摘要：本文通過三個例子表明比式審斂法或根式審斂法是冪級數(shù)收斂半徑計算的一個充分性條件，但非必要條件，在應用上有很大的局限性.綜合使用比較判別法、逐項求導逐項積分不改變冪級數(shù)的斂散性、上極限計算以及柯西-阿達馬定理等結論，可處理任意冪級數(shù)收斂半徑的計算.

關鍵詞：冪級數(shù)；收斂半徑；上極限

高等數(shù)學作為大學數(shù)學的一門基礎性學科，其有著高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，因此我們要通過對高等數(shù)學的學習，不斷培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維、數(shù)學素養(yǎng)、獨立思考問題和解決問題的能力［1］.

在高等數(shù)學中，有一類結構相對簡單、應用非常廣泛的函數(shù)項級數(shù)——冪級數(shù)［2］.對于冪級數(shù)的研究主要討論其和函數(shù)的分析性質，以及將函數(shù)展成冪級數(shù)的條件和展開式，而本文主要討論求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域問題.在教材和教學活動中，側重于介紹利用各種公式求解冪級數(shù)的收斂半徑.無論是缺項的冪級數(shù)還是不缺項的冪級數(shù)，求收斂半徑的本質主要是基于阿貝爾定理和正項級數(shù)的根式審斂法或者比式審斂法.本文從精選的幾道例題出發(fā)，闡述常用的審斂法的局限性以及對應的解決思路.

1 求冪級數(shù)收斂半徑的主要方法

2 應用舉例

3 問題的延伸

結語

本文探討的幾個冪級數(shù)收斂半徑的計算，是對常規(guī)計算方法（比式審斂法或根式審斂法）的一個有益補充，希望可以幫助工科學生更好地掌握這部分知識，培養(yǎng)同學們數(shù)學思維的嚴謹性，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

參考文獻：

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項目資助：山西省高等學校教學改革創(chuàng)新項目（J20220617，J20230715）；中北大學2023年課程思政專項研究項目

作者簡介：趙東霞（1981—），女，漢族，山西晉城人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論及應用。