【摘要】在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題常常是重點(diǎn)和難點(diǎn)，這類問題具有較強(qiáng)的綜合性和靈活性，能夠充分考查學(xué)生對函數(shù)知識的掌握程度和運(yùn)用能力．本文深入探討反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題的解題策略，希望能為廣大學(xué)生提供有益的參考．

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)；一次函數(shù)；解題策略

1 反比例函數(shù)和一次函數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用

例1 已知反比例函數(shù)y1=k1xk1≠0與正比例函數(shù)y2=x相交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，如圖1．

（1）k1=________；當(dāng)y1>y2，x取值范圍是________．

（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為a，b，則B點(diǎn)坐標(biāo)為________.（用a，b表示）

（3）將正比例函數(shù)圖象向下平移3個單位長度，分別交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，D．交y軸于點(diǎn)E．連接BD，BC，求△BCD的面積．

解析 （1）因為A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，

所以y=2，即A2，2，

所以2=k12，即k1=4.

因為點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以B－2，－2，

由圖像可知，y1>y2時，0<x<2或x<－2.

（2）因為點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，A點(diǎn)坐標(biāo)為a，b，

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為－a，－b.

（3）由題意可得CD：y=x－3，

所以E0，－3，

所以O(shè)E=3，

聯(lián)立得y=x－3y=4x，

即x2－3x－4=0，

解得x1=4，x2=－1，

所以C4，1，D－1，－4，

過點(diǎn)B作BI∥y軸交CD于點(diǎn)I，如圖2，

則I－2，－5，BI=3，

△BCI的高為6，底為3，△BDI的高為1，底為3，

所以S△BCD=S△BCI－S△BID=12×3×6－12×3×1=152．

解題策略 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問題、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會利用圖象根據(jù)條件確定自變量取值范圍，屬于中考常考題型．第（1）問中，把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在正比例函數(shù)圖象的上方，即可寫出x的取值范圍．第（2）問中，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得點(diǎn)B的坐標(biāo).第（3）問中，過點(diǎn)B作BI∥y軸交CD于點(diǎn)I，由條件可求得D，C的坐標(biāo)，用△BCI的面積減去△BDI的面積即可求出△BCD的面積．

2 運(yùn)用反比例函數(shù)與一次函數(shù)解決實(shí)際問題

例2 某種玻璃原材料需在0℃環(huán)境保存，取出后勻速加熱至600℃高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（30℃），加熱和降溫過程中可以對玻璃進(jìn)行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于480℃．玻璃溫度y℃與時間xmin的函數(shù)圖象如圖3所示，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，以下判斷正確的是（ ）

（A）玻璃加熱速度為120℃/min．

（B）玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=600x．

（C）能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工的時長為1.8min．

（D）玻璃從600℃降至室溫30℃需要的時間為80min．

解析 因為600÷4=150℃/min，

所以玻璃加熱速度為150℃/min，故（A）選項不合題意；

由題意可得，4，600在反比例函數(shù)圖象上，

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kx，

代入點(diǎn)4，600，可得k=2400，

所以玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=2400x，故（B）選項不合題意；

設(shè)玻璃溫度上升時y與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=k1x，

由題意可得，4，600在正比例函數(shù)圖象上，

代入點(diǎn)4，600，可得k=150，

所以玻璃溫度上升時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=150x，

所以將y=480代入y=150x，得x=3.2，

所以將y=480代入y=2400x，得x=5，

所以5－3.2=1.8min，

所以能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工的時長為1.8min，故（C）選項符合題意；

將y=30代入y=2400x得，x=80，

所以80－4=76min，

所以玻璃從600℃降至室溫30℃需要的時間為76min，故（D）選項不符合題意．

解題策略 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，獲取信息是解決本題的關(guān)鍵．0～4min內(nèi)，溫度隨時間成正比增加，可求出k的值，再結(jié)合4min時的坐標(biāo)值可求出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項分析求解即可．

3 結(jié)語

總之，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題的解題需要學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識、良好的分析問題和解決問題的能力．通過不斷的練習(xí)和總結(jié)，學(xué)生能夠逐漸掌握解題策略，提高解題水平，更好地應(yīng)對這類復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題．同時，教師在教學(xué)過程中也要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷進(jìn)步．希望本文的探討能對廣大師生在解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題時提供有益的幫助．

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