【摘要】本文深入探討了初中數(shù)學(xué)中一次函數(shù)的解題方法，旨在為學(xué)生構(gòu)建堅(jiān)實(shí)的理解基礎(chǔ).一次函數(shù)，作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，其解題策略豐富且極具實(shí)用性.本文開篇聚焦于基礎(chǔ)題型，詳細(xì)解析了定義域、值域、斜率、截距等核心概念，幫助學(xué)生打牢理論基礎(chǔ).之后轉(zhuǎn)向應(yīng)用題型，揭示了如何將一次函數(shù)靈活應(yīng)用于解決線性規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)決策等實(shí)際問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和問題解決能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一次函數(shù)；解題方法

在初中數(shù)學(xué)的浩瀚知識(shí)海洋中，一次函數(shù)無疑是一座至關(guān)重要的里程碑.它不僅是連接數(shù)與形的橋梁，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與問題解決能力的關(guān)鍵一環(huán).本研究聚焦于初中一次函數(shù)的解題方法，旨在通過系統(tǒng)梳理與深入分析，為學(xué)生揭開這一數(shù)學(xué)概念的神秘面紗.我們深知，掌握一次函數(shù)的解題技巧，不僅能夠幫助學(xué)生輕松應(yīng)對(duì)各類考試，更能在實(shí)際生活中對(duì)其進(jìn)行廣泛的應(yīng)用.因此，本研究將從基礎(chǔ)題型出發(fā)，逐步深入到應(yīng)用題型和綜合題型，力求全面覆蓋一次函數(shù)的各類解題方法.

1 利用方程組求解一次函數(shù)

例如 已知函數(shù)y=－3x+m與y=3x+n的圖像都經(jīng)過點(diǎn)a，14，那么如何在不求出m和n的值時(shí)，得出m+n的值.

解 通過分析本題，我們可以清晰地認(rèn)識(shí)到，這道題目的核心在于考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)定義、性質(zhì)及其應(yīng)用的深入理解與掌握.解題過程中，學(xué)生需要熟練運(yùn)用一次函數(shù)的基本概念，通過給定的條件——兩個(gè)一次函數(shù)圖像都經(jīng)過同一點(diǎn)a，14，來求解未知數(shù)m和n.

具體地，學(xué)生應(yīng)首先將點(diǎn)a，14分別代入到兩個(gè)一次函數(shù)y=－3x+m和y=3x+n中，利用函數(shù)值與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建出關(guān)于m和n的等式.通過解這兩個(gè)等式，可以求得m=14+3a和n=14－3a.

最后，題目要求求出m和n的和，即m+n.將之前求得的m和n的表達(dá)式相加，即可得到m+n=14+3a+14－3a=28.這一步驟體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的靈活應(yīng)用以及代數(shù)運(yùn)算的能力.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想求解一次函數(shù)

例如 由于公園規(guī)模擴(kuò)大，需要增加一些新的游樂設(shè)施，如圖1，是這次公園新增加的滑滑梯，因?yàn)榛菰谑褂脮r(shí)存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，因此公園設(shè)計(jì)師需要保證新增加的滑滑梯使用安全，已知滑滑梯高度AC=2m，滑滑梯長度AB間的距離為4m.

（1）求滑滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離BC的長度.

（2）根據(jù)滑滑梯的傾斜角∠ABC在45°以內(nèi)，即小于等于該角度屬于安全范圍，公園新增加的滑滑梯的傾斜角是否符合相關(guān)規(guī)定？

解 （1）利用勾股定理c2=a2+b2的公式變形可以得到BC的長度.

在Rt△ABC中，BC2=AB2－AC2=2 3m.

答：滑滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離BC的長度為2 3m.

（2）傾斜角∠ABC可以利用三角函數(shù)定義計(jì)算出數(shù)值，并判斷其是否在規(guī)定的安全角度0°～45°范圍內(nèi).

因?yàn)閠anB=ACBC=223=33，

所以∠ABC=30°，

因?yàn)?0°<45°，

所以公園新增加的滑滑梯的傾斜角符合相關(guān)規(guī)定.

在這個(gè)過程中，數(shù)形結(jié)合思想的核心價(jià)值得到了充分展現(xiàn).通過巧妙地融合勾股定理與三角函數(shù)定義，我們將抽象的數(shù)學(xué)公式與直觀的幾何圖形緊密相連，這一橋梁作用使得我們能夠精準(zhǔn)地求解出未知的邊長與角度.進(jìn)一步地，通過直觀對(duì)比∠ABC與45°的大小，我們能夠迅速評(píng)估滑梯設(shè)計(jì)的安全性，這一過程不僅簡化了復(fù)雜的計(jì)算問題，還極大地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的直觀理解與實(shí)際應(yīng)用能力.數(shù)形結(jié)合不僅是一種解題策略，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與空間想象能力的有效途徑，它在數(shù)學(xué)教育中占據(jù)著舉足輕重的地位.

3 利用面積公式求解一次函數(shù)與面積問題

例如 直線l1：y=13x與直線l2：y=－x+24交于點(diǎn)B.

（1）如圖１，求△ABC的面積；

（2）如圖2，點(diǎn)C為線段OB上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O，B重合），作CD平行于y軸交直線l2于點(diǎn)D，過點(diǎn)C向y軸作垂線，垂足為E．若四邊形DECB的面積為120，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解 （1）在y=－x+24中，令x=0，則y=24，所以A0，24.

y=－x+24y=13x，解得x=18y=6，所以B18，6，

故S△ABO=12OA·xB=12×24×18=216.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)C為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O，B重合），所以設(shè)Ca，13a，且0<a<18，

由CD平行于y軸，得Da，－a+24，

所以DC=－a+24－13a=24－43a.

由S四邊形DECB=S△DEC+S△DCB=12DC·xB=1224－43a×18=216－12a=120，解得a=8，所以C8，83.

在處理一次函數(shù)中的面積問題時(shí)，我們面臨規(guī)則與不規(guī)則圖形的雙重考驗(yàn).規(guī)則圖形如矩形、三角形，其面積求解猶如行云流水：借助函數(shù)關(guān)系精準(zhǔn)定位關(guān)鍵點(diǎn)，輕松獲取線段長度，直接套用面積公式，答案躍然紙上.

5 結(jié)語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)解題方法的研究不僅是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)鍵，更是培養(yǎng)邏輯思維與問題解決能力的有效途徑.通過深入剖析一次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，我們學(xué)會(huì)了如何利用代數(shù)方法求解函數(shù)表達(dá)式，如何根據(jù)函數(shù)關(guān)系確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決面積、最值等實(shí)際問題.這一過程不僅鍛煉了我們的運(yùn)算與推理能力，還讓我們深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]饒國時(shí).初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)解題的幾種常規(guī)思路[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2019，13（32）：129.

[2]周清波.滲透模型思想提高解題能力——以一次函數(shù)問題為例[J].數(shù)理化解題研究，2023（20）：44-46.

[3]黃金松.初中一次函數(shù)教學(xué)的困難與對(duì)策[J].數(shù)理化解題研究，2019（35）：23-24.