摘要：文章以導數概念教學為例，以APOS理論為依據，借助幾何畫板，分4個階段對導數概念進行教學設計.通過實踐，對比傳統(tǒng)教學模式，該方法不僅能提高學生的原有認知水平，還能讓他們對概念的理解達到一個更高的水平.

關鍵詞：APOS理論；幾何畫板；導數

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）27-0002-04

隨著教育改革的深入，高中數學概念教學的有效性日益受到關注.傳統(tǒng)的概念教學方式往往只注重機械化記憶，而忽視學生對概念認知的遞進過程.APOS理論作為一種新型教學理論，強調學生在概念學習中的心理認知過程，為概念教學提供了新的視角.APOS理論主張學生在概念學習過程中，需經歷四個階段的心理認知過程，包括操作階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme）.這四個階段層層遞進，有助于學生深入理解和掌握概念.同時，信息技術的快速發(fā)展為數學概念教學提供了更多的可能性.幾何畫板作為一種信息化教學工具，具有直觀、動態(tài)的特點，能夠幫助學生更好地理解數學概念.因此，本研究旨在結合APOS理論和幾何畫板，探討高中導數概念教學的有效方法，希望能在一定程度上提高教學效果以及激發(fā)學生對數學概念的學習興趣.

1理論基礎

APOS理論是美國數學家杜賓斯基在皮亞杰“自反抽象”理論的基礎上提煉而成，該理論認為，學生不能直接學習到數學概念的本質，需要通過心智結構將所學的數學概念產生意義.杜賓斯基發(fā)現，以APOS理論為指導的教學方法還能有效地提高學生的發(fā)現能力和分析能力［1］.這一建構過程主要包括以下4個階段.

1.1操作（Action）階段

操作階段是學生建構數學概念的起點，即通過“操作”從外界給予一種刺激，學生可以親身體驗和感悟數學概念的直觀背景，這就要求教師能給學生提供一個符合現有認知水平的思維背景，使學生在獲得嚴格的定義之前，先對新的數學概念能有初步的感性認識.以導數概念教學為例，我們可以借助幾何畫板軟件生成數學對象的動態(tài)圖象，根據課程內容進程的需要進行不同程度的圖形變換，感悟“數”與“形”之間的密切聯系，為下一階段的教學奠定基礎.

1.2過程（Process）階段

在經歷了前一階段的連續(xù)操作和直觀感知之后，學生便會在頭腦中對活動進行心理操作，并將其壓縮內化，抽象出新概念的本質特征.由于省去一些復雜的操作，學生才能快速地完成對過程的逆轉和多種過程的組合，形成邏輯化的數學思維.在此階段，教師需要提出一些新的問題，讓學生進行更深入的數學思考.幾何畫板是解決這些問題的最佳輔助工具，利用其動態(tài)變化過程，反復改變約束條件，化抽象為具體，實現學生思維從量變到質變的轉化，掌握概念的精髓.

1.3對象（Object）階段

對象階段是用自己的語言邏輯對抽象出的本質特征賦予形式化的定義和符號，使其成為一個完整的數學對象.隨著學習的深入，學生在頭腦中將會不斷地豐富和完善數學概念，呈現出靜態(tài)的結構關系，更容易從整體上把握概念的本質.此時，學生可以清楚地指出數學概念的各種性質，還可以借助幾何畫板靈活的動態(tài)性和強大的計算功能，實現數學對象的各項運算.

1.4圖式（Scheme）階段

圖式階段是一個不斷深入學習的過程，需要學生將新學習的知識和原有知識聯系起來，通過同化和順應建立新的平衡，最后將知識融入自己已有的認知框架中，使知識之間產生新的、有意義的聯系，從而借助新獲得的概念解決一些相關的數學問題.在這種長期的建構過程中，可以進一步提高學生的思維和感知能力，并對新概念的加工和處理進入更高的層次.在幾何畫板環(huán)境下，上述四階段關系如圖1所示.

幾何畫板是由美國數學教育研究員Nicholas Jackiw設計而成的，它是一款允許用戶通過點、線、面以及各種三維圖形的操作來滿足教師的教學需求，同時它還被廣泛應用于平面幾何、代數、統(tǒng)計學、物理等學科的動態(tài)課堂教學活動中.

APOS理論只是描述學生可能具有的思維能力，但學生頭腦中“真正”產生了什么樣的效果不是教師能主觀決定的，APOS理論分析的主要目的就是指出可能的教學策略和方法，以供有需要的教師作為參考、借鑒.這里是以高中導數概念教學為例，基于APOS理論的指導，依托幾何畫板數學教學軟件探討概念教學的全過程.

2導數概念的教學設計

根據《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對“導數及其應用”的定位，要求學生不僅要學習導數的概念、基本運算，更要體會導數的內涵和性質，感悟極限的思想.這樣才能從宏觀上把握導數的概念，感受導數在研究函數和解決實際問題中的作用，體會導數內容設置的真正意義.

2.1創(chuàng)設情境，開展活動——操作階段

引例（人民教育出版社高中B版教科書數學選修2-2，第一章第一節(jié)第6頁）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系：h=-4.9t2+6.5t+10.試探究運動員在t=2 s時的瞬時速度.

這個階段的高中生在學習導數概念之前，已經在物理學科中掌握了有關速度、加速度、平均速度以及通過平均速度計算瞬時速度的知識.教科書對于導數幾何意義的解釋，是通過計算割線斜率等于兩點間的平均變化率.學生借助幾何畫板可以快速地制作出函數h（t）的變化圖象，并準確地計算出平均速度和斜率的值，同時還可以比較兩組數據的變化，觀察割線的運動軌跡，從“數”和“形”兩個角度去理解平均變化率與割線斜率之間的關系.

如圖2、圖3，點P是函數圖象上的一動點，它表示運動員在跳水過程中任意時刻的位置；點Q表示運動員在第二秒時距離水平面高度3.4米的一個定點，直線m是過點P和點Q的一條割線.

在這一學習活動中，學生可以任意改變參數△t的值，使點P移動到點Q的上方或下方，隨著△t的變化，點 P的坐標也隨之改變.但經過多次操作發(fā)現，無論參數△t如何變化、點P怎么移動，只要動點P不與定點Q重合，幾何畫板計算的兩個值（平均速度和割線斜率）始終相等.

依據APOS理論，在該階段教師需要為學生創(chuàng)設一個真實的生活情境，并利用幾何畫板的繪圖功能生成該函數的動態(tài)圖象.通過改變參數△t的值，學生進一步研究點P的位置變化和坐標值，在多組參數△t的對比之下，進而去證明“平均速度和割線斜率是始終保持一致的”.這樣重復的操作，不僅讓學生對函數概念有一個直觀的印象，還能為順利進入APOS理論的過程階段打下基礎.

2.2自主探究，描述概念——過程階段

根據APOS理論，學生需要在過程階段對外顯的數學活動做進一步的反思.在幾何畫板的環(huán)境中，學生已經開始熟悉利用參數△t的動態(tài)變化，對函數圖象進行觀察、操作、分析、總結等過程，讓學生親身體驗從平均速度到瞬時速度的過渡，從而加深對導數概念本質的領悟和理解.

2.3辨析概念，明晰對象——對象階段

在這個階段，學生雖然在頭腦中對導數概念有了一定的建構，但還沒有形成透徹的理解.教師可以繼續(xù)利用一些物理學或生活中的案例對學生進行跨學科指導，幫助學生從不同角度來理清物體的運動軌跡和數學割線，以及近似切線的動態(tài)變化過程，學生在體驗不同類型的實例時，會對導數概念更加印象深刻.即歸納出導數的定義

借助幾何畫板，可以很容易地繪制出任意函數及其導函數的圖象，并且還能以動態(tài)的方式呈現.圖6是以對數函數u（x）=lnx和三角函數v（x）=sinx為例，繪制它們乘積導函數（uv）′的圖象，只需在幾何畫板界面選中函數u（x）和v（x），操作“定義導函數”的指令，即可快速地顯示其圖象和解析式.此外，還可以利用幾何畫板的自定義工具繼續(xù)驗證函數的求導法則，通過操作幾何畫板工具欄中的繪制新函數的命令，進行呈現函數u（x）和v（x）的和、差、積、商的導函數及其圖象，并讓學生逐一觀察，從而在視覺上進一步去理解導數的四則運算法則.

依據APOS理論，完成上述幾何畫板的復雜操作后，學生對不同函數圖象進行了分析比較，并親自驗證了導數四則運算法則的全過程.在這個過程中，學生已經將導數看作一個 “實體”，即對象.

2.4強化應用，概念聯結——圖式階段

在該階段，學生需要構建一個關于導數概念的綜合圖式，從而去解決相關的現實問題.在幾何畫板環(huán)境下，可以直接對已知函數進行求導，并在繪圖區(qū)呈現其函數圖象，進而認識函數的一些其他性質.

APOS理論認為四個階段是循序漸進的、不可逾越的，每個階段都有其存在的必要性.從上述的活動過程中可以認為，幾何畫板能夠讓學生獨立地發(fā)現數學概念與模塊知識之間千絲萬縷的聯系，明白每一個知識都不是獨立地存在，而是需要與其他知識相互支撐.實踐證明，APOS理論與幾何畫板相結合，可以更好地化抽象為具體、化靜為動，使高中生學習復雜的抽象概念時，不會形成 “恐懼”的心理反應，而是能夠從直觀中獲得對概念的簡單認知.這樣不僅可以提高課堂效率，也能使學生在學習概念知識的過程中少走一些彎路.

3結束語

研究表明，APOS理論同樣適用于初等階段的數學內容，尤其是在幾何畫板等多種信息技術的輔助下，既能解決概念教學過程中的難點，又能提高學生的數學學習能力，達到傳統(tǒng)教學無法企及的高度.

參考文獻：

［1］ 濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解［J］.數學教育學報，2007（02）：48-50.

［責任編輯：李璟］