【摘要】平面幾何問題中有一些“美麗”的定理，它們很容易從事實(shí)中被歸納出來，但證明的方法卻隱藏很深，構(gòu)造輔助圓和相似比模型就是其中的典型.本文以一道中考模擬題為例，從不同的視角給出此題的解題方法，歸納總結(jié)核心知識點(diǎn)和基本模型，幫助學(xué)生提高解決平面幾何問題的能力.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=3，CE⊥AB，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接AF并延長，交BC于點(diǎn)D.作CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG，求EG的長.

問題分析

解題前，依據(jù)題意可以獲得以下的基本結(jié)論：

①如圖2所示，若△ABC和△ABD都是直角三角形，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

②設(shè)AB=2r，∠DAC=α，則CD=2rsinα.

證明 取AB的中點(diǎn)O，連接OD，OC，作OE⊥CD，垂足為點(diǎn)E.

因?yàn)镺E⊥CD，

所以CD=2DE，∠COD=2∠DOE.

因?yàn)椤螩OD=2∠CAD=2α，

所以∠DOE=α.

所以在Rt△DOE中，DE=DO·sinα=rsinα，

所以CD=2rsinα.

解法展示 視角1 構(gòu)造輔助圓，利用圓的相關(guān)性質(zhì)求解.

解法1 如圖3所示，取AC的中點(diǎn)O，連接GO，EO，作OI⊥GE.

在Rt△FEA中，sin∠FAE=EFAF=55.

則利用結(jié)論②可得：

EG=ACsin∠FAE=355.

解法2 如圖4所示，作EH⊥AD于點(diǎn)H.

在△AFE中，tan∠EAF=12，sin∠EAF=55.

所以EH=AE·sin∠EAF=31010.

因?yàn)镃G⊥AD，

所以∠CGA=∠CEA=90°，

所以C，G，E，A四點(diǎn)共圓，∠EGA=∠ECA=45°，

所以GE=2EH=355.

評注 利用圖形的特征構(gòu)造相應(yīng)的輔助圓，再結(jié)合圓心角的性質(zhì)和相等角的三角函數(shù)值相等的條件得到邊長之比的關(guān)系，由此即可解出長度的大小.

視角2 構(gòu)造相似三角形，利用比例關(guān)系求解.

解法3 如圖5所示，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，在AD上取一點(diǎn)I，使AI=CG.

因?yàn)镋C=EA，∠GCE=∠IAE，AI=CG，

所以△GCE≌△IAE，EG=EI，

所以∠GEI=∠CEA=90°，△EGI是等腰直角三角形.

由平行線的性質(zhì)可得CD=BH=HD=1，

因?yàn)椤鰽CG∽△ADC，

所以ACAD=AGAC=CGDC.

所以AI=CG=31010，AG=91010，

GI=AG－AI=3105.

因?yàn)椤鱁GI是等腰直角三角形，

所以GE=GI2=355.

解法4 如圖6所示，作GN⊥AB，易得△GNA∽△FEA.

在Rt△AEF中，因?yàn)锳E=322，EF=324，

所以FA=3104.

在Rt△CGA中，

因?yàn)镃G2=AC2－AG2=AC2－（AF+FG）2，

所以GF=31020，AG=91010.

因?yàn)椤鱃NA∽△FEA，

所以GNFE=AGAF=NAEA，

GN=9210，AN=925.

所以NE=AN－AE=3210，

EG=NE2+NG2=355.

評注 構(gòu)造相似三角形是解答平面幾何問題的有效途徑，可以幫助我們將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系.在平面幾何問題中，相似三角形有許多的構(gòu)型，掌握了這些基本構(gòu)型，才可以從錯綜復(fù)雜的圖形中分離出解決問題的基本圖形，從而獲得解題思路.

結(jié)語

通過深入探究構(gòu)造輔助圓和利用相似比解答平面幾何問題的解題過程，我們可以發(fā)現(xiàn)這兩種方法在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮著重要的作用，大大降低了解題的難度.同時，合理使用這兩種方法在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力上起到了關(guān)鍵作用.教師在教學(xué)的過程中，要剖析方法背后的數(shù)學(xué)思想與本質(zhì)內(nèi)涵，幫助學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的知識體系，提高解決問題的能力.