【摘要】“輔助圓”是解答初中數(shù)學(xué)平面幾何問題的一個重要工具，能夠?qū)⒉煌N類的幾何問題都轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題，從而利用圓豐富的幾何性質(zhì)求解.對于不同類型題目，構(gòu)造輔助圓的方法和目的也有所不同，本文結(jié)合幾道典型例題探討如何巧構(gòu)輔助圓解答平面幾何問題.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；平面幾何；初中數(shù)學(xué)

輔助圓問題題型多樣，構(gòu)思巧妙，是中考壓軸題的熱點(diǎn)，令許多學(xué)生望而卻步.為了解答這一類問題，本文提煉出了以下三種基本的解題模型，以供讀者參考.

1 利用輔助圓求解線段長度

例1 如圖1所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC=3，AC與BD交于點(diǎn)P，已知AB=BD，PC=0.6，試求四邊形ABCD的周長大小.

解 因?yàn)椤螧=∠D=90°，結(jié)合圖1可知，

A、B、C、D四點(diǎn)在以AC為直徑的圓O上，過點(diǎn)B作BE⊥AD，

因?yàn)锳B=BD，

所以點(diǎn)O在線段BE上.

因?yàn)镃D⊥AD，

所以BE∥CD，則∠BOC=∠OCD.

所以△OPB∽△CPD，

則POCP=OBCD，代入數(shù)據(jù)得CD=1，

所以AD=22，OE=12.

則AB=22+（2）2=6，

BC=32－6=3.

則四邊形ABCD的周長為：

1+3+6+22.

評析 輔助圓在求解線段長度時的主要作用是實(shí)現(xiàn)線段的位置轉(zhuǎn)化或者構(gòu)造相似或者全等三角形，從而根據(jù)比例關(guān)系或等量關(guān)系求解.

2 利用輔助圓求點(diǎn)的坐標(biāo)

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩點(diǎn)A（4，0），B（－6，0），y軸上有一個動點(diǎn)C，當(dāng)∠BCA=45°時，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

解 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E，

因?yàn)辄c(diǎn)A（4，0），B（－6，0），

所以AB=10，E（－1，0）.

因?yàn)辄c(diǎn)C在y軸上，為了方便求解，分為y軸上半軸和下半軸來討論.

①當(dāng)點(diǎn)C在y軸上半軸時，如圖2所示，

過點(diǎn)E作EP⊥BA，且EP=12AB=5.

所以△PBA是等腰直角三角形，

則PA=PB=52，

以點(diǎn)P為圓心，線段PA的長為半徑作圓P，其與y軸的交點(diǎn)即為C點(diǎn).

因?yàn)椤螧CA是圓P的圓周角，

所以∠BCA=12∠BPA=45°，則點(diǎn)C符合條件.

過點(diǎn)P作PF⊥y軸，垂足為F，

故OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=52，則由勾股定理得CF=7.

所以O(shè)C=OF+CF=12，

則點(diǎn)C（0，12）.

②當(dāng)點(diǎn)C在y軸下半軸時，如圖3所示，同理可得點(diǎn)C（0，－12）.

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，12）或（0，－12）.

評析 輔助圓適用于在線段相等條件下或者是角度相等條件下求解點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，作出相應(yīng)的輔助圓后，與坐標(biāo)軸或者是曲線、直線的交點(diǎn)就是題目所求點(diǎn)的坐標(biāo).

3 利用輔助圓求解角的大小

例3 如圖4所示，四邊形ABCD中，AE、AF分別是BC、CD的中垂線，其中∠EAF=80°，∠CBD=30°，求∠ABC和∠ADC的大小.

解 連接AC.因?yàn)锳E、AF分別是BC、CD的中垂線，

所以AB=AC=AD，

則B、C、D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓A上.

因?yàn)椤螮AF=80°，

所以∠ECF=100°，

則弧BCD所對應(yīng)的圓心角為160°.

又因?yàn)椤螩BD=30°，

所以弧CD所對應(yīng)的圓心角為60°，

則弧BC所對應(yīng)的圓心角為100°.

所以∠ADC=180°－60°2=60°，

∠ABC=180°－100°2=40°.

評析 在利用輔助圓求解角的大小時，要合理利用圓的圓周角和圓心角的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和角的位置轉(zhuǎn)移.

4 結(jié)語

總的來說，在利用輔助圓解答平面幾何問題時，要明確解題的方向，能夠靈活運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)已知條件的合理轉(zhuǎn)化.同時，還要善于分解問題，轉(zhuǎn)換思路，將一些復(fù)雜的情況通過輔助圓轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膱A問題，問題就能迎刃而解.