【摘要】 初中階段，二次函數(shù)與幾何綜合題中，最值問題一直是考查的熱點(diǎn)，一般出現(xiàn)在壓軸題目中.這類問題是對學(xué)生函數(shù)、幾何圖象等知識(shí)的綜合考查，其難度較大，在中考中，學(xué)生的得分效果并不理想，嚴(yán)重影響了學(xué)生的成績.本文結(jié)合實(shí)際問題，對常見題型及其解題方法進(jìn)行總結(jié).

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；最值

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，二次函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合常常產(chǎn)生一系列富有挑戰(zhàn)性的問題，其中最值問題尤為突出.這類問題不僅要求學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，還需要學(xué)生靈活運(yùn)用幾何知識(shí).通過深入分析這些問題，可以發(fā)現(xiàn)，求解最值的關(guān)鍵往往在于如何準(zhǔn)確找到二次函數(shù)與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及如何巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解.

1 周長最值

周長問題與線段最值問題有著異曲同工之妙，這類問題主要依托二次函數(shù)，考查一些特殊圖形周長的計(jì)算.在涉及周長的最值問題中，通常會(huì)存在兩條邊是變化的，其余邊長均為固定值，因此在解題中便可以將圖象周長轉(zhuǎn)化為兩邊最值問題.在此基礎(chǔ)之上，便可以通過作對稱點(diǎn)的方法，將兩條邊轉(zhuǎn)化在一條線段上，而后求解最大值或最小值.

例1 如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C，已知A（－3，0），拋物線最低點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－4），點(diǎn)M，N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=2.

（1）求拋物線解析式；

（2）求△OMN周長的最小值.

解析 （1）因?yàn)閽佄锞€最低點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－4），

所以設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x+1）2－4，

將A（－3，0）代入得4a－4=0，則a=1，

則拋物線表達(dá)式為y=x2+2x－3.

（2）令x2+2x－3=0，

解得x1=－3，x2=1，

則A（－3，0），C（0，－3），

易得直線AC的方程為y=－x－3，

設(shè)M（t，－t－3）且（－3<t<－1）

如圖2，過點(diǎn)M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為D，E，過點(diǎn)M向EN作垂線，垂足為F，則EF∥y軸.

因?yàn)镺A=OC，

則∠OAC=45°，∠FMN=45°，

因?yàn)镸N=2，

則MF=FN=1，

則N（t+1，－t－4），

則OM+ON=（t－0）2+（－t－3）2+

［t－（－1）］2+（－t－4）2，

其表示點(diǎn)（t，－t）到點(diǎn)P（0，3）和點(diǎn)Q（－1，4）的距離之和，

其中點(diǎn)（t，－t）在y=－x上，由最短距離模型可知OM+ON最短為QP′，

其中點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于y=－x的對稱點(diǎn)，

易得P′（－3，0），

則QP′=［－1－（－3）］2+42=25，

則△OMN周長的最小值為25+2.

2 面積的最值問題

在二次函數(shù)面積最值問題中，會(huì)涉及三角形、四邊形等圖象，在解題中，通常將其轉(zhuǎn)化為三角形間的關(guān)系進(jìn)行求解.在三角形面積最值中，當(dāng)三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，通常以坐標(biāo)軸所在邊為底，過頂點(diǎn)作底邊垂線，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對值則為三角形的高.如圖3，AB在x軸上，此時(shí)C點(diǎn)的縱坐標(biāo)則為三角形的高CD，進(jìn)而得出面積表達(dá)式進(jìn)行解題.

當(dāng)三角形沒在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以通過輔助線將三角形面積轉(zhuǎn)化為其他三角形面積的和或差.在四邊形面積中，同樣通常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和，通過分別求解三角形面積，進(jìn)而解答實(shí)際問題.需要注意的是，在轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)當(dāng)盡可能轉(zhuǎn)化為計(jì)算較為簡單的三角形面積之和，以降低計(jì)算難度.

例2 如圖4，拋物線y=ax2+53x+c的圖象過點(diǎn)C（0，2）和D（4，－2），E是直線y=－13x+2與拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，

（1）求拋物線解析式；

（2）若M為拋物線上的點(diǎn)，且在直線CE上方，連接MC，OE，ME求四邊形COEM面積的最大值及M點(diǎn)坐標(biāo).

解析 （1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），D（4，－2），

代入y=ax2+53x+c，

可得a=－23，c=2，

則y=－23x2+53x+2.

（2）如圖5，過點(diǎn)M作y軸平行線交CE于點(diǎn)H，

設(shè)M（m，－23m2+53m+2），

則H（m，－13m+2），

所以MH=（－23m2+53m+2）－（－13m+2）=

－23m2+2m，

聯(lián)立y=－23x2+53x+2和y=－13x+2，

可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

所以S四邊形COEM=S△CEO+S△CME=12×2×3+12MH×3

=－m2+3m+3=－（m－32）2+214，

故當(dāng)m=32時(shí)，S四邊形COEM有最大值214，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（32，3）.

3 結(jié)語

綜上所述，二次函數(shù)與幾何圖象綜合題是中考中常見的壓軸題，其中最值問題則是常見的考查點(diǎn)之一.通過上述例題可以發(fā)現(xiàn)，相關(guān)問題并沒有特別復(fù)雜，理清思路后，便可以快速解題.

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