摘要：文章以“數(shù)形結(jié)合”思維模式為基礎(chǔ)，結(jié)合幾道典型例題，對(duì)數(shù)形結(jié)合思維的不同應(yīng)用方法進(jìn)行了相應(yīng)探究，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想在物理解題中的運(yùn)用方法，加強(qiáng)解題應(yīng)用訓(xùn)練，提高數(shù)形結(jié)合思想在高中物理解題中的應(yīng)用成效，從而促進(jìn)學(xué)生物理解題能力的提升.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中物理；解題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）27-0071-03

通過(guò)具體習(xí)題課，向?qū)W生傳授“數(shù)形結(jié)合”的思想，以提升學(xué)生解題的靈活性，提高問(wèn)題的解決效率和準(zhǔn)確率.

1“以形助數(shù)”對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化

在高中物理力學(xué)部分習(xí)題中，抽象性和復(fù)雜性是其典型特征.針對(duì)此類問(wèn)題，通常有一部分學(xué)生對(duì)于題目中各個(gè)物理量之間的關(guān)系難以有效把握，因此在這類問(wèn)題的求解中，需要將題目中隱藏的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和受力分析等以圖形的方式表現(xiàn)出來(lái)，以發(fā)掘更多的解題條件，實(shí)現(xiàn)更為直觀的分析[1-2].

例1如圖1所示，兩個(gè)物體的質(zhì)量分別為m=1 kg，m=5 kg，兩個(gè)物體放在與水平地面靜止的長(zhǎng)木板兩端，且兩個(gè)物體與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，同時(shí)長(zhǎng)木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1.假設(shè)在t=0時(shí)刻，兩個(gè)物體均以v0=3 m/s的速度開(kāi)始相向移動(dòng)，且兩個(gè)物體相遇時(shí)，物體q恰好和木板保持相對(duì)靜止.假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且g取10 m/s²，問(wèn)：

（1）當(dāng)物體p與木板相對(duì)靜止時(shí)，木板的速度是多少？

（2）當(dāng)物體p與物體q開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，兩個(gè)物體之間的距離是多少？

解析根據(jù)此例題不難看出，該題為典型的綜合題，抽象性和復(fù)雜程度均較高，使得常規(guī)的受力分析等方法相對(duì)較為復(fù)雜而容易出錯(cuò)，因此要從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思維畫圖求解.

首先結(jié)合題中已知條件，借助已學(xué)過(guò)的動(dòng)力學(xué)知識(shí)，畫出相關(guān)物體的速度-時(shí)間圖像，具體如圖2所示.

根據(jù)圖2可知，當(dāng)時(shí)間t=0.4 s時(shí)，物體p與木板將處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)木板的速度是1 m/s.

同時(shí)，基于該速度-時(shí)間圖像的物理意義，即可求出物體q和地面之間的相對(duì)位移，其通過(guò)速度曲線與時(shí)間軸所圍合的面積獲得，即S-S=0.875 m；同理即可求得在物體p與木板處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)瞬間（即時(shí)間t=0.4 s）時(shí)，物體p相對(duì)于地面的位移以S表示，其值為0.8 m.在t（0.3 s）時(shí)間內(nèi)，物體p相對(duì)于地面的位移則以S梯形BDFG表示，其值為0.225 m，由此即可求得p、q兩物體在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的距離的表達(dá)式為

s=s+s+s

基于圖2獲取上述數(shù)據(jù)，代入后解得s=1.9 m即為所求.

2基于“以數(shù)解形”的理念來(lái)剖析和解決問(wèn)題

在一些高中物理習(xí)題中，通常涉及基于已有的圖像來(lái)提取題目中的已知條件，但由于圖像在直觀信息提供方面的準(zhǔn)確度通常存在不足，因此直接應(yīng)用圖像難以得到準(zhǔn)確的物理規(guī)律.這就需要結(jié)合具體圖像，進(jìn)行必要的定量計(jì)算以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，由此，圖形與物理量計(jì)算的結(jié)合當(dāng)然不可或缺[3].

例2在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，一名同學(xué)使用同一件光電管，并使用甲、乙、丙三種不同類型的光線照射該光電管，得到三種不同條件下的電流-電壓關(guān)系曲線如圖3所示.

根據(jù)圖3判斷，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.光線甲的頻率大于光線乙的頻率

B.光線乙的波長(zhǎng)大于光線丙的波長(zhǎng)

C.光線乙對(duì)應(yīng)的截止頻率大于光線丙對(duì)應(yīng)的截止頻率

D.光線甲對(duì)應(yīng)的光電子最大初動(dòng)能大于光線丙對(duì)應(yīng)的光電子最大初動(dòng)能

解析根據(jù)該題不難看出，其以課本上的光電效應(yīng)概念知識(shí)為基礎(chǔ)，進(jìn)行了較明顯的拓展，導(dǎo)致難度大為提升，僅憑題目中的已知條件無(wú)法進(jìn)行常規(guī)求解，這就需要對(duì)圖像進(jìn)一步分析.結(jié)合圖像可知，在圖3描述的光電效應(yīng)過(guò)程中，涉及光電子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)和減速運(yùn)動(dòng)，其對(duì)應(yīng)著光電管加正向電壓和反向電壓兩種情況.

首先分析光電管加正向電壓情況.此時(shí)，隨著正向電壓的增加，參與導(dǎo)電的光電子數(shù)增加，當(dāng)正向電壓增加到某一臨界值后，所有逸出的光電子都將參與導(dǎo)電，光電流也在此時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí)繼續(xù)加大正向電壓則無(wú)法對(duì)光電流再產(chǎn)生影響.

其次分析光電管加反向電壓情況.當(dāng)增大反向電壓時(shí)，參與導(dǎo)電的光電子數(shù)將減少，但當(dāng)反向電壓增加到某一臨界值后，所有逸出的光電子都不再參與導(dǎo)電，此時(shí)的光電流恰好為零.這時(shí)光電管兩端施加的反向電壓值即為“截止電壓”，對(duì)應(yīng)的光的頻率為截止頻率，如繼續(xù)增加反向電壓則光電流始終為零不再改變，由此，結(jié)合動(dòng)能定理，可列出方程為

eU=1/2mv²=hγ-W

根據(jù)該方程不難看出，入射光的頻率越高，則對(duì)應(yīng)的截止電壓U也就越大，據(jù)此結(jié)合圖3分析可知，光線丙對(duì)應(yīng)的截止電壓為最大，所以光線丙的頻率最高（波長(zhǎng)也最短），其對(duì)應(yīng)的光電子最大初動(dòng)能也最大，因此該題選擇B項(xiàng).

3基于“數(shù)形結(jié)合”思維提升物理解題思維能力在當(dāng)前的高中物理習(xí)題中，部分習(xí)題對(duì)于學(xué)生思維能力有較高要求，此類問(wèn)題中的一部分屬于典型的“易錯(cuò)題”，任何細(xì)節(jié)上的細(xì)微差錯(cuò)都可能導(dǎo)致整體解題發(fā)生錯(cuò)誤，進(jìn)而造成大面積的失分.對(duì)于此類問(wèn)題，其關(guān)鍵則在于應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思維提升物理解題思維能力，靈活應(yīng)用物理知識(shí)和方法解決問(wèn)題[4].

例3某同學(xué)使用如圖4所示的電路，探究太陽(yáng)能電池輸出功率、光照強(qiáng)度與外電路電阻的關(guān)系，其中P為電阻箱，R0為定值電阻，其阻值為37.9 kΩ，E為太陽(yáng)能電池，μA為電流表（此電流表量程為0～100 μA，內(nèi)阻為2.10 kΩ）.

在連接好電路后，首先在某光照強(qiáng)度上測(cè)試出太陽(yáng)能電池的輸出電壓U與電阻箱P的電阻R之間的關(guān)系如圖5中的曲線1所示，而后將光照強(qiáng)度調(diào)整至某個(gè)更高的值進(jìn)行測(cè)試，得到U-R關(guān)系如圖5中的曲線②所示，不考慮電流表和電阻R0消耗的功率，與曲線①相比，在電阻R相同的情況下，曲線②中太陽(yáng)能電池的輸出功率（選填“較小”或“較大”）.同時(shí)，根據(jù)圖像估算曲線②中太陽(yáng)能電池的最大輸出功率約為W（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）.

解析該習(xí)題為2021年重慶高考真題，從實(shí)際的評(píng)卷結(jié)果來(lái)看，本次展示的習(xí)題部分，有相當(dāng)一部分學(xué)生都在功率求解上失分，其典型錯(cuò)誤思路及解法如下：結(jié)合曲線②估算出此時(shí)R=r≈29.4 Ω，因此太陽(yáng)能電池的最大輸出電功率P=E2/4r，代入數(shù)據(jù)解得約為66.7 mW.初步分析，造成此類錯(cuò)誤的主要原因在于，學(xué)生未考慮太陽(yáng)能電池的內(nèi)阻r是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的值.

基于此，考慮到該題目中太陽(yáng)能電池的內(nèi)阻r存在動(dòng)態(tài)變化的特征，不能直接應(yīng)用已給出的圖像進(jìn)行求解，因此在已有圖像的基礎(chǔ)上進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維則較為重要.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解則相對(duì)較為可行，因此基于電池輸出功率的表達(dá)式P=U2/R，對(duì)該函數(shù)式進(jìn)行求導(dǎo)，并結(jié)合已有曲線知，當(dāng)電池輸出功率最大時(shí)，其處于極大值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等于零，因此令導(dǎo)數(shù)式為零，得到數(shù)量關(guān)系為dU/dR=1/2·U/R.

基于該數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步引入圖像進(jìn)行理解，顯然，該函數(shù)式的導(dǎo)數(shù)值可以理解為已有曲線的切線斜率，且當(dāng)U-R圖像上某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)與原點(diǎn)O割線斜率的一半時(shí)，太陽(yáng)能電池輸出功率存在最大值，就此，過(guò)圖5曲線②上的N點(diǎn)，做切線和割線ON，切線交U軸于E點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)的水平線交U軸于F點(diǎn).當(dāng)E點(diǎn)為OF線段的中點(diǎn)時(shí)，斜率k=1/2·kON，此時(shí)太陽(yáng)能電池輸出功率達(dá)到最大值，約為108 mW.

4結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)前高中物理考查內(nèi)容的靈活性仍在不斷提升，對(duì)于學(xué)生的能力水平有著更高的要求，常規(guī)的“死記硬背”和“套用公式”等方法已經(jīng)不再有效.這就需要用好“數(shù)形結(jié)合”這一有效工具，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理原理的理解，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”向“解決問(wèn)題”轉(zhuǎn)變，由此提高學(xué)生的解題素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2] 鄧敏.圖像法在高中物理解題中的應(yīng)用 [J].數(shù)理化解題研究，2023（31）：106-108.

[3] 董亮.數(shù)形結(jié)合思維在高中物理解題中的應(yīng)用 [J].數(shù)理天地（高中版），2023（12）：15-17.

[4] 李成豐，王軍.活用數(shù)形結(jié)合 巧解估值問(wèn)題：以2021年重慶新高考物理電學(xué)實(shí)驗(yàn)題為例[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（36）：54-56.

［責(zé)任編輯：李璟］