【摘要】全等三角形問題是平面幾何問題中的一類重要題型,解答此類問題不僅需要有較強(qiáng)的思維能力,還要掌握一些常見的模型構(gòu)造方法.本文根據(jù)幾道例題談全等三角形問題中的三個(gè)常見模型,以供讀者參考.
【關(guān)鍵詞】全等三角形;初中數(shù)學(xué);解題技巧
1 “倍長中線”模型
例1 如圖1所示,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn),AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,則△ABC的面積為.
解 延長AD到點(diǎn)F,使ED=DF,連接BF,如圖2.
所以EF=2DE.
因?yàn)锳E=2DE,AE=3,
所以EF=AE=3.
在△BDF和△CDE中,
BD=CD,∠BDF=∠CDE,DF=DE,
所以△BDF≌△CDE,
所以BF=CE=4.
因?yàn)锽E=5,
所以BF2+EF2=42+32=52=BE2,
所以∠BFE=90°.
所以S△BCE=S△BEF=12×3×4=6.
因?yàn)锳E=2DE,
所以S△ABE+S△ACE=2S△BCE=12,
所以S△ABC=18.
評析 “倍長中線”模型是構(gòu)造全等三角形時(shí)較為常用的一類模型,中線本身帶有線段相等的性質(zhì),同時(shí)在延長之后對頂角相等也可以作為證明全等三角形的條件之一.
2 “K”字模型
例2 在平面直角坐標(biāo)系中,存在兩點(diǎn)A(7,0),B(3,-8),點(diǎn)P為一次函數(shù)y=x-1圖象上的一點(diǎn),且∠ABP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解 如圖3所示,過點(diǎn)B作直線CD∥x軸,作BE⊥AB并截取BE=AB.作AC⊥CD于點(diǎn)C,作ED⊥CD于點(diǎn)D,連接AE,
則由“K”字模型可得△ABC≌△BED.
所以AC=BD=8,BC=DE=4,
所以E(-5,-4).
設(shè)BP交AE于點(diǎn)F,
則由∠ABP=45°,
BE⊥AB,BE=AB,
可得點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn),
所以F(1,-2).
由B(3,-8)和F(1,-2),
易得yBF=-3x+1,
聯(lián)立y=-3x+1y=x-1,
解得x=12y=-12,
所以點(diǎn)P(12,-12).
評析 “K”字模型是構(gòu)造全等三角形常用的一類模型,其主要是通過構(gòu)造垂直,從而得到全等三角形.此方法要求構(gòu)造出的直角三角形的斜邊要相等,若不相等,則一般是相似三角形.
3 “半角”模型
例3 如圖4所示,四邊形ABCD為菱形,∠A=60°,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上的點(diǎn),且AE=DF.連接DE、BF交于點(diǎn)G,連接CG、BD.若CG=7,BG=5,則DG=.
解 如圖5所示,延長FB到點(diǎn)M,使BM=DG,連接CM.
因?yàn)椤螦=60°,AB=AD,
所以△ABD為等邊三角形,
則∠A=∠BDF=60°.
因?yàn)镃D∥AB,
所以∠ADC=180°-∠A=120°,
同理可得∠ABC=120°.
在△AED和△DFB中,AD=DB,
∠A=∠BDF,AE=DF,
所以△AED≌△DFB.
所以∠ADE=∠DBF,∠AED=∠DFB.
因?yàn)锳D∥BC,DC∥AB,
所以∠DFB=∠CBM,∠AED=∠CDG,
所以∠CBM=∠CDG.
因?yàn)椤鱀BC是等邊三角形,
所以CD=CB.
在△CDG和△CBM中,
CD=CB,∠CDG=∠CBM,DG=BM,
所以△CDG≌△CBM.
所以∠DCG=∠BCM,CG=CM,
所以∠GCM=∠DCB=60°,
所以△CGM是等邊三角形,
則CG=GM=BG+BM=BG+DG,
即DG=CG-BG=2.
評析 “半角”模型的關(guān)鍵在于找到含半角的角度,然后通過旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)構(gòu)造全等三角形,由全等條件得到邊角條件之后,再進(jìn)行相關(guān)的證明或計(jì)算.
4 結(jié)語
上文通過三道例題介紹了全等三角形中的三個(gè)常用模型.在平時(shí)解題時(shí),學(xué)生要學(xué)會總結(jié)歸納,分清不同模型的特征,抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn),結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)、對折等操作構(gòu)造全等三角形,再利用全等三角形的邊角關(guān)系來解答問題.