【摘要】以2022年舟山市中考?jí)狠S題第（3）小題為例，結(jié)合四大數(shù)學(xué)思想，化繁為簡，聚焦二次函數(shù)的圖象性質(zhì)與不等式的精妙運(yùn)用，構(gòu)思多種解題思路，利用幾何畫板作圖分析研究，旨在讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的無窮魅力，以培育思維的靈活性和發(fā)散性.

【關(guān)鍵詞】一題多解；二次函數(shù)；不等式

1 原題再現(xiàn)

（2022舟山）已知拋物線L1：y=a（x+1）2－4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）.

（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將拋物線L1向上平移m（m>0）個(gè)單位得到拋物線L2，若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值；

（3）把拋物線L1向右平移n（n>0）個(gè)單位得到拋物線L3，已知點(diǎn)P（8-t，s），Q（t-4，r）都在拋物線L3上，若當(dāng)t>6時(shí)，都有s>r，求n的取值范圍.

由于前兩題比較容易求解，所以著重探討第（3）小題的解法.

前兩題的參考答案：（1）y=（x+1）2－4.（2）m=4.

2 解法剖析

本題有關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的綜合應(yīng)用，要求學(xué)生掌握二次函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力，下面通過三種解題思路進(jìn)行分析討論.

解法1 由s>r列出不等式，解不等式.

將P，Q代入得：s=（8－t+1－n）2－4，

r=（t－4+1－n）2－4.

因?yàn)閟>r，

所以（8－t+1－n）2－4>（t－4+1－n）2－4，

移項(xiàng)得：（8－t+1－n）2－（t－4+1－n）2>0，

化簡得：（－2n+6）（－2t+12）>0.

因?yàn)閠>6，

所以－2t+12<0，

所以－2n+6<0，

所以n>3.

類似于作差法比較大小，求解過程中，由于代數(shù)推理過程比較復(fù)雜，學(xué)生容易犯錯(cuò).尤其是在判斷兩式相乘大于零，兩式應(yīng)該同號(hào)時(shí)，更容易出錯(cuò).

解法2 數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)軸對(duì)稱的性質(zhì).

學(xué)生可直接利用草稿紙畫曲線草圖進(jìn)行輔助分析，下面采用幾何畫板繪圖觀察函數(shù)圖象特征，可知拋物線開口向上.

P，Q所成線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為2；當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸與直線x=2重合時(shí)，s=r，見圖1；

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在直線x=2左側(cè)時(shí)，s<r，見圖2；當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在直線x=2右側(cè)時(shí)，s>r，見圖3.

觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，其圖象就越低，函數(shù)值越小.已知s>r，我們只需要保證函數(shù)的對(duì)稱軸x=n－1在直線x=2右側(cè)即可，由此得出n－1>2即n>3.

我們的第二種解法就是通過幾何畫板建模，應(yīng)用分類討論的思想繪出符合題意的函數(shù)圖象，在這個(gè)過程中逐步鍛煉培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、邏輯推理能力，一目了然地求解出不等式條件下參數(shù)的取值范圍.

3 變式拓展

在進(jìn)行一題多解的探究后，教師還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提出新問題，在原有基礎(chǔ)上改編題目，進(jìn)一步驗(yàn)證方法的可行性.

變式1 已知點(diǎn)P（8-t，s），Q（t-4，r）在拋物線y=－（x+1－n）2－4上，若當(dāng)t>6時(shí)，都有s>r，求n的取值范圍.

分析 同樣應(yīng)用幾何畫板進(jìn)行圖象分析，拋物線開口向下.

P，Q所成線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為2；

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸與直線x=2重合時(shí)，s=r，見圖4；

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在直線x=2左側(cè)時(shí)，s>r，見圖5；

當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸在直線x=2右側(cè)時(shí)，s<r，見圖6.

同樣可以得出，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，其圖象就越高，函數(shù)值越大.因此該題目同樣可以通過對(duì)稱軸快速找到n的取值范圍，n-1<2即n<3.

在討論清楚二次函數(shù)圖象開口向上和向下這兩種情形后，我們將之合二為一，得到新的變式拓展題.

變式2 已知點(diǎn)P（8-t，s），Q（t-4，r）在拋物線y=（2－n）x2+x+1上，若當(dāng)t>6時(shí)，都有s>r，求n的取值范圍.

分析 當(dāng)2-n出現(xiàn)在二次項(xiàng)的時(shí)候，需要分類討論它與0的大小關(guān)系，進(jìn)而確定拋物線的開口方向，再利用數(shù)形結(jié)合去分析圖形特征.

解 當(dāng)2—n>0時(shí)，

—12（2-n）>2；

當(dāng)2—n<0時(shí)，

—12（2-n）<2.

綜上：n>94.

通過對(duì)中考?jí)狠S題和變式題的分析，歸納出這類題目的解題通法：找到拋物線的對(duì)稱軸以及已知點(diǎn)所成線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)圖象開口方向，利用對(duì)稱軸結(jié)合題目當(dāng)中的已知條件列出不等式，最后解不等式求出答案.

4 結(jié)語

從上述試題探究可知，在用代數(shù)方法求解復(fù)雜問題比較困難時(shí)，學(xué)生可以通過繪制圖象，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具象化，更直觀地理解問題，從而簡化問題并找到新的解題思路.