【摘要】初中數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維，這不僅是為了解決具體的數(shù)學(xué)問題，更是為了鍛煉學(xué)生的邏輯思維、推理能力和問題解決能力.本文圍繞三個具體的數(shù)學(xué)問題展開討論，通過不同的解題方法和思維過程，探討如何在初中數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題思維；推理能力

例1 如果方程x2+m－3x+m=0的兩個根是正數(shù)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

（A）m≤1. （B）0<m≤1.

（C）m>1. （D）0<m<1.

解析 要解決這個問題，學(xué)生可以采用三種不同的方法.每種方法都能從不同的角度展示初中數(shù)學(xué)對學(xué)生解題思維的培養(yǎng).

方法1 判別式法

首先，我們知道一個二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是判別式大于等于0.對于方程x2+m－3x+m=0，其判別式為Δ=（m-3）2-4m）.要使根為正數(shù)，判別式必須大于0.解這個不等式，我們可以找到滿足條件的m的值.

方法2 根與系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，對于方程ax2+bx+c=0，如果x1和x2是方程的兩個根，則x1+x2=-ba且x1x2=ca.

對于給定的方程，我們有x1+x2=3-m和x1x2=m.因?yàn)楦钦龜?shù)，所以3-m>0，m>0.可以幫助我們進(jìn)一步確定m的取值范圍.

方法3 圖象法

學(xué)生可以畫出函數(shù)y=x2+m－3x+m的圖象.因?yàn)楦欠匠痰慕?，所以我們需要找到函?shù)圖象與x軸相交的點(diǎn).根據(jù)題目條件，這兩個交點(diǎn)都應(yīng)該在x軸的正半部分.通過分析函數(shù)的頂點(diǎn)和對稱軸，我們可以細(xì)化m的取值范圍.

根據(jù)以上三種解法，可以得出正確的答案是（D）0<m<1.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，我們知道m(xù)>0且3-m>0，即m<3.結(jié)合判別式法和圖象法的分析，我們可以進(jìn)一步細(xì)化m的取值范圍：0<m<1.

例2 小明和小紅有一些貼紙，如果小明給小紅一些貼紙，那么小紅的貼紙將是小明的3倍.如果小紅給小明一些貼紙，那么小明的貼紙將是小紅的2倍.小明和小紅各有多少貼紙？

解法1 設(shè)立方程解法

假設(shè)小明原來有m張貼紙，小紅原來有n張貼紙.

根據(jù)問題描述，小明給小紅一些貼紙后，設(shè)給出的貼紙數(shù)為x，

則m-x=13（n+x）.

小紅給小明一些貼紙后，設(shè)給出的貼紙數(shù)為y，

則有m+y=2（n-y）.

通過解這兩個方程，我們可以解得m和n的值.

解法2 利用比例關(guān)系

根據(jù)題目描述“小明的貼紙將是小紅的2倍”，可以設(shè)小明和小紅交換的貼紙數(shù)使得交換后小明∶小紅=2∶1.

同理“小紅的貼紙將是小明的3倍”可設(shè)另一種情況下的比例關(guān)系為小紅∶小明 =3∶1.

通過構(gòu)建比例關(guān)系和已知信息，我們可以設(shè)立一個方程組來表示這兩種情況，并求解.

解法3 圖形表示法

利用條形圖表示小明和小紅的貼紙數(shù)，將小明和小紅貼紙數(shù)的增減關(guān)系用圖形直觀表示出來，然后根據(jù)圖形的比例關(guān)系解題，幫助學(xué)生直觀理解問題，特別是對視覺學(xué)習(xí)型的學(xué)生非常有效.通過這個問題及其解法，我們不僅考查了學(xué)生對分?jǐn)?shù)和比例的理解，還培養(yǎng)了他們運(yùn)用不同解題策略的能力.

例3 某自行車出租點(diǎn)，前30分鐘的租車費(fèi)用為10元，超過30分鐘后，每增加10分鐘需額外支付2元.如果小李使用自行車不超過2小時，求小李使用自行車時間與租車總費(fèi)用之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)這個關(guān)系，計(jì)算小李使用自行車75分鐘時的租車費(fèi)用.

解法1 分段函數(shù)解法

設(shè)x表示小李使用自行車的時間（分鐘），y表示租車的總費(fèi)用（元）.

構(gòu)建分段函數(shù)：當(dāng)0<x≤30時，y=10.

當(dāng)30<x≤120時，每超過10分鐘支付2元，可以表示為y=10+2（x-3010）.

當(dāng)x=75分鐘時，代入分段函數(shù)的第二部分計(jì)算得到y(tǒng)=10+2（75-3010）=10+2×5=20元.

解法2 圖形表示法

繪制時間－費(fèi)用圖表：在坐標(biāo)軸上繪制時間x與費(fèi)用y的關(guān)系.前30分鐘為一段直線，之后以10分鐘為一個單位，每增加2元為一個斜率.

讀取圖表求解：根據(jù)圖表，找到x=75時y的值.圖表將直觀顯示費(fèi)用隨時間增加的情況，便于理解和計(jì)算.

解法3 邏輯推理法

基礎(chǔ)費(fèi)用：首30分鐘費(fèi)用為10元.

超出費(fèi)用計(jì)算：超過30分鐘，每增加10分鐘費(fèi)用增加2元.因此，可以先計(jì)算超出的分鐘數(shù)，然后除以10，乘以2得到額外費(fèi)用.

即75-30=45分鐘，額外時間4510=4.5，向上取整為5，所以額外費(fèi)用為5×2=10元.總費(fèi)用為基礎(chǔ)費(fèi)用加額外費(fèi)用，即10+10=20元.

本題展示了如何從不同角度分析和解決一個實(shí)際問題，培養(yǎng)了學(xué)生使用函數(shù)解決問題的能力，同時也強(qiáng)化了他們對分段函數(shù)概念的理解和應(yīng)用.

例4 在等腰直角三角形ABC中，BA=BC，AP=AB，PB=PC，求證∠CAP=15°.

解析 本題目可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，將題干條件和圖形結(jié)合起來，通過作不同的輔助線可有多種解題方法.

解法1 如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AB.

因?yàn)镻B=PC，PD⊥BC，

所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BD=12BC，

所以四邊形PDBE是矩形.

因?yàn)锽C=AB=AP，

PE=BD=12BC=12AP，

所以∠PAE=30°.

因?yàn)椤鰿AB為等腰直角三角形，

所以∠CAB=45°，

所以∠CAP=45°-30°=15°.

解法2 如圖2，將ABC進(jìn)行翻折，得以的四邊形ABCD則是正方形.

因?yàn)镻C=PB，

所以∠PCB=∠PBC，

所以∠DCP=∠ABP.

因?yàn)镈C=AB，PC=PB，

所以△DCP≌△ABP（SAS），

所以DP=AP=AB=AD，

所以△ADP是等邊三角形，∠DAP=60°，且∠DAC=45°，

所以∠CAP=15°.

結(jié)語

以上就是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和三角形的基礎(chǔ)知識，通過構(gòu)造不同的輔助線，形成不同的圖形，從而達(dá)到更好地解決問題的目的.