摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中“ 一元二次方程的根與系數(shù)的關系”的要求中所帶星號去掉，由選學內(nèi)容變成必學內(nèi)容。北師大新版初中數(shù)學教材在修訂該部分內(nèi)容時力圖體現(xiàn)“聚焦核心素養(yǎng)，面向未來”的要求?；诖?，該內(nèi)容的教學需要引起教師的足夠重視。教師可從內(nèi)容價值與新課標調(diào)整、不同版本教材的內(nèi)容呈現(xiàn)分析及教學內(nèi)容設計分析與實踐三個方面進行分析，設計符合學生后續(xù)發(fā)展的課堂教學。

關鍵詞：新教材；一元二次方程；根與系數(shù)的關系；韋達定理

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）對初中階段的一些數(shù)學教學內(nèi)容進行了調(diào)整，如在“方程與不等式”主題中將“[*]一元二次方程的根與系數(shù)的關系”改為“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”，由選學內(nèi)容調(diào)整為必學內(nèi)容，這是對其學習價值的肯定?！耙辉畏匠痰母c系數(shù)的關系”是北師大新版教材九年級上冊第二章第三節(jié)的內(nèi)容，教材在修訂時力圖體現(xiàn)“聚焦核心素養(yǎng)，面向未來”的要求，讓學生不僅獲得知識，還為日后的相關學習（代數(shù)基本定理）夯實基礎。基于此，筆者進行了本節(jié)的教學設計，以期體現(xiàn)新課標和北師大新版教材的要求，為教師提供一些借鑒與思考。

一、明晰本課的內(nèi)容價值與新課標調(diào)整

一元二次方程的根與系數(shù)的關系通常被稱為“韋達定理”，它為數(shù)學領域中一元方程的研究奠定了基礎。韋達定理不僅說明了一元二次方程根與系數(shù)的關系，還可以推廣說明一元n次方程根與系數(shù)的關系，它的價值主要有三點：其一是能反映根與系數(shù)的依存關系，當方程的系數(shù)確定時，方程的根也隨之確定，可見，方程的根與系數(shù)之間存在著必然的關系；其二是能體現(xiàn)一元方程的普適結(jié)論，初中階段韋達定理僅存在于一元二次方程中，但實際上它的內(nèi)涵豐富，是一元方程的普適結(jié)論，在一元三次方程、一元四次方程中也存在著特殊的根與系數(shù)的關系；其三是能勾連諸多問題，在后續(xù)的數(shù)學學習中，也常會用到韋達定理，如在二次函數(shù)圖象的研究中，可將“二次函數(shù)的圖象與x軸的交點”的問題轉(zhuǎn)化為“相對應的一元二次方程的解”的問題，這時韋達定理就在二次函數(shù)的研究中派上了用場。為此，“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”將對后續(xù)數(shù)學的學習起到重要作用。

新課標將“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”由上一版課標“選學內(nèi)容，不作考試要求”更改為“必學內(nèi)容”。這是對其“地位”的提升，以及對它在數(shù)學后續(xù)學習中作用的認可。事實上，“一元二次方程的根與系數(shù)的關系”從兩個不同角度解釋了一元二次方程根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，能有效幫助學生深化對一元二次方程的理解，提高運用一元二次方程分析問題、解決問題的能力，為高中數(shù)學學習打下基礎。此處的改動給后續(xù)教學提出了新的要求：其一是關注韋達定理的證明過程，發(fā)展代數(shù)推理；其二是體會韋達定理的價值，為后續(xù)“代數(shù)基本定理”的學習奠定基礎。

二、不同版本教材的內(nèi)容呈現(xiàn)分析

筆者對人教版、北師大版、華師大版和蘇科版四個版本教材進行了對比，由于例題環(huán)節(jié)基本一致，故僅對“引入”“證明”兩個環(huán)節(jié)加以分析（見表1）。

表1 不同版本教材內(nèi)容分析

[版本 引入 證明 人教版 方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的求根公式x = [-b±b2-4ac2a]，不僅表示可以由方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系。一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎？ 借助一般形式和一次式乘積形式進行對比、研究得到二次項系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關系，再用求根公式證明一般情況下的一元二次方程根與系數(shù)的關系 北師大版 通過前面的學習我們發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關系的一種形式。除此之外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有什么形式的關系呢？

解下列方程：

（1）x2 - 2x + 1 = 0；

（2）x2 - 2[3]x - 1 = 0；

（3）2x2 - 3x + 1 = 0。

每個方程的兩根之和與它的系數(shù)有什么關系？兩根之積呢？

對于任何一個一元二次方程，這種關系成立嗎？ 用求根公式證明一般情況下的一元二次方程根與系數(shù)的關系 華師大版 求出一元二次方程x2 + 3x - 4 = 0的兩根x1和x2，計算x1 + x2和x1x2的值。它們與方程的系數(shù)有什么關系？

對于任何一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程，是否都有這樣的結(jié)果呢？ 用求根公式證明二次項系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關系 蘇科版 觀察5個系數(shù)為1的一元二次方程，你能發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)有什么關系？

方程2x2 - 5x - 3 = 0的兩根是x1 = 3，x2 = - [12] ，這兩根的和、積與系數(shù)有什么關系？

先求出方程3x2 - 7x + 4 = 0的解，再驗證這個方程的根與系數(shù)是否存在上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 用求根公式證明一般情況下的一元二次方程根與系數(shù)的關系 ]

在引入環(huán)節(jié)，北師大版、華師大版和蘇科版三個版本教材的引入方式類似，均以具體的一元二次方程為載體，先求方程的兩根，再計算該方程的兩根之和、兩根之積，從而得到一元二次方程根與系數(shù)的關系。這樣的學習方式易于操作，學生在歸納的過程中易得到“韋達定理”。不同的是，華師大版教材選擇的是二次項系數(shù)為1的一元二次方程，而北師大新版和蘇科版教材選擇的一元二次方程比較全面，既有二次項系數(shù)為1的，也有不為1的。人教版教材的引入具有較強的探索性，一開始教材指出“方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系”，隨后提出“一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎”這樣的問題，激發(fā)學生探索的欲望，但是學生解決此問題時存在一定的困難，故而教材進行鋪墊，給出二次項系數(shù)為1時的一元二次方程根與系數(shù)的研究方案，再推廣到一般情況下進行探索?？梢?，除人教版教材外，其余版本教材該處的處理“不講道理”，學生在學習時可能存在這樣的疑慮：一元二次方程為何要研究兩根之和、兩根之積？因此，看似在探究，實則在告知。而人教版教材的“講道理”也不夠徹底，可以再加強。

在證明環(huán)節(jié)，北師大版、華師大版和蘇科版三個版本教材的證明方式基本一致，均采用求根公式驗證，此方法易于操作。值得注意的是，人教版教材在驗證二次項系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關系時，采用了二次三項式與一次式乘積形式互化后對比的方式，體現(xiàn)了“韋達定理”真正的獲得過程，高度還原了“韋達定理”在發(fā)展過程中的證明思路。但是，當二次項系數(shù)為不為1時，卻又回到了求根公式的證明方法上，可謂“說而未破”。

三、教學內(nèi)容設計分析與實踐

在“韋達定理”的教與學中，師生一般會有這樣的疑問：其一，為何“韋達定理”只研究兩根之和與兩根之積，不研究兩根之差和兩根之商？其二，前人是如何發(fā)現(xiàn)“韋達定理”的？

這兩個疑問都是由于現(xiàn)行教材的設計而導致的。教師以教材的方式展開教學，先出示若干方程讓學生求解，再計算兩根之和、兩根之積，繼而“探索”根與系數(shù)之間的關系。對學生而言，這雖然并不困難，但并不明白其中的道理，僅是跟著指令操作而已。很多學生會問：“為何只計算兩根之和與兩根之積，不計算兩根之商和兩根之差？”此處應當引起教師思考：如何真正地探究概念，概念教學是否需要“講道理”？

以一元二次方程x2 - 3x + 2 = 0為例，它的兩根為x1 = 1，x2 = 2（當然也可以寫成x1 = 2，x2 = 1）。如果研究兩根之差、兩根之商，那么由于兩根的無序性，結(jié)果便無法確定。因此，就需要研究和與積。

筆者認為，在“韋達定理”的概念教學中，教師應關注兩點：一是需展示“韋達定理”真正的探索過程，即在“不經(jīng)意”之間獲得此結(jié)論，讓學生感受獲得的喜悅，而不僅僅是被單純地告知；二是需通過“韋達定理”的學習，讓學生體會它的價值以及初步感受“一元三次方程根與系數(shù)的關系”“代數(shù)基本定理”等，為日后的學習奠定基礎。

基于此，筆者在教學時，將引入、證明環(huán)節(jié)設計如下。

【題目1】解方程：①（x - 3）（x + 7） = 0；② x2 - 6x + 8 = 0。

追問1：第①題你是怎么求出方程的根的？

追問2：第②題你是怎么求出方程的根的？

追問3：通過這兩個題目，你有什么發(fā)現(xiàn)？

此處設置兩道題目，讓學生復習解一元二次方程的方法時，感悟到：若一元二次方程能夠?qū)懗鰞蓚€一次式乘積的形式，便可以快速寫出該方程的根。

【題目2】請寫出一個一元二次方程，使它的兩個根為x1 = 2，x2 = 3。

追問1：你想到的滿足條件的方程是什么？

追問2：剛剛寫的方程，還能寫成其他的形式嗎？

追問3：滿足條件的方程唯一嗎？還有其他不同的方程嗎？

追問4：回顧這個問題，你有什么感悟？

解答題目2時，學生會快速寫出滿足條件的方程（x - 2） （x - 3） = 0。追問1讓學生感受到：確定了一元二次方程的兩根，那么滿足條件的方程較為容易想到的是寫成一次式乘積的形式。追問2讓學生將乘積形式展開，體會到：在確定一元二次方程的根的情況下，乘積形式和展開形式可以相互轉(zhuǎn)換。追問3讓學生體會到：當方程兩根確定時，方程不一定唯一，因為二次項系數(shù)不一定是1，在（x - 2） （x - 3）的前面添2或3等依然可以成立，當然，若將方程都轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為1時，便可達到唯一。追問4讓學生總結(jié)經(jīng)驗，從而體會到：當一元二次方程的根確定的時候，可以寫出相應滿足條件的方程，一般寫乘積式更為方便，繼而可將其展開，即當一元二次方程的根確定時，乘積式是可以轉(zhuǎn)換成展開式的。

【題目3】通過上面兩個問題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

分析：通過題目1、題目2一正一反地研究，學生能夠逐步體會到，如果x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的兩個實數(shù)根，那么，ax2 + bx + c = a（x - x1） （x - x2），這為后面“韋達定理”的研究提供了基礎。

【題目4】如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠0）有兩個實數(shù)根x1，x2，那么ax2 + bx + c = a（x - x1） （x - x2）一定成立。觀察等式的左右兩邊，你有想研究的話題嗎？

追問：左邊是用a，b，c形式加以表示的，右邊是用x1，x2形式加以表示的，那么，x1，x2與a，b，c會存在某些關系嗎？

有了題目1、題目2和題目3的鋪墊，學生可以自然想到：當x1，x2是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的兩個實數(shù)根時，ax2 + bx + c = a（x - x1） （x - x2）一定成立，再觀察式子的兩邊，很容易引發(fā)x1，x2與a，b，c存在著某種特殊關系的聯(lián)想。通過式子a（x - x1） （x - x2） 展開得ax2 - a（x1 + x2）x + ax1x2，繼而得到ax2 + bx + c = ax2 - a （x1 + x2）x + ax1x2。在比較式子兩邊的過程中，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：x1 + x2 = - [ba]，x1x2 = [ca]。這樣得到的結(jié)論水到渠成，畢竟前面沒有任何訊息提示x1，x2與a，b，c有何關系，此設計是讓學生真正發(fā)現(xiàn)“韋達定理”的過程，也為學生對此深刻的理解——聯(lián)想到一元三次方程的根與系數(shù)的關系等提供可能。

【題目5】你還能用其他方法推導出這個結(jié)論嗎？與同伴進行交流。

通過上述過程，“韋達定理”被學生發(fā)現(xiàn)，教師再讓學生用其他方法證明，他們會使用求根公式證明，加深對其正確性的認識。

設計以一元二次方程的“韋達定理”的“真探究”為基礎，引導學生從一元二次方程的不同表達形式入手，在式子變形、對比、研究的過程中發(fā)現(xiàn)“韋達定理”，繼而用先前得到的結(jié)論（求根公式）驗證發(fā)現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣、自然生成，為一元三次方程“韋達定理”的獲得提供了可能，真正地面向了學生未來的發(fā)展。

上述設計主要體現(xiàn)了三點：一是“以問題為主線”，以5個問題作為主線貫穿全課，將知識隱藏于看似簡單的問題之中，在學生的回答中得以凸顯，使學生感受到知識學習的必要性及其內(nèi)在聯(lián)系。上述設計從“寫出方程的解”“給方程的解寫出對應的方程”的問題引入，讓學生伴隨著題目走進數(shù)學，逐步揭示重要的結(jié)論。5個問題巧妙地將內(nèi)容以“鏈條”的方式展現(xiàn)，使學生感悟知識的發(fā)展性與連續(xù)性。二是“以思想為靈魂”，上述設計最主要的數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化的思想，在設計中處處體現(xiàn)，從數(shù)（具體的方程）到式（抽象的字母），從乘積形式到和差形式，在不停地切換。上述設計將知識關聯(lián)著看，從而感悟知識間的“密不可分”，并通過恰當、適時地“點破”，得到一元二次方程的根與系數(shù)的關系，在知識的發(fā)生、發(fā)展的過程中，不僅尊重了學生的認知規(guī)律，還巧妙地讓學生歸納出本節(jié)課的結(jié)論，揭示出研究數(shù)學對象的一般規(guī)律和路徑。三是“以能力為歸宿”，上述設計從頭至尾都將機會留給學生，給予學生足夠的時間和空間去發(fā)現(xiàn)、探索，從而逐步提高能力，積累經(jīng)驗，通過一系列問題的回答，定會引發(fā)學生“一元三次方程是否根與系數(shù)也存在某種特殊的關系”的猜測，體現(xiàn)數(shù)學的應用性、發(fā)展性，最終提升學生的歸納能力、應用能力及推理能力。

參考文獻：

［1］義務教育數(shù)學課程標準修訂組.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］何君青，王進.結(jié)構(gòu)化視角理解學科本質(zhì) 反思型眼光指向未來：北師大新版初中數(shù)學教材修訂特色與實施建議［J］.遼寧教育，2024（13）.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：何君青，江蘇省南京市致遠初級中學高級教師，北師大新版初中數(shù)學教材編寫組核心成員。

課題項目：1.本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度立項課題“初中數(shù)學反思型教學的設計與實踐研究”的階段性研究成果。課題編號：D/2020/02/67。2.本文系江蘇省南京市第十四期教研課題“反思式校本化學科作業(yè)設計的行動研究”的階段性研究成果。課題編號：2021NJJK14-L21。