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旋轉(zhuǎn)法在正方形中的解題應(yīng)用

2024-09-23 00:00:00楊斌
數(shù)理天地(初中版) 2024年17期

【摘要】正方形有很多屬性,它是特殊的平行四邊形,也是軸對稱圖形,同時還是中心對稱圖形.多重屬性賦予了正方形很多特征,這些特征常作為考點出題,在解答與正方形有關(guān)的試題時,特別是涉及角度,全等,相似,直角三角形時,可以考慮用旋轉(zhuǎn)法解題.

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)法;正方形;應(yīng)用類型

在人教版初中數(shù)學教材中,正方形[1]為八年級下冊知識,旋轉(zhuǎn)[2]為九年級上冊知識,利用旋轉(zhuǎn)法求解正方形有關(guān)的試題,一般需要有一定的跳躍性思維,特別是題干中沒有提及“旋轉(zhuǎn)”二字的試題,需要學生找出旋轉(zhuǎn)點、旋轉(zhuǎn)角度,以及被旋轉(zhuǎn)圖形.多數(shù)情況下,題干會直接表明有關(guān)旋轉(zhuǎn)的操作,這樣難度會相對簡單,根據(jù)題意,結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的特點解題即可.本文列舉了三道與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的試題,講解正方形問題中,旋轉(zhuǎn)法解題的具體過程.

例1 如圖1,在△OAB中,已知頂點O0,0,A-3,4,B3,4,將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn),若每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時,點D的坐標為( )

(A)10,3. (B)-3,10.

(C)10,-3. (D)3,-10.

分析 根據(jù)題意,可求出正方形的邊長,利用正方形的性質(zhì)可確定點D的坐標,然后尋找旋轉(zhuǎn)規(guī)律,易得旋轉(zhuǎn)70次等同于旋轉(zhuǎn)2次,再利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征,可求出旋轉(zhuǎn)后的點D的坐標.

解析 因為A-3,4,B3,4,所以AB=3+3=6.

因為四邊形ABCD為正方形,所以AD=AB=6.所以D-3,10.

因為70=4×17+2,即每4次一個循環(huán).

所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)2次.

所以點D的坐標為3,-10.

小結(jié) 本題重在考查點的坐標,以及正方形在旋轉(zhuǎn)過程中點的變化規(guī)律.解答本題的關(guān)鍵要找到旋轉(zhuǎn)角度與圖形特性的關(guān)系,一般題設(shè)中常見的旋轉(zhuǎn)角度有:30°,45°,60°,90°,180°.

例2 如圖2,正方形ABCD的邊CD上有一點E,將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF,連接EF,過點A作EF的垂線,垂足為H,AG與BC相交于點G.若BG=3,CG=2,則CE的長為( )

(A)54. (B)154. (C)4. (D)92.

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)以及題干信息,可得BC=CD=5,再由旋轉(zhuǎn)可得DE=BF.接下來設(shè)置未知量,證明△ABG∽△FCE,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程,最后求解CE即可.

解析 因為BG=3,CG=2.所以BC=BG+GC=2+3=5.

因為四邊形ABCD為正方形,所以CD=BC=5.

設(shè)DE=BF=x,則CE=5-x,CF=5+x.

因為AH⊥EF,∠ABG=∠C=90°,

所以∠HFG+∠AGF=90°,∠BAG+∠AGF=90°.

所以∠HFG=∠BAG.

所以△ABG∽△FCE.

所以CEFC=BGAB,即5-x5+x=35,解得x=54.

所以CE=CD-DE=5-54=154.

小結(jié) 本題重在考查正方形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).在解答本題時需注意三點:對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離關(guān)系,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角關(guān)系,以及旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后圖形的全等關(guān)系.

例3 如圖3,矩形ABCD的對角線相交于點O,正方形OEFG的一條邊OE在直線OD上,OG與CD相交于點M,正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),OG′,OE′分別與CD,AD相交于點P,Q.已知矩形長與寬的比值為2,則在旋轉(zhuǎn)過程中PM:DQ=( )

(A)13. (B)23. (C)12. (D)34.

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和余角的關(guān)系易證三角形相似,即△OPM∽△DOQ.再從相似出發(fā),根據(jù)相似比可得線段長度的比值,從而得結(jié)論.

解析 因為∠DMO+∠MDO=∠MDO+∠QDO=90°,

所以∠PMO=∠QDO.

所以△OPM∽△OQD.

所以PMDQ=OMOD

因為CD∥AB,所以∠MDO=∠ABD.

所以tan∠MDO=tan∠ABD,

即OMOD=ADAB=12.所以PM∶DQ=12.

小結(jié) 本題重在考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定,三角函數(shù)的定義,以及正方形和長方形的性質(zhì),熟練地掌握各定理、定義的關(guān)系,是解答本題的關(guān)鍵.

結(jié)語

上述三個問題是中考試題中常見的與正方形有關(guān)的且利用旋轉(zhuǎn)法求解的例子.對于這一類型題目,在閱讀題干時需要注意以下幾點:①是否有特殊的旋轉(zhuǎn)角度;②旋轉(zhuǎn)過程中是否有重邊或公共邊的情況;③是否出現(xiàn)等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊的圖形等.當出現(xiàn)以上這幾點時,解題過程會相對復雜,經(jīng)常要利用全等三角形、相似三角形、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換等聯(lián)合解題.一般“全等”與“旋轉(zhuǎn)”是等長線段的轉(zhuǎn)換工具;“相似”是比例大小的轉(zhuǎn)換工具;“勾股定理”是列等式方程的工具.這類試題需要學生有著較強的知識綜合運用能力,可以通過多練、多解、多總結(jié)的過程,掌握旋轉(zhuǎn)與正方形的結(jié)合問題.

參考文獻:

[1]課程教材研究所.八年級數(shù)學:下[M].北京:人民教育出版社,2012.

[2]課程教材研究所.九年級數(shù)學:上[M].北京:人民教育出版社,2012.

[3]鐘穎琦.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學解題教學研究及案例分析[D].寧波大學,2021.

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