摘要：以“任意角”的教學(xué)為例，分析教師在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，從而有效地促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：任意角；課堂活動(dòng)；邏輯推理

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）27-0053-03

邏輯推理作為數(shù)學(xué)的思維方式之一， 可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和思維能力，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.而培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主陣地是課堂，所以本文將給出具體的課堂活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

1學(xué)情分析

喻平教授曾指出幾乎所有的數(shù)學(xué)課會(huì)體現(xiàn)出兩種核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.由此可見，教師在教學(xué)中需要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng).高中生已經(jīng)有了自己的主觀意識(shí)，在課堂學(xué)習(xí)過程中也會(huì)尋找自己合適的方法[1].這時(shí)教師就要發(fā)揮自己在課堂中的主導(dǎo)作用，針對(duì)學(xué)生設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)，使學(xué)生適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)節(jié)奏，找到自己的學(xué)習(xí)方式，在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的邏輯推理能力能得到很快的提升.

2教材分析

“任意角”是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修一第七章第一節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).本節(jié)內(nèi)容不僅是對(duì)初中所學(xué)角的進(jìn)一步研究，同時(shí)還能引出函數(shù)的周期性，為今后三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).在角的概念推廣過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象，由特殊到一般，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).下面筆者選取教學(xué)中的具體片段來闡述如何設(shè)計(jì)活動(dòng).

3教學(xué)過程

3.1情境引入

問題1（教師準(zhǔn)備一個(gè)時(shí)鐘）現(xiàn)在是下午兩點(diǎn)半，而時(shí)鐘上還是一點(diǎn)，我們?cè)撛鯓影褧r(shí)間校準(zhǔn)好？

學(xué)生：將時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周半.

設(shè)計(jì)意圖選取時(shí)鐘是為了便于學(xué)生進(jìn)入上課狀態(tài)，而校準(zhǔn)時(shí)間的問題則是埋下了兩個(gè)伏筆.“一周半”可以打破學(xué)生對(duì)角不超過360°的認(rèn)知，“順時(shí)針”是給之后角的正負(fù)引入奠定基礎(chǔ).

問題2這個(gè)一周半是多少度？初中有沒有這樣的角？如果沒有，是否可以認(rèn)為初中的角的概念是錯(cuò)的？下面請(qǐng)同學(xué)們小組討論.

設(shè)計(jì)意圖傳統(tǒng)教學(xué)是直接將初中和高中角的定義進(jìn)行對(duì)比，這其實(shí)忽略了培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力.通過問題1給學(xué)生帶來了一個(gè)疑惑，促使學(xué)生會(huì)先回憶初中角的概念.大部分學(xué)生不會(huì)質(zhì)疑知識(shí)的準(zhǔn)確性，但是又清楚“一周半”其實(shí)是540°，因而會(huì)提出問題：角的大小可能不僅僅是在0°～360°之間，之前的有限角開始向無限角轉(zhuǎn)化.

教師此時(shí)提示學(xué)生，剛剛的“一周半”是旋轉(zhuǎn)而來的，再讓學(xué)生結(jié)合初中的定義就會(huì)發(fā)現(xiàn)，初中角的形成是靜態(tài)的，而現(xiàn)在角的形成是動(dòng)態(tài)的.

3.2概念推廣

通過剛才的討論，使學(xué)生感受角化靜為動(dòng)這個(gè)過程，從而引出高中角的定義.教師要注意不僅要有文字語言，還要有相關(guān)的圖形與符號(hào)語言.

如圖1，（1）始邊：射線的起始位置OA；（2）終邊：射線的終止位置OB；（3）頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．然后再提出問題：為什么剛才校準(zhǔn)時(shí)間要順時(shí)針轉(zhuǎn)540°？不能逆時(shí)針轉(zhuǎn)嗎？

學(xué)生：如果逆時(shí)針轉(zhuǎn)540°，那么不會(huì)到兩點(diǎn)半，而是變成十一點(diǎn)半.

教師：都是轉(zhuǎn)的540°，為什么結(jié)果不一樣？

學(xué)生：可能是轉(zhuǎn)的方向不同，結(jié)果就不一樣.

教師：那我們?cè)傧胍幌?，之前有沒有因?yàn)榉较虿煌瑢?dǎo)致結(jié)果不同的例子？

此時(shí)再讓學(xué)生小組討論，發(fā)現(xiàn)數(shù)軸中實(shí)數(shù)的正負(fù)是和方向有關(guān)，以此來推導(dǎo)出角的正負(fù)是和旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)，討論的結(jié)果見表1.

這里教師可以給出兩道判斷題加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解.

（1）經(jīng)過1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過30°.（）

（2）終邊與始邊重合的角是零角.（）

設(shè)計(jì)意圖直接告訴學(xué)生逆時(shí)針是正角，順時(shí)針是負(fù)角，那學(xué)生就不會(huì)思考為什么要分正負(fù).根據(jù)數(shù)軸上定義實(shí)數(shù)的正負(fù)作為類比對(duì)象，學(xué)生才意識(shí)到角的大小也是要注意方向的.

3.3自主探究

問題3畫出下列角：

30°，135°，-45°，760°，-480°.

問題4如何直觀地看出這五個(gè)角之間的區(qū)別與聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖這兩個(gè)問題旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到尋找“平臺(tái)”是研究問題的常用方法[2]. 這時(shí)教師需要指出，為了研究，我們通常把角放入平面直角坐標(biāo)系中，一般都是以x軸正半軸為始邊.

問題5當(dāng)我們把這五個(gè)角放入同一個(gè)坐標(biāo)系中，它們有哪些區(qū)別？

學(xué)生：大小不一樣.

教師：這是最直觀的，那再想一想，其實(shí)本質(zhì)上是哪個(gè)地方不同？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生只有經(jīng)歷這個(gè)過程，才會(huì)認(rèn)識(shí)到推理的重要性.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圖中角的終邊落的位置不一樣，那么象限角就能順勢引出來.

教師：我們根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向?qū)⒔欠殖扇?，事?shí)上，同一個(gè)事物可能會(huì)有不同的分類方式.剛剛我們提到，角的不同本質(zhì)上是終邊不同，再回到我們畫的圖象上來，看看這些角的終邊的位置有什么聯(lián)系？

學(xué)生：落在四個(gè)不同的象限內(nèi).

教師：那我們可不可以再次對(duì)角進(jìn)行分類？

引入象限角的定義：若將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角.

教師追問：根據(jù)定義，135°是第幾象限角？90°是第幾象限角？

學(xué)生第一個(gè)問題好回答，但第二個(gè)問題就會(huì)反應(yīng)不過來，因?yàn)榇藭r(shí)還沒有給出軸線角的定義.教師可以換一個(gè)問題，如果點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，那算不算在某一個(gè)象限內(nèi)？這樣學(xué)生就能明白這種終邊落在坐標(biāo)軸上的角不能稱之為象限角，而是叫作軸線角.

設(shè)計(jì)意圖從概念出發(fā)，通過引入矛盾來激發(fā)沖突，可以從正反兩面深化學(xué)生對(duì)象限角和軸線角概念的本質(zhì)理解.通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能更全面地掌握角的特性，提高解決問題的能力.

如果想讓學(xué)生加深對(duì)象限角相關(guān)概念的辨析，教師可以給出下面兩個(gè)判斷題.

（1）第三象限角一定比第一象限角大.（ ）

（2）鈍角一定是第二象限角.（ ）

問題6觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)？

-300°，-150°，-60°，60°，300°，420°.

繼續(xù)讓學(xué)生畫圖并小組討論，這樣很容易得出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)：-300°，60°，420°這三個(gè)角終邊重合，-60°，300°這兩個(gè)角終邊重合.

問題7剛才哪些角的終邊相同？具有終邊相同的角彼此之間有什么關(guān)系？你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎？如何判斷兩個(gè)角的終邊是否相同？

設(shè)計(jì)意圖相比較上一題，本題的角度更加特殊，其目的是讓學(xué)生思考問題7，當(dāng)學(xué)生都會(huì)寫出60°角終邊相同的角的集合后，再讓他們寫與75°，120°，260°角終邊相同的角的集合.由這些特例，最終讓學(xué)生合情推理出與任意角α終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α，k∈Z}.接著再提出問題：角的概念推廣后角的范圍有怎樣的變化？終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？給學(xué)生以自主探索的時(shí)間和空間，把學(xué)生從傳統(tǒng)的課堂學(xué)習(xí)中解放出來，使學(xué)生由被動(dòng)接受學(xué)習(xí)到主動(dòng)探究學(xué)習(xí).

3.4反饋與小結(jié)

（1）在①160°；②480°；③-960°；④1 530°這四個(gè)角中，屬于第二象限角的是（）.

A.①B.①②C.①②③ D.①②③④

（2）（多選題）下列說法不正確的是（）.

A.三角形的內(nèi)角一定是第一或第二象限角

B.鈍角不一定是第二象限角

C.相差180°整數(shù)倍的角為終邊相同的角

D.鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角

學(xué)生完成后可以小組自主校對(duì)和討論，教師可以針對(duì)錯(cuò)得多的選項(xiàng)再次進(jìn)行詳解，最后和學(xué)生一起總結(jié)本堂課的重點(diǎn)：

（1） 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角時(shí)，相等的角的終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.

（2）任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以寫成角α與整數(shù)個(gè)周角的和的形式.

設(shè)計(jì)意圖習(xí)題的選取不需要太難，不能讓學(xué)生因習(xí)題難度過高而喪失學(xué)習(xí)興趣.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主地總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并通過自評(píng)互評(píng)的方式促進(jìn)彼此的學(xué)習(xí)，這不僅有助于鞏固課程內(nèi)容，還能深化他們對(duì)新概念的記憶與理解.

4教學(xué)反思

學(xué)習(xí)過程中包含的數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善提供了幫助.所以在課堂的活動(dòng)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用引導(dǎo)學(xué)生從初中到高中，從已知到未知，從零散到綜合.本文中情景導(dǎo)入的選擇更加貼近生活，角的概念的推廣不再是讓學(xué)生找初高中定義的不同，學(xué)生做的相關(guān)例題不單單為了鞏固知識(shí)，而更側(cè)重于讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)新的問題并進(jìn)行猜想論證.小組交流以及后面的黑板展示，能夠充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性.

5結(jié)束語

數(shù)學(xué)自身的發(fā)展需要邏輯推理，而討論培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的策略，本質(zhì)上離不開課堂教學(xué).不少學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)非常有限，其原因在于教師對(duì)散落在各個(gè)模塊中蘊(yùn)含的推理知識(shí)點(diǎn)重視程度不夠，對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的內(nèi)涵和培養(yǎng)認(rèn)識(shí)還不夠清晰.只有在教學(xué)實(shí)踐中探索學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)的有效策略，才能從根本上發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，提升教育教學(xué)質(zhì)量.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳建光.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)邏輯推理能力強(qiáng)化分析[J].試題與研究，2023（23）：176-178.

［2］ 石鵬.活動(dòng)導(dǎo)學(xué)，分層探究，自然生成：“任意角”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（12）：19-21.

［責(zé)任編輯：李璟］