一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）

1.2024 年賀歲片《第二十條》《熱辣滾燙》《飛馳人生2》引爆了電影市場(chǎng)，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，每人獨(dú)立決定看其中的哪一部，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（ ）。

A.9種 B.36種

C.38種 D.45種

2.函數(shù)y =f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖像如圖1所示，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.x=a 是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)x=-a 或x=b 時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值為0

C.函數(shù)y=f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)

D.函數(shù)y=f（x）在（b，+∞）上是增函數(shù)

3.用模型y=aekx 擬合一組數(shù)據(jù)組（xi，yi）（i=1，2，3，…，7），其中x1+x2+…+x7=14，設(shè)z=ln y，得到變換后的線性回歸方程為^z=x+1，則y1y2…y7=（ ）。

A.e35 B.e21 C.35 D.21

4.已知ξ 服從正態(tài)分布N（2，σ2），a∈R，當(dāng)P（ξ>a）=0.5時(shí)，關(guān)于x 的二項(xiàng)式 （ax+1／x2 ）3的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）。

A.1 B.4 C.6 D.12

5.用2個(gè)0，2個(gè)1和1個(gè)2組成一個(gè)五位數(shù)，則這樣的五位數(shù)有（ ）。

A.8個(gè) B.12個(gè)

C.18個(gè) D.24個(gè)

6.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究。設(shè)a，b，m（m>0）為整數(shù)，若a 和b 被m 除得的余數(shù)相同，則稱a 和b 對(duì)模m 同余，記為a≡b（mod m）。若a=C0 20+C1 20×3+C2 20×32+…+C20 20×320，a≡b（mod 5），則b 的值可以是（ ）。

A.2 004 B.2 005

C.2 025 D.2 026

7.函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。函數(shù)凹凸性的定義：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，x0 是（a，b）內(nèi)任一點(diǎn)，若曲線弧上點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線總位于曲線弧的下方，則稱曲線弧在（a，b）內(nèi)是凹的;若曲線弧上點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線總位于曲線弧的上方，則稱曲線弧在（a，b）內(nèi)是凸的。函數(shù)f （x）在區(qū)間上為凹（凸）函數(shù)等價(jià)于f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）。若f（x）=mex -x3 +1在定義域內(nèi)是凹函數(shù)，則m 的最小值是（ ）。

A.-6e B.6／e

C.12／e2 D.12／e3

8.設(shè)a=ln（1+0.1），b=sin 0.1，c=2／21，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）。

A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.c<b<a

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。）

9.下列說(shuō)法正確的是（ ）。

A.若數(shù)據(jù)1，3，4，4，m 的極差和平均數(shù)相等，則m =17／4

B.數(shù)據(jù)1，3，7，7，9，12，16的第80百分位數(shù)為10.5

C.已知y 關(guān)于x 的回歸直線方程為^y=0.3-0.7x，則樣本點(diǎn)（2，-3）的殘差為-1.9

D.若X ～B（ 4，2／3），隨機(jī)變量Y=3X -1，則E（Y）=7

10. 某校為了解高一新生對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣，從400名女生和600 名男生中通過(guò)分層抽樣的方式隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。由調(diào)查的結(jié)果得到如圖2所示的等高堆積條形圖和如表1所示的列聯(lián)表，則（ ）。

參考數(shù)據(jù)： 本題中χ2 =n（ad-bc）2／（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）≈3.936。

A.表中a=12，c=30

B.可以估計(jì)該校高一新生中對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的女生人數(shù)比男生多

C.根據(jù)小概率值α=0.05的χ2 獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣有差異

D.根據(jù)小概率值α=0.01的χ2 獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與對(duì)數(shù)學(xué)的興趣沒(méi)有差異

11.若關(guān)于x 的不等式ex-2 +x ≥2ax2-xln x 在（0，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是（ ）。

A.1／e B.1／2

C.根號(hào)e／3 D.2

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）

12.已知（x +2）4 （2x2 +3x）=a0 +a1x+a2x2+…+a6x6，則a4=____。

13.在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)被稱為自然常數(shù)（又叫歐拉數(shù)）的常數(shù)e≈2.718 28。小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行某種排列得到密碼。如果排列時(shí)要求兩個(gè)2相鄰，兩個(gè)8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有____個(gè)。

14.甲、乙兩同學(xué)玩擲骰子游戲，規(guī)則如下：

（1）甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，甲得到的點(diǎn)數(shù)為n1，乙得到的點(diǎn)數(shù)為n2;

（2）若n1 + n2 的值能使二項(xiàng)式（2x+1/x）n1+n2的展開(kāi)式中第5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則甲勝，否則乙勝。

那么甲勝的概率為_(kāi)___。

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）

15.（本小題13 分）已知函數(shù)f （x）=ax2-（a+2）x+ln x。

（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在區(qū)間[1/2，2] 上的最值;

（2）若g（x）=ax2 -2x +ex，f （x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。

16.（本小題15分）如圖3，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從數(shù)軸點(diǎn)1的位置出發(fā)，每隔1 s向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)每次向右移動(dòng)的概率為p（0<p<1）。

（1）當(dāng)p=1/2時(shí)，求5 s后質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)0的位置的概率;

（2）記3 s后質(zhì)點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為X ，若隨機(jī)變量X 的期望E （X ）>0，求p 的取值范圍。

17.（本小題15分）直播帶v/iYJwrmdt529Y0kgQ+fgw==貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受。針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，希望直播帶貨金額穩(wěn)步提升。該公司2024年前5個(gè)月帶貨金額的統(tǒng)計(jì)表如表3所示（金額y（萬(wàn)元））。

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表：

①求該公司帶貨金額的平均值y;

②求該公司帶貨金額y 與月份編號(hào)x 的樣本相關(guān)系數(shù)9BoJVLqX/9Id3C/6Dj5zeA==（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系。（當(dāng)0.75≤|r|≤1時(shí)，認(rèn)為y 與x 的線性相關(guān)性較強(qiáng);當(dāng)|r|<0.75時(shí)，認(rèn)為y 與x 的線性相關(guān)性較弱。）

（2）該公司現(xiàn)有一個(gè)直播間銷售甲、乙兩種產(chǎn)品。為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩種產(chǎn)品中分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件進(jìn)一步檢驗(yàn)，記抽到甲產(chǎn)品的件數(shù)為X ，試求X 的分布列與期望。

18.（本小題17分）寒假期間小明每天堅(jiān)持在“跑步3 000米”和“跳繩2 000個(gè)”中選擇一項(xiàng)進(jìn)行鍛煉，在不下雪的時(shí)候，他跑步的概率為0.6，跳繩的概率為0.4;在下雪天，他跑步的概率為0.2，跳繩的概率為0.8。若前一天不下雪，則第二天下雪的概率為0.5;若前一天下雪，則第二天仍下雪的概率為0.4。已知寒假第一天不下雪，跑步3 000 米大約消耗能量330卡路里，跳繩2 000 個(gè)大約消耗能量220卡路里。記寒假第n 天不下雪的概率為pn（n∈N* ）。

（1）求p1，p2，p3 的值，并證明{pn -6/11} 是等比數(shù)列;

（2）求小明寒假第n 天通過(guò)運(yùn)動(dòng)鍛煉消耗能量的期望。

19.（本小題17 分）已知函數(shù)f （x）=ex +msin x。

（1）當(dāng)m =1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程;

（2）若函數(shù)f（x）在（0，π）上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)m 的取值范圍;

（3）求證：當(dāng)m =1 時(shí)，f （x）在（-π，+∞）上存在唯一極小值點(diǎn)x0，且-1<f（x0）<0。

（責(zé)任編輯 徐利杰）