【摘要】在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)遇到這樣一類(lèi)方程，即方程當(dāng)中出現(xiàn)的未知數(shù)的實(shí)際數(shù)量相對(duì)較多，往往會(huì)多于方程的個(gè)數(shù).面對(duì)這類(lèi)方程，無(wú)法使用常規(guī)方法求解，需要學(xué)生根據(jù)這一類(lèi)方程的特點(diǎn)，選擇使用一定技巧，對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)、未知數(shù)取值范圍和實(shí)數(shù)相等的意義等數(shù)學(xué)知識(shí)加以利用，方可完成解題.因此，多元方程的巧解能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生解題思維的拓展，使得學(xué)生掌握更多的解題技巧，從而提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；方程解法

方程在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要位置，方程的出現(xiàn)與運(yùn)用極大程度上擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，使得算術(shù)解題法所不能解決的問(wèn)題可以用方程解決，為數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)積極影響.一般來(lái)講，方程中的未知量可以是向量或者函數(shù)等多種數(shù)學(xué)對(duì)象，其運(yùn)算方式也不再只局限于簡(jiǎn)單的加減乘除，而是需要打破常規(guī)方法，通過(guò)相應(yīng)的技巧完成求解.本文對(duì)解一類(lèi)多元方程所使用的方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，以供參考.

1 巧用未知數(shù)取值范圍

巧用未知數(shù)的取值范圍作為解決多元方程問(wèn)題的有效策略，通常需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，確定每個(gè)未知數(shù)可能的取值范圍，并根據(jù)范圍縮小空間，或者應(yīng)用特定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，具體包括定義域的確定、增減性分析、極值與端點(diǎn)值、根的近似估計(jì)等[1].

例1 解方程x－2+2－x+y－2=0.

解 那么可以得到x－2≥02－x≥0，

解得x=2.

再代回原式，易得y=2.

點(diǎn)撥 方程的求解可以免去逆向思考的不易，通過(guò)正向方式列出含有欲求解的量的等式.針對(duì)無(wú)理方程的求解，可以考慮結(jié)合未知數(shù)的取值范圍，同時(shí)注意根式有意義來(lái)巧解這一類(lèi)方程.

2 整體思想

在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以從整體形式、結(jié)構(gòu)或者特征等多個(gè)方面入手，以此來(lái)找到解題辦法[2].

例2 已知關(guān)于x1、x2和x3的方程組為x1+x2=a1①x2+x3=a2②x3+x1=a3③，其中，a1＞a2＞a3，求x1，x2，x3的大小關(guān)系.

解 ①-②得：x1-x3=a1-a2，

②-③得x2-x1=a2-a3，

①-③得x2-x3=a1-a3.

因?yàn)閍1＞a2＞a3，

則有a1-a2>0，a2-a3>0，a1-a3>0，

所以x1>x3，x2>x1，x2>x3，

所以x2>x1>x3.

點(diǎn)撥 在這道題目中，我們已知a1，a2，a3的大小關(guān)系，問(wèn)題是要求x1，x2，x3的大小關(guān)系，由此可以聯(lián)想采用整體思想，將各個(gè)式子相減.

代入求值是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的題型之一.在解答這類(lèi)題目時(shí)，通常需要對(duì)已知條件進(jìn)行整理和轉(zhuǎn)化，然后找到所求問(wèn)題與已知條件之間的關(guān)系.

對(duì)于較難的題目，可以采用整體思維的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知條件，從而順利解決問(wèn)題.

例3 已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求A=abc+bca+cab－1a－1b－1c的值.

解 由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，

可知a－b=－1，b－c=－1，c－a=2，

A=abc+bca+cab－1a－1b－1c

=a2abc+b2abc+c2abc－bcabc－acabc－ababc

=1abc（a2+b2+c2－bc－ac－ab）

=12abc（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2

=148（1+1+4）

=18.

點(diǎn)撥 本題目給出的已知條件數(shù)值較大，若是直接代入計(jì)算較復(fù)雜，可以觀察已知條件之間的數(shù)量關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行變形，并利用整體思想實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，降低解題難度.

3 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想強(qiáng)調(diào)將抽象的數(shù)學(xué)思維與形象思維相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解和解決問(wèn)題，這種方式可以有效地拓展學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)變看待數(shù)學(xué)問(wèn)題的角度.

例4 如圖1所示，在邊長(zhǎng)為x的正方形中，裁剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為y的小正方形（x＞y），將剩余部分拼接為新的梯形，根據(jù)圖形中空白部分的面積關(guān)系，寫(xiě)出關(guān)于x、y的恒等式.

解 利用數(shù)形結(jié)合的思想，在圖1中，空白部分的面積可以表示為大正方形的面積減去小正方形的面積，因此為x2－y2.在圖2中，組合后的圖形為梯形，根據(jù)梯形的面積公式：

S梯=（2x+2y）（x－y）2=（x+y）（x－y）（x＞y）.

因?yàn)閳D1中和圖2中空白部分的面積是相等的，故可以得到恒等式x2－y2=（x+y）（x－y）.

點(diǎn)撥 從圖示中可以直觀地進(jìn)行比較，但是要用“數(shù)”的方式表達(dá)“形”，就需要學(xué)生思考如何根據(jù)已知條件找到隱含的等量關(guān)系.

4 巧用非負(fù)數(shù)性質(zhì)

非負(fù)數(shù)包括零與正數(shù)，常以完全平方式進(jìn)行表示，也可以使用算術(shù)平方根表示.當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加得到的和等于0時(shí)，每個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，可以根據(jù)這一性質(zhì)，將多元方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便于求解.

例5 求方程組2x－y=1①4x+y－2xy－z2=3②

的實(shí)數(shù)解.

解 根據(jù)①可以解得y=2x－1，

將其代入②得到4x2－8x+4+z2=0，

進(jìn)一步解得4（x－1）2+z2=0，

此時(shí)，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，

得到x－1=0，z=0，

即x=1，z=0，

代回原式，易得方程組的解為x=1y=1z=0.

點(diǎn)撥 此方程的求解用到了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，首先用代入法進(jìn)行消元，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)找到突破口.

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)一類(lèi)多元方程的巧解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多元方程所具有的不同特點(diǎn)，幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行回顧并靈活運(yùn)用，通過(guò)主元法、非負(fù)數(shù)性質(zhì)、實(shí)數(shù)相等的意義與未知數(shù)取值范圍等知識(shí)的巧妙使用，找到求解一類(lèi)多元方程的切入點(diǎn)，改變傳統(tǒng)的解題思路，憑借發(fā)散性的思維快速解題，從而有效掌握解決一類(lèi)多元方程的方法與技巧.

參考文獻(xiàn)：

[1]王梅.巧設(shè)輔助元妙解應(yīng)用題[J].初中生世界（七年級(jí)），2020（07）：96-97.

[2]朱靜軍.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（24）：42-44.