB=2，即a2-3a+2=0，解得a=1或a=2均滿足0＜a＜3.

當(dāng)a=1時(shí)，-a2+a+2=2，

當(dāng)a=2時(shí)，-a2+a+2=0，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）， （2，0）

2 分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合

數(shù)學(xué)解題中有時(shí)不僅需要應(yīng)用分類討論思想，還需要結(jié)合使用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)題目給出的條件畫出圖形，基于此列出方程或者比例式，轉(zhuǎn)化為方程，解方程，最終解決問題[5].

例2 如圖3，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)，求該拋物線的解析式.

解析 （1）因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)C（0，-2），

所以可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，

將A（4，0），B（1，0）代入，

得16a+4b-2=0，

A+b-2=0，

解得a=-12，

b=52.

所以此拋物線的解析式為y=-12x2+52x-2.

3 結(jié)語

通過研究明確，中考數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)通常被作為壓軸題，以二次函數(shù)為主要考點(diǎn)，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識，重在考查學(xué)生的知識綜合運(yùn)用能力.中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)與相似圖形的綜合題是比較常見的，一個(gè)考題中將兩個(gè)方面的知識交匯融合，對于中學(xué)生而言，難度非常大.這就需要學(xué)生準(zhǔn)確把握解題思想，合理應(yīng)用解題方法，以提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸立明.二次函數(shù)綜合題解題分析與備考策略——以南寧市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)題型為例[J].中學(xué)教學(xué)參考，2022（17）：22-24.

[2]吳俊紅.巧用思維導(dǎo)圖 引領(lǐng)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——以復(fù)習(xí)二次函數(shù)為例[J].當(dāng)代家庭教育，2022（07）：175-177.

[3]劉永東，李梅菊.動(dòng)靜結(jié)合 雙線并重——2018年中考“圖形與坐標(biāo)”專題命題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（Z1）：99-105.

[4]葉梅花，王海青.善搭腳手架 拆解綜合題——“輔助題目”在二次函數(shù)“倍半角”問題中的應(yīng)用探討[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)版），2023（05）：17-19.

[5]武怡廷，常健.基于SOLO分類理論對“雙減”前后中考幾何題的分析——以2020—2022年陜西中考數(shù)學(xué)試卷為例[J].新智慧，2023（15）：10-12.