【摘要】雙圖關(guān)聯(lián)題是指在問題背景中，圍繞同一個(gè)主題呈現(xiàn)兩個(gè)圖形，一個(gè)圖形提供問題的實(shí)際情境，另一個(gè)圖形以函數(shù)圖象的形式提供動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)據(jù)信息，兩圖相互依存，形成整體．解雙圖關(guān)聯(lián)題時(shí)需要捕捉雙圖的關(guān)聯(lián)信息，融合相關(guān)知識(shí)：一是觀察雙圖理解問題背景，從函數(shù)圖象中捕捉對(duì)解題有效的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；二是對(duì)獲取的信息加工處理，分清變量之間的關(guān)系；三是處理信息，做出合理的判斷并加以解決．

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)；初中數(shù)學(xué)；雙圖關(guān)聯(lián)

雙圖關(guān)聯(lián)題是中考的熱點(diǎn)題.在雙圖問題中，兩個(gè)圖形圍繞同一個(gè)主題，一個(gè)圖形提供問題的實(shí)際情境，另一個(gè)圖形用函數(shù)的圖象提供動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)據(jù)信息，而已知的條件不再由題目的文字語言提供，解題時(shí)需要捕捉雙圖的關(guān)聯(lián)信息，融合相關(guān)知識(shí)解決．雙圖在選擇題、填空題、解答題三大題型中均出現(xiàn).

例1 （2023·河南）如圖1，點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，PBPC＝y(tǒng)，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形ABC的邊長為（ ）

（A）6. （B）3. （C）43. （D）23.

分析與解 問題情境是點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿某直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．但運(yùn)動(dòng)路徑是什么，圖1沒有明示，如圖3，我們假設(shè)點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O，再從點(diǎn)O沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B，接著從圖2的函數(shù)圖象中獲取有效信息，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)0≤x≤2EQR（，3）時(shí)，y＝1，也就是說PBPC＝1，所以PB＝PC，即點(diǎn)P在BC的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的三線合一，知點(diǎn)P在∠BAC的平分線AO上運(yùn)動(dòng)，且AO＝2EQR（，3）.接著，再從點(diǎn)O沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B，還是從圖2的函數(shù)圖象中獲取有效信息，由函數(shù)圖象可知，OB＝2EQR（，3），即AO＝OB＝2EQR（，3），所以∠BAO＝∠ABO＝30°，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，所以AD＝BD，則AD＝AO·cos30°＝3，所以AB＝AD+BD＝6，即等邊三角形ABC的邊長為6．故選（A）．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的難點(diǎn)是點(diǎn)P沿某直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．但運(yùn)動(dòng)路徑是什么，圖1沒有明示，需要結(jié)合問題情境，從圖2的函數(shù)圖象中獲取有效信息，雙圖關(guān)聯(lián)，綜合利用，發(fā)現(xiàn)底角等于30°的等腰△OAB，解決問題．

例2 （2023·江西）綜合與實(shí)踐.

問題提出 某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AC上一點(diǎn)，CD＝2，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，正方形DPEF的面積為S，探究S與t的關(guān)系．

（1）初步感知：如圖4，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，

①當(dāng)t＝1時(shí)，S＝ ；

②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為 ．

（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖5所示的圖象．請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段AB的長．

解答 （1）①當(dāng)t＝1時(shí)，CP＝1，

又因?yàn)椤螩＝90°，CD＝2，

運(yùn)用勾股定理有DP2＝CP2+CD2，S=DP2=3，

故答案為：3；

②當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，CP＝t，

因?yàn)椤螩＝90°，CD＝2，

運(yùn)用勾股定理，S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+2．

故答案為：S＝t2+2.

（2）觀察圖象，由圖5知：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，PD2＝BD2＝6，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處時(shí)，PD2＝AD2＝18，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），

由勾股定理得BC＝2，

AD＝32，所以M（2，6），

設(shè)S＝a（t－4）2+2，將M（2，6）代入，

得4a+2＝6，解得：a＝1，

所以S＝（t－4）2+2＝t2－8t+18，

所以AC＝AD+CD＝42，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝6，

所以拋物線的解析式為S＝t2－8t+18（2≤t≤8）；線段AB的長為6.

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積等，解題的關(guān)鍵是讀懂關(guān)聯(lián)圖，從函數(shù)圖象獲取有效信息．

結(jié)語

借助上面各題的研究，我們從中獲取雙圖關(guān)聯(lián)問題的解題策略：一是觀察雙圖理解問題背景，從函數(shù)圖象中捕捉對(duì)解題有效的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；二是對(duì)獲取的信息加工處理，分清變量之間的關(guān)系；三是處理信息，做出合理的判斷并加以解決．

雙圖關(guān)聯(lián)問題是中考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要學(xué)生自己不斷地練習(xí)，在練習(xí)中反思小結(jié)，形成自己的認(rèn)識(shí)，相信學(xué)生會(huì)順利地完成雙圖關(guān)聯(lián)題的挑戰(zhàn)，迎接中考.