摘要：高等數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言、抽象思維、邏輯分析等能力的鍛煉，將直接影響他們后續(xù)學(xué)習(xí)和接受專業(yè)課程的難易程度。在工科專業(yè)工程教育認(rèn)證要求下，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)知識(shí)解決復(fù)雜工程問(wèn)題的能力有著明確要求。這就必須在專業(yè)課的教學(xué)中就將專業(yè)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)深度結(jié)合，使學(xué)生能夠在授課中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)與專業(yè)知識(shí)的融會(huì)貫通，在未來(lái)面對(duì)具體工程問(wèn)題能舉一反三。為此，本文以飛行器動(dòng)力專業(yè)基礎(chǔ)課《氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)》的教學(xué)為例，調(diào)研分析教師授課與學(xué)生學(xué)習(xí)情況，討論了高等數(shù)學(xué)對(duì)專業(yè)課教學(xué)的支撐作用，并提出了可行的課程改革措施。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；航空專業(yè)課；OBE教學(xué)；高等教育

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、概述

氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)是飛行器動(dòng)力工程、航空宇航推進(jìn)技術(shù)、能源動(dòng)力等專業(yè)的非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程［1］，對(duì)學(xué)生整體的專業(yè)素質(zhì)、系統(tǒng)思維等培養(yǎng)有著至關(guān)重要的作用［2］。但是學(xué)生普遍感覺這門課程難度大、聽不懂、看不懂［3］，最主要的原因是公式復(fù)雜、數(shù)學(xué)概念多、高等數(shù)學(xué)應(yīng)用強(qiáng)，“畏難”情緒逐漸發(fā)展為“躺平”和“擺爛”等情況。

作為一門專業(yè)基礎(chǔ)課，氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)并非知識(shí)有多深?yuàn)W（通常還會(huì)做理論簡(jiǎn)化處理），而是該課程是學(xué)生首次體會(huì)到高等數(shù)學(xué)融入現(xiàn)代學(xué)科中并廣泛、靈活應(yīng)用［4］。猶如很多本科生在中學(xué)時(shí)代數(shù)學(xué)不錯(cuò)，但進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，因高數(shù)課程知識(shí)跨度大、概念抽象、數(shù)學(xué)語(yǔ)言晦澀等，導(dǎo)致高數(shù)的及格率在高校中普遍不理想。如要真正學(xué)好氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，既要學(xué)生高數(shù)知識(shí)扎實(shí)，又要學(xué)生具備將具體工程問(wèn)題抽象理解轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)感覺好不容易邁過(guò)一重高山，還要再過(guò)一重高山，才能達(dá)到可以較好理解的狀態(tài)。

一般來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)屬于學(xué)科教育課程，授課對(duì)象基本覆蓋了幾乎全部理工科專業(yè)學(xué)生，其開課院系只能考慮教學(xué)內(nèi)容的普適性［5-7］。但隨著課時(shí)減少，高等數(shù)學(xué)對(duì)專業(yè)課程的支撐、傳接性將出現(xiàn)不足。有很多學(xué)者注意到這種支撐不足，也提出了教學(xué)方法、課程體系等方面的改革和探究。為提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果，降低學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的難度，本文通過(guò)分析調(diào)研師生反饋，分析高等數(shù)學(xué)對(duì)氣體動(dòng)力學(xué)的教學(xué)支撐作用，并提出課程改革的探索。

二、氣體動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)特征

氣體動(dòng)力學(xué)是為航空航天飛行器的氣動(dòng)設(shè)計(jì)、分析和應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，其研究對(duì)象為空氣。該課程屬于力學(xué)學(xué)科范疇，與流體力學(xué)知識(shí)非常接近，而流體運(yùn)動(dòng)是無(wú)形且難以探究的，其基本理論對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程多為非定常、非線性、偏微分方程（組）。從氣體動(dòng)力學(xué)課程內(nèi)容所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)看，其特征如下：

（一）方程形式復(fù)雜

從流動(dòng)現(xiàn)象出發(fā)列出的氣體基本運(yùn)動(dòng)方程必然是復(fù)雜的。以氣體動(dòng)力學(xué)中流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析內(nèi)容為例，其引入的重要的流體運(yùn)動(dòng)分析數(shù)學(xué)表達(dá)可以寫為：

對(duì)于剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，上述偏微分方程組十分陌生。實(shí)際上，偏微分相關(guān)知識(shí)不在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱內(nèi)容中，而微分方程的矢量運(yùn)算（特別包含叉乘運(yùn)算）更是聞所未聞。而在氣體動(dòng)力學(xué)課程中，該方程組推導(dǎo)默認(rèn)學(xué)生能夠理解。兩門課之間的知識(shí)儲(chǔ)備存在明顯的斷層。

（二）數(shù)理模型抽象

氣體動(dòng)力學(xué)研究對(duì)象為空氣無(wú)形無(wú)相，對(duì)其進(jìn)行受力和運(yùn)動(dòng)分析時(shí)必然大量依賴于抽象模型。在抽象的物理模型概念上，進(jìn)一步抽象為數(shù)學(xué)模型，然后再對(duì)其進(jìn)行理論上的推導(dǎo)、計(jì)算等。對(duì)初次接觸這類知識(shí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，猶如先拋出一個(gè)空中樓閣，再描繪它的亭臺(tái)樓榭，最后還要學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)它改造修繕，難度可見一斑。

此外，氣體動(dòng)力學(xué)所建立的微分方程（組）的求解（推導(dǎo)）過(guò)程，存在大量的簡(jiǎn)化、降維方法，在不同的邊界條件將演化為不同的形式。這對(duì)于學(xué)生也是一大挑戰(zhàn)，需要較好的數(shù)理方程知識(shí)。然而，學(xué)生從高等數(shù)學(xué)中獲取的數(shù)理方程知識(shí)十分有限，以至于基本不能理解部分重要的推導(dǎo)過(guò)程。教師在講授相關(guān)內(nèi)容時(shí)亦會(huì)大幅簡(jiǎn)化這些推導(dǎo)過(guò)程，僅重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)最后化簡(jiǎn)后的代數(shù)方程形式，以免學(xué)生畏難心理過(guò)重。長(zhǎng)此以往，學(xué)生養(yǎng)成了“見題套公式”的習(xí)慣。而面對(duì)具體工程問(wèn)題的簡(jiǎn)化、抽象過(guò)程，所需“套用”的公式要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整。如果不能很好理解具體案例的“簡(jiǎn)化”思路，解決問(wèn)題所套用的公式就經(jīng)常錯(cuò)誤，學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)知識(shí)解決復(fù)雜工程問(wèn)題”的能力并沒有真正得到培養(yǎng)。

（三）微分思想綜合運(yùn)用強(qiáng)

氣體動(dòng)力學(xué)是充滿了微分與極限等高等數(shù)學(xué)思想的課程，從流體微團(tuán)的“宏觀上無(wú)限小，微觀上無(wú)限大”開始，就要求學(xué)生有比較扎實(shí)的微分思想。例如，在推導(dǎo)激波與膨脹波相關(guān)方程時(shí)，氣流微小的偏轉(zhuǎn)角dθ就有多重含義，它既是實(shí)際氣流運(yùn)動(dòng)時(shí)變化的具體角度，也是對(duì)應(yīng)速度矢量的比值，還可以是動(dòng)量方程中的一個(gè)變量。通過(guò)方程組聯(lián)立和變量代換，dθ最終可以寫為多個(gè)熱力學(xué)參數(shù)的微分表達(dá)。學(xué)生對(duì)微分方程的變化推導(dǎo)本就不熟悉，上述靈活運(yùn)用就更難理解了。

三、學(xué)習(xí)反饋分析

為了針對(duì)上述課程難點(diǎn)制定對(duì)應(yīng)教學(xué)調(diào)整，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)研。回收有效問(wèn)卷共114人次，其中67人次為正在學(xué)習(xí)本門課程的同學(xué)，47人次為已修完本門課程的同學(xué)。

（一）在學(xué)同學(xué)反饋分析

在學(xué)同學(xué)尚未有其他專業(yè)課程對(duì)比，反映了學(xué)生初次面對(duì)該課程及專業(yè)課程學(xué)習(xí)的最真實(shí)感受。調(diào)研將反映在調(diào)研的67名在學(xué)同學(xué)中，有28人感覺本門課程非常難，占41.79%；感覺本門課程難的同學(xué)為34人，占50.75%；僅有5人次感覺本門課程難度一般。通過(guò)問(wèn)題交叉分析，可以更準(zhǔn)確把握課程難點(diǎn)。筆者選擇了“你感覺本門課程學(xué)習(xí)難度大嗎？（單選）”和“課程難以掌握的內(nèi)容，你感覺主要困難是什么？（多選）”來(lái)交叉分析，結(jié)果見圖1。首先，在感覺本門課程非常難的同學(xué)中，最大的困難是公式太過(guò)復(fù)雜，不認(rèn)真看。該部分同學(xué)可能第一步就卡在公式的復(fù)雜程度上，看不進(jìn)、學(xué)不進(jìn)。其次，感覺本門課程難的同學(xué)中，最大的難點(diǎn)在于物理概念太抽象，不具體，而公式太過(guò)復(fù)雜帶來(lái)困難為第二位。說(shuō)明在這個(gè)層次的同學(xué)，公式能夠看懂理解，但是在對(duì)物理概念理解方面遇到了困難，這將導(dǎo)致面對(duì)具體工程問(wèn)題時(shí)（或考試遇到新問(wèn)題時(shí)）無(wú)從下手，不知如何分析。

（二）已修同學(xué)反饋分析

已修完的同學(xué)學(xué)習(xí)到更多的專業(yè)課程，能從更多專業(yè)課程學(xué)習(xí)的角度反應(yīng)課程難度。在調(diào)研的47名同學(xué)中，有15人感覺本門課程非常難，占31.91%；感覺本門課程難的同學(xué)為24人，占51.06%。即在對(duì)比了其他專業(yè)課后，許多同學(xué)仍感覺該課程難度較大。與前面相似，對(duì)已修同學(xué)作對(duì)應(yīng)問(wèn)題交叉分析。圖2顯示了課程難度與學(xué)習(xí)困難點(diǎn)交叉分析。結(jié)果表明，同學(xué)們認(rèn)為最難點(diǎn)在于物理概念太抽象，不具體。公式過(guò)于復(fù)雜困難對(duì)于同學(xué)們感覺有所弱化。這是因?yàn)檎n程最后解決復(fù)雜工程問(wèn)題依靠的公式都是簡(jiǎn)化后的、便于計(jì)算的公式，考試時(shí)也將復(fù)雜公式直接給出，大幅解決了公式復(fù)雜帶來(lái)的困難（特別降低一部分考試難度）。但物理概念抽象的問(wèn)題仍較為嚴(yán)重，導(dǎo)致學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題（新題型）時(shí)分析能力不足。

圖3顯示了所有調(diào)研同學(xué)對(duì)課程內(nèi)容的建議情況。其中，在學(xué)同學(xué)認(rèn)為課堂要講得更為有趣，提高學(xué)習(xí)興趣；安排更多計(jì)算例題，讓同學(xué)們能更好地運(yùn)用相關(guān)公式，掌握例題計(jì)算分析技巧。而已修同學(xué)則認(rèn)為課程最重要的是增加更多工程實(shí)例。前者主要關(guān)注于課堂能否吸引自己，課后作業(yè)是否能順利做出；后者在接觸更多的專業(yè)課程后將發(fā)現(xiàn)本課程是后續(xù)專業(yè)課的基礎(chǔ)，如何運(yùn)用本課程知識(shí)去分析新的、具體工程問(wèn)題是難點(diǎn)，故希望能夠安排更多工程實(shí)例。

四、課程改革探討

無(wú)論OBE教學(xué)理念還是工程教育認(rèn)證要求，學(xué)生培養(yǎng)最終是要獲得解決復(fù)雜工程問(wèn)題的能力。課堂上知識(shí)的學(xué)習(xí)是內(nèi)容，靈活運(yùn)用知識(shí)是目的，采用何種適應(yīng)性的教學(xué)是手段。對(duì)于專業(yè)基礎(chǔ)課，由數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)到實(shí)際工程問(wèn)題抽象模型，最終到解決工程問(wèn)題，學(xué)生要邁過(guò)兩道坎。如何彌補(bǔ)兩者之間的欠缺成為實(shí)現(xiàn)該課程教學(xué)目的的關(guān)鍵。筆者認(rèn)為可以從數(shù)學(xué)課、專業(yè)課以及線上學(xué)習(xí)三個(gè)方面來(lái)努力。

在課程體系方面，可行措施是調(diào)整數(shù)學(xué)課程安排。在“強(qiáng)基礎(chǔ)”的人才培養(yǎng)目標(biāo)總要求下，適當(dāng)調(diào)整所有工科必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程是很可行的。大多數(shù)工科專業(yè)都上高等數(shù)學(xué)這門課，通常兩個(gè)學(xué)期學(xué)完。然而當(dāng)前高等數(shù)學(xué)的課時(shí)數(shù)和教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)無(wú)法滿足部分專業(yè)的實(shí)際需求。某些高校已經(jīng)將高等數(shù)學(xué)進(jìn)一步拆分為多門細(xì)分課程，如微積分、偏微分方程、線性代數(shù)、矩陣論等。此外，還應(yīng)打通學(xué)院之間授課壁壘，某些高數(shù)教師專門對(duì)接某幾個(gè)相近學(xué)科的數(shù)學(xué)課程，在課上適當(dāng)拓展這些專業(yè)所需知識(shí)，都能對(duì)后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)起到幫助作用。

在專業(yè)課程方面，對(duì)于這類重要、數(shù)學(xué)要求較高的課程，應(yīng)增加專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。以本門課程為例，應(yīng)在同學(xué)進(jìn)入復(fù)雜理論推導(dǎo)章節(jié)前，適當(dāng)安排1～2節(jié)專業(yè)數(shù)學(xué)內(nèi)容，教會(huì)同學(xué)如何從數(shù)學(xué)思維上理解問(wèn)題，消除畏難情緒，掌握簡(jiǎn)化復(fù)雜公式的能力。在教學(xué)中應(yīng)布置較多工程案例，適當(dāng)弱化較為艱深的抽象理論，更有利于讓學(xué)生掌握“解決工程問(wèn)題能力”。

此外，還要充分利用好線上網(wǎng)絡(luò)資源。利用全國(guó)公共教學(xué)素質(zhì)資源庫(kù)、慕課、網(wǎng)絡(luò)課堂、優(yōu)質(zhì)講課視頻等網(wǎng)絡(luò)資源，通過(guò)視頻、動(dòng)畫等更直觀的方式在課后進(jìn)行輔導(dǎo)和參考，可以輔助同學(xué)克服課程內(nèi)容艱深帶來(lái)的學(xué)習(xí)困難。

結(jié)語(yǔ)

氣體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)作為難度較大的專業(yè)課程，對(duì)學(xué)生和教師都有著較高的要求。作為專業(yè)基礎(chǔ)課，取得好的教學(xué)效果可能需要多方努力。通過(guò)數(shù)學(xué)課程調(diào)整、專業(yè)課程補(bǔ)充及課后網(wǎng)絡(luò)資源運(yùn)用，可以減弱學(xué)生學(xué)習(xí)困難，弱化學(xué)生畏難情緒，提高教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量，更好地完成課程目標(biāo)。

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基金項(xiàng)目：2021年南昌航空大學(xué)校級(jí)教改課題（JY21055）

通訊作者：向鑫（1989—），男，苗族，湖南懷化人，博士，講師，飛行器動(dòng)力工程系副主任，研究方向：葉輪機(jī)械氣體設(shè)計(jì)。