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函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題探討

2024-09-23 00:00:00孫平安
數(shù)理天地(初中版) 2024年17期

【摘要】在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域,最值問(wèn)題是一個(gè)重要的研究課題.特別是在函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中,最值問(wèn)題的解決對(duì)于優(yōu)化系統(tǒng)性能、提高效率以及降低成本等方面具有重要意義.本文探討函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題,并提供一些有效的解決方法.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);函數(shù)實(shí)際問(wèn)題;最值問(wèn)題

最值問(wèn)題是指在特定條件下,尋求某個(gè)變量取值的最大值或最小值的問(wèn)題.在函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中,最值問(wèn)題通常涉及函數(shù)的最大值、最小值、穩(wěn)定性以及邊界條件等因素.這些因素對(duì)于優(yōu)化系統(tǒng)性能、控制誤差以及提高效率等方面具有重要影響.

1 函數(shù)最值在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

例1 如圖1,在△ABC中,∠BAC=120°,AB+AC=4,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DEC,則AD2的取值范圍是( )

(A)0<AD2<16. (B)12≤AD2<48.

(C)12≤AD2<16. (D)16<AD2<48.

解析 連接AE,如圖2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABC≌△EDC,

所以AC=CE,AB=DE,

因?yàn)椤螦CE=120°,

所以∠AED=120°-12(180°-∠ACE)=90°,

因?yàn)锳B+AC=4,

所以設(shè)AB=DE=x,AC=CE=4-x,

作CF⊥AE,則AF=EF,

所以CF=124-x,

所以AF=4-x2-124-x2=

324-x,

所以AE=34-x,

因?yàn)锳D2=AE2+DE2,

所以AD2=34-x2+x2=4x-32+12≥12,

因?yàn)?<x<4,

所以12≤AD2<16.

故選(C).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的性質(zhì)、函數(shù)思想求最值問(wèn)題等.正確作出輔助線,設(shè)AB=DE=x,根據(jù)幾何關(guān)系找到AD2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)配方法即可求得其最值.

2 函數(shù)最值在生活中的應(yīng)用

例2 某單位打算在A,B兩家電視臺(tái)打廣告,因單位經(jīng)費(fèi)限制(不超過(guò)9萬(wàn)元),廣告總時(shí)間要控制在5小時(shí)之內(nèi).A,B兩家電視臺(tái)給該單位的廣告定價(jià)分別為500元/分鐘、200元/分鐘,對(duì)應(yīng)的收益分別為3000元/分鐘、2000元/分鐘.問(wèn):該單位怎樣分配廣告時(shí)間,才能使收益最大化?并求出最大收益.

解析 設(shè)A,B兩家電視臺(tái)廣告時(shí)間分別為x分鐘、y分鐘,帶來(lái)的總收益為z元,

則x+y≤300500x+200y≤90000x≥0,y≥0,

即x+y≤3005x+2y≤900x≥0,y≥0,

目標(biāo)函數(shù)z=3000x+2000y,

作出二元一次不等

式組所表示的平面

區(qū)域,即陰影部分

,如圖3所示.作直線l:3000x+2000y=0,并平移,當(dāng)l過(guò)點(diǎn)M時(shí)z取最大值,

聯(lián)立x+y=3005x+2y=900,

得x=100y=200,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)

所以z=3000x+2000y=700000 (元).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用圖解法處理線性規(guī)劃問(wèn)題,解題的突破口是已知條件,找出題目中隱含的約束條件,確定目標(biāo)函數(shù).通過(guò)將題中的量分類,理順?biāo)悸?,然后列出相關(guān)不等式組尋求其約束條件,并就題中所述找出目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入,最后比較,即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

3 函數(shù)最值在解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題中的應(yīng)用

例3 已知拋物線C1:y=-x2-3x+4和拋物線c2:y=x2-3x-4交于A,B兩點(diǎn),在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間存在兩點(diǎn)P,Q,且P在C1上,Q在C2上.已知坐標(biāo)系中兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2間的距離可用公式AB=x1-x22+y1-y22求出.

(1)求線段AB的長(zhǎng);

(2)若PQ∥y軸,求PQ長(zhǎng)度的最大值.

解析 (1)聯(lián)立兩方程y=-x2-3x+4y=x2-3x-4,

解得x1=-2,y1=6,x2=2,y2=-6,

所以AB=(2+2)2+(6+6)2=410.

(2)如圖4,若PQ∥y軸,

設(shè)Pt,-t2-3t+4,Qt,t2-3t-4(-2<t<2),

可得PQ=2(4-t2)≤8,

當(dāng)t=0時(shí),等號(hào)成立.

所以PQ的最大值為8.

點(diǎn)評(píng) 本題給出了兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2之間的距離公式:AB=x1-x22+y1-y22,根據(jù)這個(gè)公式可找到解題的突破口(求點(diǎn)的坐標(biāo)).

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述,函數(shù)實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題是一個(gè)重要而復(fù)雜的研究課題.通過(guò)對(duì)影響因素的分析和解決方法的研究,可以更好地解決實(shí)際問(wèn)題,提高效率,降低成本.通過(guò)對(duì)實(shí)際應(yīng)用案例的分析,可以更好地了解最值問(wèn)題在實(shí)際情況中的應(yīng)用效果,為實(shí)際問(wèn)題的解決提供參考.

參考文獻(xiàn):

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