摘要：“‘圖’與和差”是數(shù)量關(guān)系單元主題中的內(nèi)容，教師要引導(dǎo)學(xué)生在已有知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用動手操作和畫圖的方式來解決和差問題，借助畫圖來幫助學(xué)生分析和理解題意，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教師可以引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，探索分析和解決問題的方法，經(jīng)歷獨(dú)立思考并與他人合作交流解決問題的過程。

關(guān)鍵詞：數(shù)量關(guān)系；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；解決問題

“‘圖’與和差”是數(shù)量關(guān)系單元主題中的內(nèi)容，屬于北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級上冊第四單元“乘與除”相關(guān)知識的拓展內(nèi)容。在這一單元中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)整十、整百數(shù)及兩位數(shù)乘（或除以）一位數(shù)的口算，掌握基本的口算方法，并能夠解決有關(guān)的實(shí)際問題。在“‘圖’與和差”主題實(shí)踐活動中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷整十、整百、整千數(shù)乘（或除以）一位數(shù)口算方法的探索過程，初步感受計(jì)算方法的多樣性，提高計(jì)算的靈活性，逐步發(fā)展運(yùn)算能力；在具體情境中，認(rèn)識和差問題，通過理解題意，知道他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展抽象能力，進(jìn)一步感受乘除法知識在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用；結(jié)合具體的操作活動，體會和差問題的解決方法，認(rèn)識到畫圖是解決問題的有效途徑，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)”與“形”結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

一、初步了解和差問題

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

【教師導(dǎo)入】樂樂同學(xué)遇到了一個與和、差有關(guān)的問題，讓我們一起來看一看——樂樂的爸爸在上班前對樂樂說，幫我把家里那根1米長的木條鋸成兩段，長的那段比短的要長20厘米。樂樂這個寒假剛剛學(xué)會了用鋸來鋸木頭，于是就爽快地答應(yīng)了爸爸。等爸爸走了以后，樂樂就拿著鋸琢磨起來，想來想去卻不知道應(yīng)該從哪兒開始動手：從中間吧，不對，這樣好像兩根就一樣長了；如果先從中間鋸開，再把其中一段鋸掉20厘米……好像也不行，那樣剩下的兩段合起來就不是1米了。從哪兒開始鋸，才能讓一根比另一根長20厘米呢？這可把樂樂急壞了，同學(xué)們能幫助他嗎？

（二）厘清題意，引發(fā)思考

【解釋說明】解決問題之前，先讓我們一起來了解一下題目要求，要把1米長的木條鋸成兩段，長的那段要比短的那段長20厘米。也就是說，兩段木條一共長1米，也就是100厘米 ，這是兩段木條的長度和；鋸成兩段后，長的一段比短的要長20厘米，也就是兩段的差是20厘米。如果我們知道長的一段和短的一段分別長多少厘米，就知道該在哪鋸開木條了。現(xiàn)在就請同學(xué)們想辦法做一做。給你提供兩個方案：可以用紙條代替木條操作一下，也可以在紙上畫圖試試（學(xué)生兩分鐘思考，動手嘗試）。

【設(shè)計(jì)意圖】教師采用了開篇點(diǎn)題的形式，讓學(xué)生一開始就明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，初步認(rèn)識了數(shù)形結(jié)合思想。教師把和差問題與學(xué)生生活中熟悉的情境結(jié)合起來，讓學(xué)生在思考的過程中，理解和與差的關(guān)系。雖然三年級的學(xué)生已具備了一定的計(jì)算能力和分析理解問題的能力，但是對于和差問題接觸的并不多，所以在弄清題意的環(huán)節(jié)，教師結(jié)合課件給予進(jìn)一步的說明。

二、動手操作理解和差問題

（一）用紙條先求較小數(shù)，再求較大數(shù)

【教師引入】請你利用準(zhǔn)備好的長紙條，把它看成1米的木條，也可以說是多長的木條（100厘米長的木條）？這100厘米長的紙條里都包含什么（它既包含短的一段木條，又包含長的一段木條，而且長的一段比短的一段長20厘米）？

學(xué)生用小剪刀將長出的這20厘米剪掉，觀察原來的紙條還剩下多少厘米（100減去20還剩下80厘米）。學(xué)生明確：這80厘米里面，正好是兩個短段的長度和，再用80除以2就得到了短段的長度，在計(jì)算的時(shí)候就可以利用剛剛學(xué)過的整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算：把80看成8個十，除以2是平均分成兩份，每份就是4個十，就是40厘米。

教師追問：再求長段的長度，可以怎么做呢（可以用短段的40厘米加上長段比短段長的20厘米。也可以用它們的和100厘米減短段的長40厘米，都可以求出長段的長度是60厘米）？

【設(shè)計(jì)意圖】教師借助紙條想辦法，讓學(xué)生在動手操作過程中，體會和與差的關(guān)系。學(xué)生利用1米長的木條（也就是100厘米長的木條），換算成厘米為單位。在弄清題意時(shí)，學(xué)生已經(jīng)明確了這100厘米是長、短木條的和，在這一部分中，用剪刀減掉20厘米，也就是它們的差。這時(shí)候，學(xué)生觀察思考剩下的木條是哪一部分。結(jié)合屏幕上的紙條變化，學(xué)生能輕松地看出是兩個短木條的和，已知兩個相同加數(shù)的和，求其中的一個數(shù)，進(jìn)而得出80÷2這個算式。由于本單元剛剛學(xué)過整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)的口算方法，學(xué)生能夠熟練地說出計(jì)算過程，鞏固了本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（二）利用紙條先求較大數(shù)，再求較小數(shù)

【教師引入】利用紙條還有一種方法，我們把準(zhǔn)備好的長紙條當(dāng)成長1米的木條，也就是長100厘米。這100厘米長的紙條里既包含長的一段木條，又包含短的一段木條，而長的一段比短的一段長出20厘米。我們把準(zhǔn)備好的那條較短的紙條（長20厘米）用透明膠粘到長紙條上，現(xiàn)在紙條的長度就是多少了（100 +20等于120厘米）？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這120厘米長的紙條正好是兩個長段的長度和，120除以2，可以根據(jù)第四單元學(xué)過的口算方法，把120看成12個十，除以2，每份得到了6個十就是60，長段的木條長60厘米。用長短兩段的和100厘米減長段的60厘米就得到了短段的長度，也就是100 - 60 = 40（厘米），或者是60 - 20 = 40（厘米）。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生利用準(zhǔn)備好的小紙條，先是減掉它們的差，求出較小數(shù)，再求出較大數(shù)。然后，學(xué)生利用小紙條把它們的和與差連接起來，求出較大的數(shù)，再求出較小的數(shù)，從而輕松解決了問題。

三、利用畫圖分析解決問題

【教師引入】想要鋸成長短兩段，就是求長段和短段各長多少厘米？畫圖時(shí)，我們把長短兩段用兩條線段表示，然后把重要的數(shù)學(xué)信息標(biāo)注在圖上，100厘米是長段與短段的和，20厘米是它們的差。像這樣的已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)的問題，我們稱為和差問題。請你也嘗試畫個圖來解決這個問題，邊畫圖邊寫出相應(yīng)的算式。

學(xué)生在練習(xí)本上畫圖并列出算式。學(xué)生用畫圖表示和差關(guān)系，先求較小數(shù)，再求較大數(shù)。學(xué)生將長段長出的20厘米先去掉，這時(shí)的和也會隨著減少20厘米，算式是100 - 20 = 80（厘米），這80厘米就是兩條短段木條的和。求其中一段短木條的長度，用80再除以2得到了短段木條的長度是40厘米，計(jì)算方法是把80看成8個十，平均分成兩份，其中的一份就是4個十，就是40厘米。長的那段我們可以用40 + 20 = 60（厘米），當(dāng)然也可以用他們的和100減掉其中短木條的長度40厘米，剩下60厘米。學(xué)生用畫圖表示和差關(guān)系，先求較大數(shù)，再求較小數(shù)。通過畫圖學(xué)生可以看出，兩段相差20厘米，可將短線延長到與長線相等 ，就是補(bǔ)齊差的20厘米，這樣和也會增加20厘米，則100+20厘米就是兩條長段木條的和，用120厘米除以2就得到了長段木條的長度。把120看成12個十，平均分成兩份，其中一份就是6個十，也就是我們得到的60厘米。短的那段可用他們的和100厘米減去60厘米，也就是100 - 60得到40厘米?；蛘哂瞄L段的60厘米，減掉差的20厘米，剩下的就是短段的長度40厘米。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在活動中經(jīng)歷動手操作的過程，對于和差問題的解決已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，利用紙條代替木條，學(xué)生的體驗(yàn)非常清晰。進(jìn)一步簡化操作的流程，利用畫圖的方式，既直觀又清晰。通過畫圖學(xué)生可以清晰地看出長段木條和短段木條的關(guān)系，從而明確地提出什么是和差問題。凸顯出畫圖是解決和差問題的有效途徑，同時(shí)為理解數(shù)形結(jié)合打下基礎(chǔ)。

四、鞏固練習(xí)和總結(jié)提升

（一）學(xué)以致用，鞏固練習(xí)

【教師引入】數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)離不開鞏固練習(xí)，接下來我們來挑戰(zhàn)一下自己。

【練習(xí)】媽媽買了一個西瓜和一個菠蘿，共花了60元，西瓜比菠蘿貴26元，西瓜和菠蘿各多少元？

學(xué)生用兩條不同長度的線段表示西瓜和菠蘿的價(jià)錢，通過已知條件，長的線段代表西瓜的價(jià)錢，短的線段代表菠蘿的價(jià)錢。它們的價(jià)錢和是60元，價(jià)錢差是26元。西瓜比菠蘿貴26元，可將西瓜的錢數(shù)去掉26元，同時(shí)和也隨著減少26元，算式就是60減26等于34元。34元相當(dāng)于兩個菠蘿的價(jià)錢，學(xué)生再用34÷2就得到了一個菠蘿的價(jià)錢，也就是17元。

【教師引入】34除以2口算起來有點(diǎn)難度，能不能用我們已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)除以一位數(shù)的除法來算一下呢？

【學(xué)生計(jì)算】把34分成20和14，20除以2等于10，14除以2等于7，10加7等于17。所以一個菠蘿的價(jià)錢是17元。那么，西瓜的價(jià)錢是60 - 17 =43（元）。

學(xué)生的線段圖畫得非常清晰，通過畫圖可以很輕松地理解題意和分析問題：利用和與差的關(guān)系，先得出兩個菠蘿的價(jià)錢，然后再求出一個菠蘿的價(jià)錢，從而西瓜的價(jià)錢就輕松得出來了。

（二）回顧反思，分享成果

教師引導(dǎo)學(xué)生明確：關(guān)于和差問題，我們利用動手操作和畫圖的方式，得到了兩種解題的方法。一種方法是在兩數(shù)之和里補(bǔ)上兩個數(shù)的差，得到了兩個較大的數(shù)，再除以2從而求出一個較大數(shù)；另一種方法是可以從兩數(shù)的和中減去兩個數(shù)的差，就會得到兩個較小的數(shù)，除以2得到一個較小的數(shù)，問題得以解決；無論哪種方法，都需要借助畫圖來幫助分析，將 “數(shù)”與“形”結(jié)合起來思考。這就說明畫圖對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是十分重要的。

這節(jié)課作為乘與除部分的種子課，是學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合思想來思考問題的基礎(chǔ)，是對原有知識的擴(kuò)充，是培養(yǎng)應(yīng)用意識的前提。數(shù)與形既相互獨(dú)立又相互滲透，怎樣讓數(shù)與形更加緊密地結(jié)合起來是數(shù)學(xué)研究中一個永恒的課題。

參考文獻(xiàn)：

［1］戚彩紅，田小紅.經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合過程感悟數(shù)形互助內(nèi)涵：《數(shù)與形》教學(xué)［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2023（35）.

［2］陳奕彤.巧用數(shù)形結(jié)合優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2023（23）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）

作者簡介：于永新，沈陽市鐵西區(qū)太陽小學(xué)教師。