【摘要】線段長(zhǎng)度問(wèn)題是一類典型的平面幾何問(wèn)題，雖然只涉及對(duì)線段的運(yùn)算，但實(shí)際上是一類綜合題型，涉及勾股定理、相似三角形、幾何變換等知識(shí)點(diǎn).解答此類問(wèn)題學(xué)生不僅需要掌握基本的平面幾何問(wèn)題處理方法，還要靈活運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想.本文探究一道典型例題的解題思路，并據(jù)此提出多種解法，為學(xué)生解答此類問(wèn)題提供指導(dǎo)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】圖形對(duì)稱；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=10，E，D分別是AB，AC上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F，BE=4，CD=2，且BD=CE，求線段BD的值.

2 思路探索

本題中的圖形背景是等腰三角形，具有很強(qiáng)的對(duì)稱性，條件中相等的兩條線段都是由底邊的一個(gè)端點(diǎn)與對(duì)腰上確定的點(diǎn)連接形成的線段.問(wèn)題類型是計(jì)算具有等量關(guān)系的線段長(zhǎng)度.接下來(lái)就要思考：如何構(gòu)造輔助線？如何利用等腰三角形的對(duì)稱性？常用的求解線段長(zhǎng)度的方法有哪些？由此提出下列幾種解法，以供讀者參考.

3 解法展示

解法1 利用圖形對(duì)稱性轉(zhuǎn)移等量，并結(jié)合勾股定理求解.

解 如圖2所示，在BA上取BH=CD=2，連接CH，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P.

因?yàn)锽H=CD，

所以∠ABC=∠ACB.

因?yàn)锽C=BC，

所以△BHC≌△CDB，CH=BD.

因?yàn)锽D=CE，

所以CH=CE.

因?yàn)镃P⊥AB，

所以HP=HE=1，

AP=AE+PE=7.

在Rt△APC中，由勾股定理得：

CP2=AC2－AP2=51.

在Rt△PHC中，由勾股定理得：

CH2=PC2+PH2=52.

因?yàn)镃H>0，

所以CH=213，

BD=CH=213.

評(píng)注 勾股定理是計(jì)算線段長(zhǎng)度的常用工具之一，要想構(gòu)造所求線段相關(guān)的直角三角形并關(guān)聯(lián)已知量與未知量之間的關(guān)系，就需要充分利用等腰三角形的對(duì)稱性轉(zhuǎn)移等量.對(duì)稱思想是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想，對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算，提高計(jì)算效率有著重要作用.

解法2 作平行線構(gòu)造相似三角形，結(jié)合比例關(guān)系解題.

解 如圖3所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.

設(shè)GC=a，DG=b，

在△ABC中，因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB.

因?yàn)锳H⊥BC，EI⊥BC，DG⊥BC，

所以AH∥EI∥DG，

△CDG∽△BEI∽△BAH.

所以CDAC=CGCH，BEBA=BIBH，BECD=BICG，

所以HC=5a，BI=2a，HA=5b，EI=2b.

在等腰三角形ABC中，AH⊥BC，

所以HC=HB=5a，

IC=8a，BG=9a.

在Rt△ECI和Rt△BDG中，

因?yàn)镃E=BD，

所以CI2+IE2=BG2+DG2.

在Rt△CDG中，

因?yàn)镃G2+DG2=CD2，代入數(shù)據(jù)得a2=35.

因?yàn)锽D=CE，

所以BD2=CE2=81a2+b2=4+80a2=52，

BD=213.

評(píng)注 條件中包含已知線段的分點(diǎn)，可以先利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例得到未知線段的比例關(guān)系，再通過(guò)勾股定理計(jì)算所求線段的長(zhǎng).

解法3 建立直角坐標(biāo)系，利用解析法解題.

解 如圖4所示，以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)O，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

分別過(guò)D，E兩點(diǎn)作BC的垂線，垂足分別為H，G.

設(shè)OB=OC=a，OA=b，

所以B（－a，0），C（a，0），A（0，b）.

因?yàn)锳O⊥BC，DH⊥BC，

所以AO∥DH，△ACO∽△DCH，

所以CHCO=CDCA=DHAO.

因?yàn)镃D=2，AC=10，

所以CH=15a，DH=15b，

所以D（45a，15b），

同理可得E（－35a，25b）.

因?yàn)锽D=EC，

所以BH2+DH2=CG2+EG2，

即3b2=17a2.

在△ACO中，OC2+OA2=AC2，

所以a2+b2=100，

所以a2=15，b2=85.

所以BD=（95a）2+（15b）2=213.

評(píng)注 數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想.在平面直角坐標(biāo)系中線段的長(zhǎng)度可以利用兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式求出，這樣思路就更為直接，只需要根據(jù)題目已知條件將所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)求出即可.

4 結(jié)語(yǔ)

上述三種解法從不同的角度解答了這道線段長(zhǎng)度問(wèn)題.總的來(lái)說(shuō)，想要求解線段長(zhǎng)度，從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面，各有一種方法，即勾股定理和兩點(diǎn)之間坐標(biāo)公式，但是其實(shí)兩者的本質(zhì)是一樣的.同時(shí)，還要選擇正確的解題思路，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中圖形的特征，合理構(gòu)造輔助線，實(shí)現(xiàn)幾何量的等量轉(zhuǎn)化，從而使題目條件更加集中，由此簡(jiǎn)化解題過(guò)程.