【摘要】 解題訓(xùn)練是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)常規(guī)環(huán)節(jié)，學(xué)生在平常的解題練習(xí)中，當(dāng)遇到一些非典型、非標(biāo)準(zhǔn)的試題時(shí)，假如按照常規(guī)思想與方法進(jìn)行解題往往會陷入困境之中，極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，這時(shí)教師可指引他們嘗試應(yīng)用換元法解題，使其通過另辟蹊徑走出困境.本文主要對換元法如何在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行研究，同時(shí)分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】換元法；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

換元法即為使用一個(gè)新變量將原試題中的某個(gè)元素進(jìn)行替代，也是通過一個(gè)新元素替代題目中的原有元素，將本來非典型、非標(biāo)準(zhǔn)的試題變得典型化與標(biāo)準(zhǔn)化，從一定程度上降低試題難度.初中數(shù)學(xué)教師在解題實(shí)踐中應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生靈活應(yīng)用換元法，通過對研究對象的變化達(dá)到化難為易、化繁為簡的效果，使其從中找到解題的捷徑，促使他們高效完成解題.

1 應(yīng)用換元法解答方程方面試題

針對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說，換元法是常用解題方法之一，特別是當(dāng)處理一些比較復(fù)雜的方程類題目時(shí)，假如使用常規(guī)方法進(jìn)行解題，不僅會增加題目的復(fù)雜程度，甚至還會超出學(xué)生的能力范圍，導(dǎo)致他們無法解答.其實(shí)不少方程類試題中都涵蓋著符合換元的條件，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生仔細(xì)閱讀題目內(nèi)容并進(jìn)行分析，從中找出能夠替換的“元”，且通過新“元”替代，使其將本來復(fù)雜的方程問題變得簡單化，從而助推他們迅速求出正確結(jié)果[1].

例1 已知方程1x2－10x－29+1x2－10x－45－2x2－10x－69=0，求該方程的解.

分析 本題中的方程是一個(gè)非常規(guī)的特殊方程，假如使用常規(guī)方法直接將分母去掉，將會得到一個(gè)高次方程，導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算過程十分繁瑣與復(fù)雜.通過觀察原方程中的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)可使用換元法，設(shè)分母（x2－10x－45）為新“元”，再進(jìn)行變形、去分母與化簡即可求得新“元”的值，然后把x的值給求出來.

詳解 根據(jù)題意可設(shè)y=x2－10x－45，

則原方程變形為1y+16+1y－2y－24=0，

去分母與化簡后能夠得到64y=－384，

解之得y=－6，

即為x2－10x－45=－6，

求得x1=13，x2=－3，

通過檢驗(yàn)均是原方程的解.

2 應(yīng)用換元法解答方程組類試題

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，方程組屬于學(xué)生必學(xué)的一項(xiàng)內(nèi)容，有些方程組題目求解時(shí)難度相對較大，學(xué)生采用常規(guī)方法難以解決，教師可引領(lǐng)他們應(yīng)用換元法，把本來比較復(fù)雜的方程組展開進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如減少方程中未知數(shù)的數(shù)量，降低方程組的次數(shù)等.此外，在解方程組時(shí)，雖然部分方程組適用常規(guī)方法進(jìn)行解答，但是運(yùn)算步驟較多、計(jì)算量較大，學(xué)生在繁瑣的解題中往往會產(chǎn)生這樣或者那樣的錯(cuò)誤，使用換元法則能減少運(yùn)算量，提高解題的正確率[2].

例2 已知方程組2（x+1）=3（y－1）5（x－1）=3（y+1）－7，求該方程組的解.

分析 解決這一題目時(shí)，假如采用常規(guī)方式來解決，將會出現(xiàn)比較復(fù)雜的運(yùn)算過程，學(xué)生在計(jì)算時(shí)容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，影響解題效率，但是可利用換元法，把原方程組中較為復(fù)雜的代數(shù)式通過簡單的字母來代替，即為所謂的“元”，由此把原題變得更為簡單，讓他們找到簡潔的解題流程.

詳解 根據(jù)題意可設(shè)

2（x+1）=3（y－1）=6k，

通過化簡能夠得到x=3k－1，

y=2k+1，

然后將其代入到方程5（x－1）=3（y+1）－7中，

可以得到5（3k－2）=3（2k+2）－7，

解之得k=1，

則原方程組的解是x=3k－1=2

y=2k+1=3.

3 應(yīng)用換元法解答因式分解試題

對于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，有關(guān)多項(xiàng)式的因式分解屬于考查重點(diǎn)之一，還是學(xué)生的一大難點(diǎn)，學(xué)生在進(jìn)行因式分解時(shí)應(yīng)理清其與整式乘法的區(qū)別及聯(lián)系，使其通過對比新舊知識掌握解題竅門.當(dāng)處理一些比較復(fù)雜的因式分解題目時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用換元法，就是將結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的多項(xiàng)式中某一部分視為一個(gè)整體，用新“元”來代替，將復(fù)雜題目變得明朗化、簡單化，以此減少多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，最終讓他們順利完成解題[3].

例3 已知多項(xiàng)式（x2+3x+2）（x2+7x+12）－120，請對該多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

分析 處理本道題目時(shí)，常規(guī)方法是先采用乘法公式對原式進(jìn)行展開后再分解，顯得較為復(fù)雜，而直接運(yùn)A用換元法難度較大，然而通過對題目結(jié)構(gòu)的仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)可先初步變形，化簡以后再采用換元法，最終通過分解與重新組合找到所替換的新“元”，完成解答.

詳解 對原式初步變形后得到

（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）－120，

重新組合后得到

［（x+1）（x+3）］［（x+2）（x+4）］－120，

整理以后得到

（x2+5x+4）（x2+5x+6）－120，

此時(shí)可設(shè)y=x2+5x+4，

則原式為y（y+2）－120=y2+2y－120=（y+12）（y－10），

將y=x2+5x+4代入上式得到

（x2+5x+4+12）（x2+5x+4－10），

繼續(xù)化簡能夠得到

（x+6）（x－1）（x2+5x+16）.

4 結(jié)語

總的來說，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，遇到特殊題目屬于正?，F(xiàn)象，教師應(yīng)切實(shí)認(rèn)識到換元法在解題中起到的重要作用，當(dāng)采用常規(guī)思路很難解題時(shí)，便可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目實(shí)際情況科學(xué)應(yīng)用換元法，找準(zhǔn)換元的切入點(diǎn)，通過新“元”代替舊“元”的方式把本來復(fù)雜化的數(shù)學(xué)題目變得簡單化，使其借助換元法找到解題的捷徑，讓他們輕松突破難題障礙.

參考文獻(xiàn)：

[1]許文倩.初中數(shù)學(xué)解題中換元法例題解析[J].數(shù)理天地（初中版），2023（23）：4-5.

[2]陳剛.換元法助力提升初中數(shù)學(xué)解題效率[J].數(shù)理天地（初中版），2023（23）：31-32.

[3]丁秀珍.巧用換元法助力初中數(shù)學(xué)解題效率提升[J].數(shù)理化解題研究，2023（02）：25-27.