【摘要】隨著數(shù)學(xué)教育的深入改革，函數(shù)圖象的研究在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)了越來(lái)越重要的地位.本文以反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象綜合類習(xí)題為研究對(duì)象，通過經(jīng)典例題分析這兩種基本函數(shù)圖象的性質(zhì)、關(guān)系以及在具體問題中的應(yīng)用.此外，還強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)圖象問題中的重要性，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)圖象的性質(zhì)，提高解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)；一次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

1 引言

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，函數(shù)圖象的研究對(duì)于學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)和運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題具有重要意義.反比例函數(shù)和一次函數(shù)是數(shù)學(xué)中兩種基本函數(shù)，它們的圖象分別呈現(xiàn)直線和雙曲線的特點(diǎn).這兩種函數(shù)圖象在坐標(biāo)系中的位置、形狀和變化趨勢(shì)等方面存在著緊密的聯(lián)系.本文以反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象綜合類習(xí)題為研究對(duì)象，旨在深入探討這兩種基本函數(shù)圖象的特點(diǎn)、關(guān)系及其在具體問題中的應(yīng)用.

2 試題呈現(xiàn)

例1 如圖1所示，點(diǎn)P為一次函數(shù)y=12x+1與反比例函數(shù)y=mx（x>0）的圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，PB⊥x軸，垂足為B，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求m的值.

（2）點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=mx（x>0）的圖象上的一點(diǎn)，且在點(diǎn)P的右側(cè)，連接PM.

①連接OP，OM.若S△POM=3S四邊形PBOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

②過點(diǎn)M作MD⊥AP于點(diǎn)D，若∠PMD=45°，求M的坐標(biāo).

3 思路分析

（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可；點(diǎn)M的坐標(biāo)為a，24a，則ON=a，MN=24a，再由S△POM+S△NOM=S△POB+S梯形PBNM，求出a的值，即可求解；

（2）過點(diǎn)P作GH⊥PB交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作MH⊥HG于點(diǎn)H，證明△PGD≌△DHM，可得DG=t－6，PG=12t－3，用t表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算，得到答案.

4 解法探究

（1）對(duì)于y=12x+1，

當(dāng)y=4時(shí)，4=12x+1，

解得x=6，

所以點(diǎn)P6，4，

把點(diǎn)P6，4代入y=mx（x>0），

得4=m6，解得m=24.

（2）①如圖2，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N.

對(duì)于y=12x+1，

當(dāng)y=0時(shí)，x=－2，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1.

所以點(diǎn)A－2，0，B0，1，

所以O(shè)A=2，OC=1.

因?yàn)镻B⊥x軸，點(diǎn)P6，4，

所以PB=4，OB=6，

所以S四邊形PBOC=12OC+PB×OB

=121+4×6=15.

因?yàn)镾△POM=3S四邊形PBOC，

所以S△POM=45.

由（1）得：反比例函數(shù)解析式為y=24x，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為a，24a，

則ON=a，MN=24a.

因?yàn)镾△POM+S△NOM=S△POB+S梯形PBNM，

所以45+12×24=12×24+12PB+MN×BN，

即45=124+24a×a－6，

解得a=24或－32（舍去）.

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為24，1.

②如圖3，過點(diǎn)P作GH⊥PB交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作MH⊥HG于點(diǎn)H.

因?yàn)镸D⊥AP，∠PMD=45°，

所以△PMD是等腰直角三角形，

所以PD=DM.

因?yàn)椤螾DG+∠MDH=90°，

∠PDG+∠DPG=90°，

所以∠DPG=∠MDH.

因?yàn)椤螱=∠H，

所以△PGD≌△DHMAAS，

所以PG=DH，DG=MH.

設(shè)D（t，12t+1，

則DG=t－6，

所以MH=t－6，

DH=12t－3，

所以M32t－3，7－12t.

因?yàn)辄c(diǎn)M是反比例函數(shù)y=24x的圖象上的一點(diǎn)，

所以32t－3×7－12t=24，

解得t1=6，t2=10.

因?yàn)辄c(diǎn)M在點(diǎn)P的右側(cè)，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為12，2.

5 結(jié)語(yǔ)

通過本文對(duì)反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象綜合類習(xí)題的探究，學(xué)生深入了解了這兩種基本函數(shù)圖象的性質(zhì)、關(guān)系以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用.這一研究不僅有助于學(xué)生鞏固函數(shù)知識(shí)，提高解題技巧，還能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)他們的幾何直觀和邏輯思維能力.本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)圖象問題中的重要性.在實(shí)際問題中，通過對(duì)交點(diǎn)、截距、斜率等性質(zhì)的分析，學(xué)生能夠更好地理解這兩種函數(shù)圖象的特點(diǎn).在今后的教學(xué)中，教師應(yīng)繼續(xù)關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，設(shè)計(jì)更多具有啟發(fā)性的習(xí)題，幫助學(xué)生深入挖掘函數(shù)圖象的內(nèi)涵，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]曹勇.初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)綜合題的計(jì)算方法與技巧[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2023（08）：27-30.

[2]周雅婷.基于新課標(biāo)的“反比例函數(shù)”問題鏈設(shè)計(jì)與實(shí)施研究[D].中央民族大學(xué)，2024.

[3]初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)專練（十四） 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2020（Z4）：35-38+72-73.