【摘要】 線段長(zhǎng)度問題是平面幾何問題中的常見問題，涉及知識(shí)點(diǎn)多樣，考查學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想的理解程度.本文探究一道線段長(zhǎng)度問題的解題思路，通過詳細(xì)分析題目特點(diǎn)，提出多種解題方法，并對(duì)每一種方法作出評(píng)注.通過對(duì)不同方法的分析，歸納解題規(guī)律，以求進(jìn)一步完善線段長(zhǎng)度問題的理論體系.

【關(guān)鍵詞】線段長(zhǎng)度；解題技巧；初中數(shù)學(xué)

例題呈現(xiàn)

如圖1所示，已知AC為圓O的直徑，B為圓上（除點(diǎn)A、C外一點(diǎn)），∠ABC的角平分線交圓O于點(diǎn)D.若AB=6，BC=2，求BD的長(zhǎng).

方法展示

視角1 建立線段等式

解法1 解三角形

三角形是平面幾何問題中的基本圖形，利用解三角形的處理方法，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)即可解題.

解 如圖2所示，連接AD、CD，過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H.

因?yàn)锳C是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°，

所以AC=AB2+BC2=210.

因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，

所以∠ABD=∠CBD=45°.

因?yàn)椤螦DC=90°，∠ACD=∠ABD=45°，

所以AD=CD=AC·sin45°=25，

所以AH=BH=AB·sin45°=32.

所以DH=AD2－AH2=2，

BD=BH+DH=42.

解法2 利用面積的不變性

等面積法是解答許多平面幾何問題的重要方法，利用面積的不變性可以得到邊長(zhǎng)之間

解 如圖3所示，連接AD、DC、OD.

因?yàn)锳C是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°.

因?yàn)锽D平分∠ABC，

所以∠ABD=12∠ABC=45°.

因?yàn)椤螦CD=∠ABD=45°，

所以△ACD為等腰直角三角形.

因?yàn)锳B=6，BC=2，

所以AD=CD=25.

因?yàn)镾四邊形ABCD=AB·BC2+AD·DC2=BD·ABsin45°2+BD·BCsin45°2，

所以BD=42.

評(píng)注 本題是一個(gè)靜態(tài)幾何問題，在解決平面幾何問題中的基本思路中，首先要考慮根據(jù)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征建立方程求解，將幾何問題代數(shù)化.解三角形、利用面積的不變性等都是對(duì)線段建立等式的常用方法.

視角2 利用圖形變化

解法3 相似變化

解 如圖4所示，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AB于點(diǎn)F，連接CD.

因?yàn)镋F∥BC，所以△AEF∽△ACB.

因?yàn)锳C是圓O的直徑，所以∠AFE=∠ABC=90°.

因?yàn)锽D為∠ABC的角平分線，所以∠ABE=∠CBE=45°，EF=FB.

因?yàn)锳B=6，BC=2，所以AFFE=ABCB=3，EF=32，BE=322.

因?yàn)椤螧AE=∠BDC，∠ABE=∠DBC，所以△ABE∽△DBC，ABBD=BEBC，BD=42.

解法4 軸對(duì)稱變化

解 如圖5所示，連接AD、CD.在BA上截取線段BM，使得BM=BC，連接DM，并過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N.

因?yàn)锳C是圓O的直徑，

所以∠ABC=∠ADC=90°.

因?yàn)锳B=6，BC=2，所以AC=210.

因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ACD=∠ABD=∠CBD=45°，AD=CD=25.

因?yàn)锽M=BC，BD=BD，∠ABD=∠CBD，所以△BMD≌△BCD.

所以BM=BC=2，DM=CD=25.

所以MN=12AM=2，BN=BM+MN=4.

在Rt△DNM中，DN=DM2－MN2=4，

在Rt△DNB中，BD=DN2+BN2=42.

評(píng)注 圖形變化在初中平面幾何問題中具有重要的作用，主要的圖形變化方式有相似變化、軸對(duì)稱變化、旋轉(zhuǎn)變化等等.圖形變化的目的是將結(jié)合條件進(jìn)行位置上的聚焦，從而便于幾何量的求解.

結(jié)語

通過對(duì)上述這道典型例題兩個(gè)視角的分析，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于靜態(tài)的幾何問題主要可以從兩個(gè)方面來解決：一是利用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)和定理建立關(guān)于幾何量的等式，二則是善于使用各種圖形變換，擺脫原本的圖形結(jié)構(gòu)，將已知條件進(jìn)行位置上的轉(zhuǎn)化，從而得到相應(yīng)的答案.