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二元一次方程組在工程問題中的應(yīng)用探討

2024-10-22 00:00:00劉永
數(shù)理天地(初中版) 2024年20期

【摘要】本文主要探討二元一次方程組在工程問題中的應(yīng)用,通過具體案例分析,展示如何利用二元一次方程組解決工程中的實際問題,供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二元一次方程組;工程問題

在工程問題中,常常會遇到一些需要求解的問題,這些問題往往需要使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解.二元一次方程組作為一種基本的數(shù)學(xué)工具,在工程問題中具有廣泛的應(yīng)用.本文將通過具體案例,分析二元一次方程組在工程問題中的應(yīng)用.

1 生產(chǎn)效益問題

例1 某市有一家商店需要裝修,若A、B兩個裝修工程隊同時進(jìn)行裝修,預(yù)計8天可以完成任務(wù),需付給兩工程隊的總費用為3520元;若先讓A工程隊單獨裝修6天,然后讓B工程隊單獨裝修12天可以完成任務(wù),需付給兩工程隊的總費用為3480元,問:

(1)A、B兩個裝修工程隊單獨裝修1天,商店應(yīng)各付他們費用多少元?

(2)已知A工程隊單獨裝修需要12天,B工程隊單獨裝修需要24天,裝修完成之后,商店每天就可盈利200元,那么,如何安排裝修最有利于商店經(jīng)營呢?通過計算闡述理由.

解析 (1)設(shè)A工程隊單獨裝修一天應(yīng)付工資x元,B工程隊單獨裝修一天應(yīng)付工資y元,

依題意得:8x+8y=35206x+12y=3480,

解得x=300y=140,

所以A工程隊單獨裝修一天應(yīng)付工資300元,B工程隊單獨裝修一天應(yīng)付工資140元.

(2)A工程隊單獨裝修:300×12+200×12=6000(元),

B工程隊單獨裝修:140×24+200×24=8160(元),

A、B兩個裝修工程隊裝修:(300+140)×8+200×8=5120(元).

因為5120<6000<8160,

所以由A、B兩個裝修工程隊同時裝修有利于商店經(jīng)營.

2 貨物運(yùn)輸?shù)某杀締栴}

例2 為實現(xiàn)“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略目標(biāo),某鄉(xiāng)鎮(zhèn)制定了“以產(chǎn)業(yè)帶動發(fā)展”的策略,開發(fā)出了某新型農(nóng)產(chǎn)品,計劃租用A,B兩種型號的貨車將該農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往外地銷售,已知用一輛A型車和2輛B型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)11噸;用2輛A型車和一輛B型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)10噸.現(xiàn)有該農(nóng)產(chǎn)品31噸,計劃一次運(yùn)完,且每輛車都滿載.

(1)一輛A型貨車和一輛B型貨車滿載時一次分別運(yùn)該農(nóng)產(chǎn)品多少噸?

(2)若一輛A型貨車需租金100元/次,一輛B型貨車需租金120元/次,請問有幾種租車方案?哪種最省錢?

解析 (1)設(shè)一輛A型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送x噸,一輛B型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送y噸,

由題意可得:x+2y=112x+y=10,

解得:x=3y=4,

所以一輛A型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送3噸,一輛B型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送4噸.

(2)設(shè)租用A型貨車a輛,B型貨車b輛,

由題意可得:3a+4b=31,

所以a=31-4b3,

又因為a,b均為非負(fù)整數(shù),

所以a=9b=1,或a=5b=4,或a=1b=7,

所以該物流公司共有3種租車方案,

方案1:租用9輛A型車,1輛B型車;

方案2:租用5輛A型車,4輛B型車;

方案3:租用1輛A型車,7輛B型車,

所以方案1的費用:9×100+1×120=1020元,

方案2的費用:5×100+4×120=980元,

方案3的費用:1×100+7×120=940元,

因為1020>980>940,所以方案3最省錢.

3 工期問題

例3 為打造某地區(qū)的風(fēng)景帶,需要將一段長400米的河道進(jìn)行美化治理,計劃由甲,乙兩組先后接力完成任務(wù),一共用時20天.已知甲組每天治理24米,乙組每天治理16米,結(jié)合題意,小李和小王兩名同學(xué)分別列出了不太完整的方程組:

小李:a+b=①24a+16b=②

小王:x+y=③x24+y16=④

(1)根據(jù)小李和小王兩名同學(xué)所列出的方程組,請分別指出這些未知數(shù)所表示的含義.

甲:未知數(shù)a,b分別表示.

乙:未知數(shù)x,y分別表示.

(2)補(bǔ)全小李和小王兩名同學(xué)所列的方程組.

(3)若甲組完成計劃河道治理任務(wù)后,乙組接到通知需提前5天完成剩余的治理任務(wù),問乙組現(xiàn)在每天需治理多少米河道?

解析 (1)根據(jù)小李所列方程:

a+b=①24a+16b=②,

分析可知a表示甲組的工作時間,b表示乙組的工作時間;

根據(jù)小王所

列方程:x+y=③x24+y16=④,

分析可知x表示甲組的工作量,y表示乙組的工作量.

(2)設(shè)甲組的工作時間為a天,乙組的工作時間為b天,

因為計劃由甲,乙兩組先后接力完成,共用時20天,河道總長為400米,

所以a+b=2024a+16b=400,

設(shè)甲組的工作量為x米,乙組的工作量為y米,

因為甲,乙兩組的工作總量為400米,甲,乙兩組的工作時間為20天,

所以x+y=400x24+y16=20.

(3)設(shè)甲組的工作時間為a天,乙組的工作時間為b天,

因為原計劃由甲,乙兩組先后接力完成,共用時20天,河道總長為400米,

所以a+b=20①24a+16b=400②,

解得:a=10b=10,

因為甲組完成計劃河道治理任務(wù),

所以甲組完成的任務(wù)為10×24=240(米),

因為河道治理總?cè)蝿?wù)為400(米)

所以剩下的任務(wù)為400-240=160(米),

因為乙組接到通知需提前5天完成剩余的治理任務(wù),

所以乙組現(xiàn)在每天需治理的任務(wù)為160米5天=32(米/天).

4 結(jié)語

二元一次方程組在工程問題中具有廣泛的應(yīng)用,可以幫助企業(yè)解決實際工程問題,提高企業(yè)的效率和效益.同時,這種工具也有助于提高工程師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力.

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