正態(tài)分布在自然界中是最常見(jiàn)的一種分布，也是生產(chǎn)、科研和日常生活中經(jīng)常遇到的一類隨機(jī)現(xiàn)象。正態(tài)分布在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中有著非常重要的價(jià)值，也成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要方向，備受各方關(guān)注。

1.參數(shù)的確定

例1 （2023年江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）某地市在2023年全市一模測(cè)試中，全市高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)X 服從正態(tài)分布N （90，σ2 ），已知P（88

A.0<m <0.34 B.m =0.34

C.0.34<m <0.68 D.m =0.68

分析：根據(jù)正態(tài)分布所對(duì)應(yīng)的正態(tài)函數(shù)密度曲線的對(duì)稱性，利用正態(tài)分布中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，并利用數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)分析與求解。

解：依題意知，X 服從正態(tài)分布N （90，σ2），則μ=90。

而P（88<X <92）=0.32，且x=88與x=92關(guān)于x=90對(duì)稱，所以P （X <85）=m <P（X <88）=1／2[1-P （88<X <92）]=0.34，即0<m <0.34。故選A。

點(diǎn)評(píng)：抓住隨機(jī)變量的取值所對(duì)應(yīng)的概率，并結(jié)合正態(tài)函數(shù)密度曲線的對(duì)稱性，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。涉及此類參數(shù)問(wèn)題，往往就是回歸正態(tài)分布的性質(zhì)與正態(tài)函數(shù)密度曲線的幾何特征，從而加以合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，使問(wèn)題得到解決。

2.概率的求解

例2 我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，將服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量。概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗—拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量Y ～B （n，p），當(dāng)n 足夠大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y 可以由正態(tài)隨機(jī)變量X 來(lái)替代，且正態(tài)隨機(jī)變量X 的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y 的期望和方差相同。棣莫弗在1733年證明了p=1／2的特殊情形，1812年，拉普拉斯對(duì)一般的p 進(jìn)行了證明。現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為（ ）。

附：若隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布N （μ，σ2），則P （μ -σ≤X ≤μ +σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.954 5，P （μ-3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.997 3。

A.0.158 7 B.0.022 8

C.0.002 7 D.0.001 4

分析：根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，先求出對(duì)應(yīng)正態(tài)分布的期望和方差值，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性來(lái)分析與求解。

解：依題意知，設(shè)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次硬幣正面向上的次數(shù)為X ，則X ～B （100，1／2）。

故E（X）=np=50，D （X ）=np（1-p）=25。

由題意可得X ～N （μ，σ2），且μ=E（X ）=50，σ2 =D （X ）=25，而P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.954 5。

所以利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60 次的概率P （X >60）=P（X >50+2×5）=1／2（1-0.954 5）≈0.022 8。

故選B。

點(diǎn)評(píng)：在解決利用正態(tài)分布近似估算概率問(wèn)題時(shí)，確定正態(tài)分布X～N（μ，σ2）及其對(duì)應(yīng)變量的值，是解決問(wèn)題的重點(diǎn)。這里巧妙地將二項(xiàng)分布與正態(tài)分布加以聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)兩者之間的合理轉(zhuǎn)化，為問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)提供更加豐富的情境，也給問(wèn)題的解決提供了方向。

3.命題的判斷

例3 （2024屆甘肅省白銀市部分高中高三上學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）（多選題）山東東阿盛產(chǎn)阿膠，阿膠與人參、鹿茸并稱“中藥三寶”。阿膠的主要原料是驢皮，配以冰糖、紹酒、豆油等十幾種輔料，是由東阿特有的含多種礦物質(zhì)的井水，采取傳統(tǒng)的制作工藝熬制而成。已知某阿膠產(chǎn)品每盒的質(zhì)量M （單位：g）服從正態(tài)分布N （250，σ2），且P（M <251）=0.75，P （249<M <253）=0.7，以下說(shuō)法正確的是（ ）。

A.若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量大于249 g的概率為0.75

B.若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量在251 g～253 g內(nèi)的概率為0.15

C.若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1 000盒，則質(zhì)量大于253 g的盒數(shù)的方差為47.5

D.若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1 000盒，則質(zhì)量在251 g～253 g內(nèi)的盒數(shù)的數(shù)學(xué)期望為200

分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷出相應(yīng)區(qū)間的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差和期望公式，即可得出正確答案。

解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镸 ～N （250，σ2），所以P （M >249）=P （M <251）=0.75，故選項(xiàng)A 正確。

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)镻 （M <251）=0.75，所以P（249<M <250）=P（250<M <251）=0.75-0.5=0.25。

因?yàn)镻 （249<M <253）=0.7，所以P（251<M <253）=0.7-0.25×2=0.2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)镻 （249<M <253）=0.7，所以P（M >253）=0.75-0.7=0.05。

若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1 000盒，則質(zhì)量大于253 g的盒數(shù)X～B（1 000，0.05）。

所以D（X）=1 000×0.05×（1-0.05）=47.5，選項(xiàng)C正確。

對(duì)于選項(xiàng)D，由上面計(jì)算可知P （251<M <253）=0.2。

若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1 000 盒，則質(zhì)量在251 g～253 g 內(nèi)的盒數(shù)Y ～B（1 000，0.2）。

E（Y）=1 000×0.2=200，選項(xiàng)D正確。

故答案為ACD。

點(diǎn)評(píng)：以多選題的場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，往往可以將概率與統(tǒng)計(jì)中的更多知識(shí)加以合理融合與滲透，實(shí)現(xiàn)多知識(shí)點(diǎn)的交匯與應(yīng)用。該題通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，以二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的綜合應(yīng)用，判斷命題的真假，開創(chuàng)了一個(gè)更加豐富多彩的問(wèn)題場(chǎng)景。

4.圖像的直觀

例4（2023 年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷）設(shè)隨機(jī)變量ξ 服從正態(tài)分布，ξ 的分布密度曲線如圖1 所示，若P （ξ<0）=p，則P（0<ξ<1）與D（ξ）分別為（ ）。

A.1／2-p，1／ B.p，1／2

C.1／2-p，1／4 D.p，1／4

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由隨機(jī)變量ξ 的正態(tài)分布密度曲線加以直觀分析，利用對(duì)稱性先求得P（0<ξ<1）的值，再根據(jù)正態(tài)曲線的幾何性質(zhì)得到ξ～N （1，（1／2）2 ），進(jìn)而得以確定D（ξ）的值。

解：依題意知，由于P（ξ<0）=p，結(jié)合隨機(jī)變量ξ 的正態(tài)分布密度曲線，其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱。

可得P（0<ξ<1）=1／2[1-2P （ξ<0）]=1／2-p。

由正態(tài)曲線的幾何性質(zhì)得到ξ ～N（ 1，（1／2）2） ，所以D（ξ）=（ 1／2）2=1／4。

故選C。

點(diǎn)評(píng)：基于隨機(jī)變量ξ 的正態(tài)分布密度曲線的直觀圖形，從中合理抽象對(duì)應(yīng)參數(shù)μ與σ2 的值，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布X ～N （μ，σ2），為問(wèn)題的進(jìn)一步分析與求解提供條件。圖形的直觀性與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，對(duì)于同學(xué)們的綜合能力有一定的要求。

5.統(tǒng)計(jì)的交匯

例5（2024屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）體育強(qiáng)國(guó)是新時(shí)期我國(guó)體育工作改革和發(fā)展的目標(biāo)和任務(wù)，我國(guó)要力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)體育大國(guó)向體育強(qiáng)國(guó)的轉(zhuǎn)變。2019年9月2日，國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《體育強(qiáng)國(guó)建設(shè)綱要》，綱要提出，到2035年國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)合格率超過(guò)92%。2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在我國(guó)杭州成功舉辦，中國(guó)代表隊(duì)以201枚金牌，383枚獎(jiǎng)牌奪得金牌榜和獎(jiǎng)牌榜第一。這是新時(shí)期中國(guó)體育工作改革和發(fā)展過(guò)程中取得的優(yōu)異成績(jī)。某校將學(xué)生的立定跳遠(yuǎn)作為體育健康監(jiān)測(cè)項(xiàng)目，若該校初三年級(jí)上學(xué)期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生立定跳遠(yuǎn)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖如圖2所示，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表1所示。

（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求2人得分之和不大于35分的概率。

（2）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳遠(yuǎn)距離X（單位：cm）服從正態(tài)分布N （μ，σ2），用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差s2=153（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）。根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年訓(xùn)練后，每人跳遠(yuǎn)距離都有明顯進(jìn)步。假設(shè)初三結(jié)束進(jìn)行跳遠(yuǎn)測(cè)試時(shí)每人跳遠(yuǎn)比初三上學(xué)期開始時(shí)距離增加10 cm，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

①若全年級(jí)恰好有2 000名學(xué)生，預(yù)估初三結(jié)束進(jìn)行測(cè)試時(shí)，跳遠(yuǎn)距離在182.63 cm 以上的人數(shù);（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

②若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記初三結(jié)束進(jìn)行測(cè)試時(shí)，跳遠(yuǎn)距離在195 cm 以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ 的分布列和期望。

附：若隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布N （μ，σ2），則P （μ -σ≤X ≤μ +σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.954 5，P （μ-3σ≤X ≤μ+3σ）≈0.997 3。

參考數(shù)據(jù)：12.372 ≈153，2.372 ≈5.62。

分析：（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出得分17分和18分的人數(shù)，利用組合可得。（2）①先求出μ 與σ 的值，根據(jù)正態(tài)分布概率的性質(zhì)可得;②根據(jù)正態(tài)分布可知學(xué)生中任選1人，跳遠(yuǎn)距離在195 cm 以上的概率為0.5，ξ 服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式可得。

解：（1）兩人得分之和不大于35分，即2人得分均為17分，或2人中1人17分，1人18分。

由頻率分布直方圖知，得分為17分的人數(shù)為100×10×0.006=6，得分為18分的人數(shù)為100×10×0.012=12。

故兩人得分之和不大于35 分的概率P=C26+C1 6C1 12／C2 100 = 29／1 650。

（2）易知x=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.10+210×0.08=185。

又σ2=s2=153，解得σ=12.37。

所以初三結(jié)束進(jìn)行測(cè)試時(shí)，μ=195，σ=12.37，μ-σ=182.63。

①因?yàn)镻（μ-σ≤X ≤μ+σ）≈0.682 7，所以P （ξ>182.63）=P （ξ>μ -σ）=1-1-0.682 7／2 =0.841 35。

所以跳遠(yuǎn)距離在182.63 cm 以上的人數(shù)為2 000×0.841 35≈1 683。

②由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，跳遠(yuǎn)距離在195 cm 以上的概率為0.5，故ξ～B（3，0.5）。

所以P （ξ =0）=C03× （1-0.5）3 =0.125，P（ξ=1）=C13×0.5× （1-0.5）2 =0.375，P（ξ=2）=C23×0.52 × （1-0.5）=0.375，P（ξ=3）=C33×0.53=0.125。

ξ 的分布列如表2所示。

E（ξ）=3×0.5=1.5。

點(diǎn)評(píng)：以應(yīng)用場(chǎng)景加以創(chuàng)設(shè)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖給出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，通過(guò)正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)的交匯，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的綜合與應(yīng)用。

6.綜合的應(yīng)用

例6 （2024屆山東臨沂市高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場(chǎng)舞與樂(lè)的盛宴?，F(xiàn)從2 000 位參賽者中隨機(jī)抽取40 位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)μ=45.75。

（1）若所有參賽者年齡X 服從正態(tài)分布N （μ，15.752），請(qǐng)估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)。

（2）若該文藝匯演對(duì)所有參賽者的表演作品進(jìn)行評(píng)級(jí)，每位參賽者只有一個(gè)表演作品，每位參賽者作品有a%（0<a<100）的概率被評(píng)為A 類，有（1-a% ）的概率被評(píng)為B類，每位參賽者作品的評(píng)級(jí)結(jié)果相互獨(dú)立。記40位幸運(yùn)嘉賓的作品中恰有2份A 類作品的概率為p（a），求p（a）的極大值點(diǎn)a0。

（3）以（2）中確定的a0 作為a 的值，記上述幸運(yùn)嘉賓的作品中的A 類作品數(shù)為Y，若對(duì)這些幸運(yùn)嘉賓進(jìn)行頒獎(jiǎng)，現(xiàn)有兩種頒獎(jiǎng)方式：

甲：A 類作品參賽者獲得1 000元現(xiàn)金，B 類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金;

乙：A 類作品參賽者獲得3 000元現(xiàn)金，B 類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)。

根據(jù)獎(jiǎng)金期望判斷主辦方選擇何種頒獎(jiǎng)方式，成本可能更低。

附：若X ～N （μ，σ2），則P（|X -μ|<σ）≈0.682 7。

分析：（1）由題意知，根據(jù)正態(tài)分布的三段區(qū)間法求得概率，進(jìn)而可估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù);（2）記x=a%，0<x<1，p（a）=f（x），根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求得f（x）的表達(dá)式，求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求得極大值點(diǎn);（3）由題意知Y ～B （40，1／20 ），求得 E （Y）的值，記Z1、Z2 分別為甲、乙兩種頒獎(jiǎng)方式各自所發(fā)獎(jiǎng)金總額，利用均值的性質(zhì)求解E（Z1）與E（Z2）的值，進(jìn)而加以比較與判斷。

解：（1）因?yàn)閄 ～N （45.75，15.752），所以P（X > 30）=0.5+12P（|X -μ|<σ）=0.841 35。

則參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)約為2 000×0.841 35≈1 683。

（2）記x=a%，0<x<1，p（a）=f（x），不妨設(shè)a0=100x0，其中x0 為f（x）的極大值點(diǎn)。

易 知f（x）=C2 40x2（1-x）38，求導(dǎo)可得f'（x）=C2 40[2x（1-x）38-38x2（1-x）37]=2C2 40x（1-x）37（1-20x）。

令f'（x）=0，結(jié)合0<x<1，可得x0=1／20。

當(dāng)0<x<1/20時(shí)，f'（x）>0;

當(dāng)1/20<x<1時(shí)，f'（x）<0。

所以函數(shù)f（x）在（0，1/20 ）上單調(diào)遞增，在（1/20，1 ）上單調(diào)遞減。

此時(shí)p（a）在（0，5）上單調(diào)遞增，在（5，100）上單調(diào)遞減。

則p（a）的極大值點(diǎn)a0=5。

（3）由題意知Y ～ B（ 40，1/20 ），則E（Y）=40×1/20=2。

記Z1、Z2 分別為甲、乙兩種頒獎(jiǎng)方式各自所發(fā)獎(jiǎng)金總額。

因?yàn)閆1=1 000×Y +100×（40-Y）=4 000+900Y，Z2 =3 000Y，所以E （Z1）=4 000+900E（Y）=4 000+900×2=5 800，E（Z2）=3 000E（Y）=6 000。

因?yàn)镋（Z1）<E （Z2），所以選擇甲方式成本更低。

點(diǎn)評(píng)：以應(yīng)用場(chǎng)景加以創(chuàng)設(shè)，融入正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的大小比較等，借助正態(tài)分布與綜合問(wèn)題的交匯，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)之間的融合與應(yīng)用，以全面考查數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力。

正態(tài)分布在生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，是高考數(shù)學(xué)命題中的重要考點(diǎn)之一，也為新高考數(shù)學(xué)試卷的命題提供了更加新穎的背景，注入了更加靈動(dòng)的活力?，F(xiàn)實(shí)生活中的分布問(wèn)題往往都可以借助正態(tài)分布來(lái)描述或應(yīng)用，自然受到高考命題者的青睞。而解決正態(tài)分布問(wèn)題，主要從“形”與“數(shù)”及“形”“數(shù)”結(jié)合等幾個(gè)基本著眼視角來(lái)切入與應(yīng)用，哪一種方法可以簡(jiǎn)單快捷處理問(wèn)題就用哪一種方法，靈活多變，巧妙處理，提升應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)。

（責(zé)任編輯 徐利杰）