【摘要】 平行四邊形存在性問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，蘊(yùn)含著圖形變換和方程等知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.對(duì)于此類問(wèn)題一般使用解析幾何的方法來(lái)解決，且主要有兩個(gè)方法，即坐標(biāo)平移法和對(duì)角線平分法.本文結(jié)合一道典型例題，探究?jī)煞N方法在解題中的實(shí)際應(yīng)用，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】平行四邊形；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中存在A（－1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線y=12x+3上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，B，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2 方法展示

方法1 坐標(biāo)平移法

解 ①情況1 若AB是邊，則PQ也是邊，

所以AB∥PQ且AB=PQ，即PQ可視為是AB平移得到的.

由于A（－1，0），B（0，2），

所以點(diǎn)Q在直線y=2或直線y=－2上.

如圖1中Q1，Q2點(diǎn)所示.

當(dāng)點(diǎn)Q在直線y=2上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)Q1，點(diǎn)P即為點(diǎn)P1.

因?yàn)辄c(diǎn)Q1也在直線y=12x+3上，

所以點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（－2，2）.

過(guò)點(diǎn)Q1作Q1H1⊥x軸于點(diǎn)H1，

可得△Q1P1H1≌△BAO，P1H1=AO=1，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（－3，0）.

當(dāng)點(diǎn)Q在直線y=－2上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)Q2，點(diǎn)P即為點(diǎn)P2.

點(diǎn)Q2也在直線y=12x+3上，

所以點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（－10，－2）.

過(guò)點(diǎn)Q2作Q2H2⊥x軸于點(diǎn)H2，

可得△Q2P2H2≌△BAO，P2H2=AO=1，

所以點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（－9，0）.

②情況2 若AB是對(duì)角線，則PQ也是對(duì)角線，AP與BQ為對(duì)邊，則AP∥BQ，由此可確定點(diǎn)Q位置：點(diǎn)Q為直線y=2與直線y=12x+3的交點(diǎn)，即為0e97b97bba20ce4f1c8c305bcccb32d8圖1中的點(diǎn)Q1，點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（－2，2）.此時(shí)點(diǎn)P即為點(diǎn)P3，AP3=Q1B=2，所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）.

綜上所述，符合題目條件的平行四邊形存在.若AB為邊，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－3，0），（－2，2）或（－9，0），（－10，－2）；若AB是對(duì)角線，則P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，0），（－2，2）.

評(píng)注 坐標(biāo)平移法的基本思路就是依靠平行四邊形“對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)，將未知點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，利用已知點(diǎn)之間的關(guān)系，得到構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo).要注意的是“平行四邊形ABCD”和“以A，B，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形”是不同的，前者的四個(gè)定點(diǎn)在平面上是按順序排列的，而后者則不需要.因此，在構(gòu)造平行線時(shí)要注意兩者之間的區(qū)別.

方法2 對(duì)角線平分法

解 因?yàn)辄c(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線y=12x+3上，

所以P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a，0），（b，12b+3）.

①若AB，PQ是對(duì)角線，則AB與PQ互相平分，即AB與PQ的中點(diǎn)重合.

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），

所以AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（－12，1），PQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（a+b2，b+64），

則a+b2=－12b+64=1，

解得a=1b=－2，所以P（1，0），Q（－2，2）.

②若AP，BQ是對(duì)角線，則AP與BQ互相平分，即AP與BQ的中點(diǎn)重合.

因?yàn)锳P中點(diǎn)的坐標(biāo)為（a－12，0），

BQ中點(diǎn)的坐標(biāo)為（b2，b+104），

所以a－12=b2b+104=0，

解得a=－9b=－10，

所以P（－9，0），Q（－10，－2）.

③若AQ，BP是對(duì)角線，則AQ與BP互相平分，即AQ與BP的中點(diǎn)重合.

因?yàn)锳Q中點(diǎn)的坐標(biāo)為（b－12，b+64），BP中點(diǎn)的坐標(biāo)為（a2，1），

所以b－12=a2b+64=1，

解得a=－3b=－2，

所以P（－3，0），Q（－2，2）.

評(píng)注 利用平行四邊形“對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)，從而在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用中點(diǎn)的條件，列出關(guān)于坐標(biāo)的方程，再結(jié)合已知條件，即可解出頂點(diǎn)的坐標(biāo).

3 結(jié)語(yǔ)

解決平行四邊形存在性問(wèn)題，要充分討論各種存在的情況，辨析題目要求，做到不重復(fù)也不漏解.此外，結(jié)合圖形利用坐標(biāo)平移法解答此類問(wèn)題時(shí)還可以借助向量進(jìn)行運(yùn)算，找到相等關(guān)系利用平行四邊形“對(duì)角線互相平分”列出方程求解也是解題的關(guān)鍵，在解題時(shí)要根據(jù)具體情況選擇合適的方法.