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初中數(shù)學(xué)“圓”的常見考查題型分析

2024-10-22 00:00:00莊國(guó)陽
數(shù)理天地(初中版) 2024年20期

【摘要】初中階段,圓作為一個(gè)普通又特殊的幾何圖形受到命題人的青睞,使得在每年的中考中都會(huì)出現(xiàn)相關(guān)試題.但是,圓的相關(guān)性質(zhì)較多,且與三角形、四邊形等聯(lián)系緊密,導(dǎo)致學(xué)生得分效果不佳.本文總結(jié)中考中圓常見的幾類題型及解題策略,以供學(xué)生參考.

【關(guān)鍵詞】圓;初中數(shù)學(xué);解題技巧

初中數(shù)學(xué)中,圓作為重要幾何圖形,常出現(xiàn)在考題中.其特殊性質(zhì)使得題目可獨(dú)立命題或與三角形、四邊形結(jié)合,增加了解題難度.總結(jié)圓的常見題型,有助于提升學(xué)生解題效率.

1 基礎(chǔ)計(jì)算

基礎(chǔ)計(jì)算是圓相關(guān)問題中最為常見的一種題型,常見的考查方法有求解線段長(zhǎng)度、圖形面積、周長(zhǎng)、角度等.在實(shí)際的解題中,通常不是對(duì)某單一知識(shí)點(diǎn)的考查,而是會(huì)綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn),因此需要學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用圓、三角形、四邊形等知識(shí)來解答問題.如經(jīng)常用到的知識(shí)點(diǎn)有垂徑定理、相似三角形、勾股定理、切點(diǎn)距離等.

例1 如圖1,AB是圓O的直徑,OD垂直于弦AC于點(diǎn)D,DO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E,若AC=42,DE=4,則BC的長(zhǎng)為( )

(A)1. (B)2. (C)2. (D)4.

解析 因?yàn)镺D⊥AC于點(diǎn)D,OE為半徑,

所以∠ODA=90°,

AD=DC=12AC=12×42=22.

在△ABC中,OA=OB,AD=DC,

所以O(shè)D是△ABC的中位線,

所以O(shè)D∥BC,OD=12BC,

設(shè)OD=x,

則AO=OE=4-x,BC=2x,

在Rt△AOD中,∠ODA=90°,

由勾股定理可得AD2+OD2=AO2,

所以(22)2+x2=(4-x)2,

可得x=1.

所以BC=2x=2,則正確答案為(C).

2 動(dòng)點(diǎn)問題

在這類問題中,通常會(huì)涉及一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),同時(shí)會(huì)伴隨圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等情境.在解題中,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思維,要將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為幾何圖形進(jìn)行表示,在此基礎(chǔ)之上,判斷滿足題意時(shí),動(dòng)點(diǎn)所處位置,而后結(jié)合相關(guān)知識(shí),構(gòu)建聯(lián)系,進(jìn)而解答問題.

例2 已知圓O半徑為2,P為圓O上一定點(diǎn),A,B為圓O上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠APB=30°,C為PB的中點(diǎn),則A,B在運(yùn)動(dòng)過程中,線段AC的最大值為( )

(A)2+33. (B)1+3.

(C)2+32. (D)23-2.

解析 由題意可知,連接OA,OB,OP,AB,

取OB中點(diǎn)為M,連接CM,AM,

由∠APB=30°,可得∠AOB=60°,

△AOB為等腰三角形.

圓O半徑為2,由勾股定理可得:

AM=AO2-OM2+22-12=3.

由C為PB的中點(diǎn),可知在△POB中,CM為其中位線,

由中位線性質(zhì)可知,CM=12,OP=1,

在△AMC中,結(jié)合三角形三邊關(guān)系,

可得AC≤AM+MC=3+1,

因此AC的最大值為3+1,此時(shí)A,M,C三點(diǎn)共線,故正確答案為(B).

3 內(nèi)接多邊形

此類試題更多的是對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)概念的考查.因此,學(xué)生要掌握內(nèi)接多邊形的相關(guān)定理及推導(dǎo)方法,如圓內(nèi)接多邊形內(nèi)角和為(n-2)×180°,外角和為360°,圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角等.在實(shí)際的解題中,根據(jù)問題進(jìn)行靈活運(yùn)用.

例3 如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AB為圓O直徑,∠ABD=20°,則∠BCD的度數(shù)為( )

(A)90°. (B)100°. (C)110°. (D)120°.

解析 因?yàn)锳B為圓O直徑,

所以∠ADB=90°,

所以∠A+∠ABD=90°,

所以∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓O,

所以∠A+∠BCD=180°,

所以∠BCD=110°,故正確答案為(C).

4 內(nèi)切圓、外接圓

在對(duì)圓的考查中,三角形的內(nèi)切圓、外接圓屬于必考點(diǎn).對(duì)于內(nèi)切圓,圓心為三角形三個(gè)角角平分線的交點(diǎn);圓心到三角形三邊的距離相等;內(nèi)切圓的面積等于三角形周長(zhǎng)的一半乘以圓的半徑.對(duì)于外接圓,外接圓圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;圓心距離三角形頂點(diǎn)距離即為圓的半徑;當(dāng)三角形內(nèi)心、垂心、重心和外心四點(diǎn)共圓時(shí),即在三角形外接圓上.另外,三角形的內(nèi)切圓、外切圓還存在其他許多知識(shí)點(diǎn),都需要學(xué)生靈活運(yùn)用.

例4 如圖4,△ABC是圓O的內(nèi)接三角形,若∠ABC=45°,AC=2,則圓O的半徑為( )

(A)12. (B)1. (C)32. (D)2.

解析 連接CO并延長(zhǎng),交圓O于點(diǎn)D,連接AD,

可得∠ADC=∠ABC=45°,

因?yàn)镃D是圓O的直徑,

所以∠CAD=90°,

所以AD=AC=2.

在Rt△ACD中,∠CAD=90°,

由勾股定理可得CD2=AC2+AD2,

所以CD=(2)2+(2)2=2,

所以圓O的半徑為1.

5 結(jié)語

綜上所述,圓作為初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),本文總結(jié)了中考中圓常見的幾類命題方法,分別為基礎(chǔ)計(jì)算、位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)、內(nèi)接多邊形、內(nèi)切圓、外接圓等.在日常學(xué)習(xí)中,學(xué)生要重視對(duì)各問題的思考,積極總結(jié)解題方法,以期在解題中,快速解答問題.

參考文獻(xiàn):

[1]阿班.初中數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略[J].數(shù)理天地(初中版),2022(16):15-17.

[2]劉芳娣.初中數(shù)學(xué)解題中有關(guān)圓的解題方法[J].數(shù)理天地(初中版),2023(21):16-17.

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