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分類討論思想在二次函數(shù)綜合習(xí)題中的應(yīng)用

2024-10-22 00:00:00何佳麗
數(shù)理天地(初中版) 2024年20期

【摘要】隨著教育改革的不斷深入,分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性日益凸顯.本文以分類討論思想在初中二次函數(shù)綜合習(xí)題中的應(yīng)用為研究對象,通過實例分析發(fā)現(xiàn),分類討論思想不僅能夠幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù),還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和分析能力.

【關(guān)鍵詞】分類討論;初中數(shù)學(xué);二次函數(shù)

1 引言

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,分類討論思想是一種重要的思維方式,能夠幫助學(xué)生深入理解問題,并培養(yǎng)他們的邏輯思維能力.在二次函數(shù)綜合習(xí)題中,分類討論思想的應(yīng)用尤為重要.通過引導(dǎo)學(xué)生對二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象、頂點、零點等進行分類討論,可以深化他們對二次函數(shù)的理解,提高解題能力.

2 試題呈現(xiàn)

如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+2x+c經(jīng)過點A0,1,點P,Q在此拋物線上,其橫坐標分別為m、2m(m>0),連接AP,AQ.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)當∠PAQ的邊與x軸平行時,求點P與點Q的縱坐標的差;

(3)設(shè)此拋物線在點A與點P之間部分(包括點A和點P)的最高點與最低點的縱坐標的差為h1,在點A與點Q之間部分(包括點A和點Q)的最高點與最低點的縱坐標的差為h2,當h2-h(huán)1=m時,直接寫出m的值.

3 思路分析

(1)一般求解析式類的問題思路均相同,用待定系數(shù)法即可求解出解析式;(2)分AQ∥x軸、AP∥x軸兩種情況,分別根據(jù)拋物線的對稱性求得點Q的橫坐標與點P的橫坐標,進而代入拋物線解析式,求得縱坐標,即可求解;(3)分四種情況討論,當P,Q都在對稱軸x=1的左側(cè)時,當P,Q在對稱軸兩側(cè)時,當點P在x=1的右側(cè)時,當點P的縱坐標小于1時,分別求得h1,h2,根據(jù)h2-h(huán)1=m建立方程,解方程即可求解.

4 解法探究

(1)因為拋物線y=-x2+2x+c經(jīng)過點A0,1,

所以c=1,

所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+1.

(2)①當AQ∥x軸時,點A,Q關(guān)于對稱軸x=1對稱,

xQ=2m=2,

所以m=1,

則-12+2×1+1=2,-22+2×2+1=1,

所以P1,2,Q2,1,

所以點P與點Q的縱坐標的差為2-1=1;

②當AP∥x軸時,則點A,P關(guān)于直線x=1對稱,

xP=m=2,xQ=2m=4,

則-42+2×4+1=-7,

所以P2,1,Q4,-7,

所以點P與點Q的縱坐標的差為1--7=8.

綜上所述,點P與點Q的縱坐標的差為1或8.

(3)①如圖2所示,當P,Q都在對稱軸x=1的左側(cè)時,

則0<2m<1,

所以0<m<12;

因為Pm,-m2+2m+1,

所以Q2m,-4m2+4m+1,

所以h1=yP-yA=-m2+2m+1-1=-m2+2m,

h2=yQ-yA=-4m2+4m+1-1=-4m2+4m,

所以h2-h(huán)1=-4m2+4m+m2-2m=m,

解得m=13或m=0(舍去).

②當P,Q在對稱軸兩側(cè)或其中一點在對稱軸上時,如圖3.

則2m≥1,m≤1,即12≤m≤1,

則h1=-m2+2m,

h2=2-1=1,

所以1+m2-2m=m,

解得m=3+52(舍去)或m=3-52(舍);

③當點P在x=1的右側(cè)且在直線y=1上方時,如圖4,即1<m<2,

因為h1=2-1=1,

h2=2--4m2+4m+1=4m2-4m+1.

因為4m2-4m+1-1=m,

解得m=54或m=0(舍去).

④當點P在直線y=1上或下方時,如圖5,即m≥2,

h1=2--m2+2m+1=m2-2m+1,

h2=2--4m2+4m+1=4m2-4m+1,

所以4m2-4m+1-m2-2m+1=m,

解得m=1(舍去)或m=0(舍去).

綜上所述,m=13或m=54.

5 結(jié)語

本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、頂點式,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.通過本題的探討,可以看到分類討論思想不僅能夠幫助學(xué)生深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維和分析能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想,引導(dǎo)他們在解決二次函數(shù)綜合習(xí)題時,靈活運用分類討論的方法,從而更好地理解和掌握二次函數(shù)的知識.

參考文獻:

[1]黃建武.分類討論法在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中的運用[J].名師在線,2023(21):73-75.

[2]劉曉晴. 初中二次函數(shù)動點問題的解題策略與教學(xué)研究[D].廣州:廣州大學(xué),2024.

[3]何晶晶. 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合題分析及教學(xué)策略研究[D].重慶:西南大學(xué),2024.

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