【摘要】一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最先接觸的函數(shù)內(nèi)容，新課標(biāo)要求學(xué)生不僅要掌握一次函數(shù)的定義、解析式和具體圖象，還要理解一次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.事實(shí)上，一次函數(shù)體現(xiàn)在生活中的各方面，如最常見的利潤(rùn)最大化問題、行程用時(shí)問題以及分配最優(yōu)解問題.學(xué)習(xí)并掌握實(shí)際應(yīng)用問題，不僅能更好地理解一次函數(shù)，還能提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)和解決問題的能力.一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)，掌握理解一次函數(shù)才能更順利地學(xué)習(xí)后續(xù)比較復(fù)雜的內(nèi)容.求解一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，主要可以分為分類分配方案、最大利潤(rùn)方案、行程問題，本文借助例題對(duì)三類實(shí)際問題進(jìn)行分析，總結(jié)相關(guān)思路和步驟，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和解題.

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 分配方案問題

分配方案問題是指已知總數(shù)，要求不同類型的物品或方案選擇達(dá)到最優(yōu)化，如常見的車輛選擇分配問題、購(gòu)買不同類型的物品個(gè)數(shù)方案分配問題.這些分配方案問題首先要知道每個(gè)方案的花費(fèi)或滿足的人數(shù)，根據(jù)等價(jià)關(guān)系式列出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求解得到具體答案.

例1 為迎接“班級(jí)晚會(huì)”，某班級(jí)準(zhǔn)備購(gòu)買AB兩種型號(hào)的彩燈，買2個(gè)A型彩燈和1個(gè)B型彩燈共需100元，且B型彩燈比A型彩燈貴10元．

（1）每個(gè)A型彩燈和B型彩燈各多少元？

（2）需購(gòu)買AB兩種型號(hào)的彩燈共30個(gè)，其中A型彩燈不超過16個(gè)，求購(gòu)買彩燈的總費(fèi)用w（元）與A型垃圾箱a（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明總費(fèi)用至少要多少元？

分析 解答第二問的一次函數(shù)解析式必須知道分配類型A和B的單價(jià)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)總費(fèi)用=方案?jìng)€(gè)數(shù)×方案單價(jià)的等式列出具體關(guān)系等式，從而得到具體一次函數(shù)解析式，分析函數(shù)增減趨勢(shì)和最小值.

解 （1）每個(gè)A型彩燈30元，每個(gè)B型彩燈40元.

（2）①w=30a+4030－a=－10a+1200，

因?yàn)椋?0＜0，

所以w隨a的增大而減小，

因?yàn)閍≤16，

所以當(dāng)a=16時(shí)，

w最小=－10×16+1200=1040，

所以總費(fèi)用至少要1040元.

2 最大利潤(rùn)問題

利潤(rùn)最大化問題一般涉及進(jìn)價(jià)、售價(jià)、進(jìn)貨數(shù)量和售出數(shù)量，在這里等價(jià)關(guān)系式對(duì)應(yīng)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，若要求利潤(rùn)的最大值，需要對(duì)其中未知量做出假設(shè)，列出具體表達(dá)式，進(jìn)而解答問題.

例2 某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)AB兩類服裝進(jìn)行銷售，A類服裝每件進(jìn)價(jià)160元，售價(jià)220元；B類服裝每件進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)160元．現(xiàn)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩類服裝共100件，其中A類服裝不少于60件．設(shè)購(gòu)進(jìn)A類服裝x件，兩類服裝全部售完，商場(chǎng)獲利y元．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若購(gòu)進(jìn)100件服裝的總費(fèi)用不超過15000元，則最大利潤(rùn)為多少元？

分析 求總費(fèi)用應(yīng)遵循單價(jià)×件數(shù)=費(fèi)用的等式關(guān)系列式，借助第一問假設(shè)的變量，結(jié)合問題要求列式，可得到一次函數(shù)與一元一次不等式的綜合式子，解答可求得具體值.

解 （1）由題意可得，設(shè)購(gòu)進(jìn)A類服裝x件，

則購(gòu)進(jìn)B類服裝100－x件，

所以y=220－160x+160－120×100－x=20x+4000，

（2）由題意可得

x≥60160x+120100－x≤15000，

解 不等式組可得60≤x≤75，

因?yàn)閥=20x+4000中，k=20＞0，

所以y隨x的增大而增大，

所以當(dāng)x=75時(shí)，y最大，

最大值為5500（元）.

3 行程問題

行程問題是和時(shí)間、路程和速度有關(guān)系的實(shí)際問題，其中時(shí)間一般是未知變量，會(huì)給出已知速度，此時(shí)路程和時(shí)間對(duì)應(yīng)等式關(guān)系：路程=時(shí)間×速度，列出一次函數(shù)解析式，結(jié)合其他問題要求列出方程或不等式，解答即可得到答案.

例3 如圖1所示，學(xué)校在小亮家和圖書館之間，小亮步行從家出發(fā)經(jīng)過學(xué)校勻速前往圖書館．圖2是小亮步行時(shí)離學(xué)校的路程y（米）與行走時(shí)間x的關(guān)系圖.

（1）小亮步行的速度為米/分，a=分；

（2）求線段所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）經(jīng)過多少分時(shí)，小亮距離學(xué)校100米.

分析 首先根據(jù)已知圖象求出步行速度，其次分析走完學(xué)校和圖書館兩段路程需要的總時(shí)間.由于學(xué)校處于家和圖書館的中間位置，變量y與x的關(guān)系式涉及線段BC表示的一次函數(shù)解析式，將具體點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出斜率和截距，即可得到具體表達(dá)式和最終值.

解 （1）由圖象可知，小亮離學(xué)校150米，學(xué)校離圖書館300米，

小亮從家到學(xué)校用時(shí)6min，

所以小亮的步行速度為25（米/分），

從學(xué)校到圖書館用時(shí)12（分鐘），

所以a=12（分）.

（2）設(shè)線段BC表示的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+bk≠0，

把6，0、18，300代入表達(dá)式可得

6k+b=018k+b=300，

解不等式組得k=25b=－150，

所以線段BC所表示的函數(shù)表達(dá)式為y=25x－150.

（3）設(shè)經(jīng)過x分鐘時(shí)，小亮距離學(xué)校100米，

①小亮到達(dá)學(xué)校前，小亮距離學(xué)校100米，

25x+100=150，

解得x=2，

②當(dāng)小亮到達(dá)學(xué)校后，小亮距離學(xué)校100米，

25x－100=150，

解得x=10，

所以經(jīng)過2分鐘或10分鐘后，小亮距離學(xué)校100米.

4 結(jié)語(yǔ)

上述三類題型都是常見的實(shí)際生活問題，也是和一次函數(shù)聯(lián)系緊密的實(shí)際應(yīng)用問題.掌握一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，首先要熟悉一次函數(shù)解析式、點(diǎn)坐標(biāo)和圖象，還需要理解實(shí)際問題中包含的等價(jià)關(guān)系，假設(shè)自變量與應(yīng)變量，按照關(guān)系等式列式，繼而做出進(jìn)一步的解答.

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