全概率公式作為概率論中最基本的公式之一，是新教材中一個(gè)新增的知識(shí)點(diǎn)，也是條件概率與概率乘法公式的深入與綜合應(yīng)用，為解決各種各樣的限制條件或其樣本空間較為復(fù)雜的概率問(wèn)題提供了一個(gè)有力的工具。它使得概率問(wèn)題的設(shè)置與應(yīng)用更加豐富多彩、靈活多變、創(chuàng)新不斷，已成為新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)與亮點(diǎn)。

1.概率問(wèn)題

例1 設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳?個(gè)球，則從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為_(kāi)___。

分析：根據(jù)題設(shè)條件，分別設(shè)出對(duì)應(yīng)的基本事件，設(shè)事件A1 = “從甲盒取出2 個(gè)紅球”，事件A2=“從甲盒取出2個(gè)白球”，事件A3=“從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球”，事件B=“從乙盒取出2個(gè)紅球”。事件A1，A2，A3 兩兩互斥，結(jié)合全概率公式來(lái)分析，求解相應(yīng)的概率問(wèn)題。

解：依題意，設(shè)事件A1=“從甲盒取出2個(gè)紅球”，事件A2=“從甲盒取出2個(gè)白球”，事件A3=“從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球”，事件B=“從乙盒取出2個(gè)紅球”。

則事件A1，A2，A3 兩兩互斥，且A1 ∪A2∪A3 =Ω，所以B =（A1 ∪A2 ∪A3）B =A1B∪A2B∪A3B。

結(jié)合全概率公式，可得：

P（B）=P（A1B∪A2B∪A3B）

=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）

=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）

=C22/C25×C23/C27+C23/C25×0/C27+C1 3C12/C25×C22/C27=3/70。

所以從乙盒取出2個(gè)紅球的概率為3/70。

點(diǎn)評(píng)：利用全概率公式來(lái)求解相應(yīng)的概率問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于剖析實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中相應(yīng)事件的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，構(gòu)建相應(yīng)事件之間的關(guān)系。結(jié)合解決全概率公式問(wèn)題的三個(gè)基本步驟：（1）“拆分”，確定拆分標(biāo)準(zhǔn)，將較為復(fù)雜的復(fù)合事件B 分解成相應(yīng)的若干個(gè)互斥事件Bi（i=1，2，…，n）;（2）“計(jì)算”，計(jì)算相對(duì)應(yīng)事件的概率P（Bi）以及相應(yīng)的條件概率P（A|Bi）;（3）“求和”，利用全概率公式進(jìn)行求和處理。

2.決策問(wèn)題

例2 （2022～2023學(xué)年河北省滄州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）端午假日期間，某商場(chǎng)為促銷(xiāo)舉辦了購(gòu)物砸金蛋活動(dòng)，凡是在該商場(chǎng)購(gòu)物的顧客都有一次砸金蛋的機(jī)會(huì)。主持人從編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)金蛋中隨機(jī)選擇1個(gè)，放入獎(jiǎng)品，只有主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)金蛋里。游戲規(guī)則：顧客有兩次選擇機(jī)會(huì)，第一次任意選1個(gè)金蛋先不砸開(kāi)，隨后主持人隨機(jī)砸開(kāi)另外3個(gè)金蛋中的1個(gè)空金蛋，接下來(lái)顧客從3個(gè)完好的金蛋中任意選擇1個(gè)砸開(kāi)，如果砸中有獎(jiǎng)的金蛋直接獲獎(jiǎng)?，F(xiàn)有顧客甲第一次選擇了2號(hào)金蛋，接著主持人砸開(kāi)了另外3個(gè)金蛋中的1個(gè)空金蛋。

（1）作為旁觀者，請(qǐng)你計(jì)算主持人砸4號(hào)金蛋的概率。

（2）當(dāng)主持人砸開(kāi)4號(hào)金蛋后，顧客甲重新選擇，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)金蛋，還是改選1號(hào)金蛋或3號(hào)金蛋呢。 （以獲得獎(jiǎng)品的概率最大為決策依據(jù)）

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件設(shè)出事件，根據(jù)已知條件得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式得出答案;（2）根據(jù)條件概率公式，分別求出在主持人砸開(kāi)4號(hào)金蛋的條件下，1號(hào)金蛋、2號(hào)金蛋、3號(hào)金蛋里有獎(jiǎng)品的概率，再比較概率的大小，即可作出更加合理的決策與判斷。

解：（1）設(shè)A1，A2，A3，A4 分別表示1，2，3，4號(hào)金蛋里有獎(jiǎng)品，設(shè)B1，B2，B3，B4 分別表示主持人砸開(kāi)1，2，3，4號(hào)金蛋。

則Ω =A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4，且A1，A2，A3，A4 兩兩互斥。