圖形變換中的旋轉(zhuǎn)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是中考中的?？碱}型。唯有對(duì)教材中的典型例、習(xí)題進(jìn)行深度思考，才能逐漸走向知識(shí)的本質(zhì)，才能更好地借助數(shù)學(xué)模型快速獲得解題方法，形成有效的解題路徑。

原題呈現(xiàn) ［蘇科版教材七（下）第149頁(yè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室第2題］畫(huà)∠AOB=90°，并畫(huà)∠AOB的平分線(xiàn)OC。

（1）把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB垂直，垂足分別為E、F（如圖1）。度量PE、PF的長(zhǎng)度，這兩條線(xiàn)段相等嗎？

（2）把三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交OA、OB于點(diǎn)E、F（如圖2），PE與PF相等嗎？

回頭再看這個(gè)問(wèn)題，大家會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單。兩個(gè)問(wèn)題中的PE和PF都是相等的，證明過(guò)程也不難。但是，學(xué)好數(shù)學(xué)需要我們不斷探究并深度思考。這不，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組的小明和小王兩名同學(xué)就不滿(mǎn)足于此。他們將等腰直角三角尺的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合（如圖3）。小明通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，PE和PF的長(zhǎng)度不一定相等，但是通過(guò)進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)[PE·PFEF]始終為定值m。若OP=4，你能求出這個(gè)定值m嗎？在解決這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，我們不能離開(kāi)原題中的結(jié)論。

如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PE交OB于點(diǎn)Q，由原題（1）可得PQ=PE。

因?yàn)椤螮PF=∠QPF，所以△EPF≌△QPF。

因?yàn)椤螾OQ=∠FPQ=45°，所以△POQ

∽△FPQ。所以△POQ∽△FPE。所以[POPF]=[PQFE]。

因?yàn)镻Q=PE，所以m=[PE·PFEF]=PO=4。

探究過(guò)程中小王還發(fā)現(xiàn)，若OP=[2]x，EF=y，則當(dāng)且僅當(dāng)PE=PF時(shí)，y有最小值，請(qǐng)你求出這個(gè)最小值（用關(guān)于x的代數(shù)式表示）。

如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H。

因?yàn)镻O=[2]x，所以PH=x。由原題（1）可得四邊形OEPQ的面積為x2。

因?yàn)镋F=FQ=y，所以S四邊形OEPQ=x2=S△PFQ+S四邊形PEOF≤[xy+2xy2]。

所以y≥[2x2x+2x]=（[22]-2）x。

所以，當(dāng)且僅當(dāng)PE=PF時(shí)，OP⊥EF，此時(shí)y最小=（[22]-2）x。

這時(shí)，數(shù)學(xué)王老師在此基礎(chǔ)上又給出了一個(gè)問(wèn)題：

圖5是某兒童玩具的截面圖，底部固定橫板AB=60cm，自由滑塊CD=20cm，C、D兩點(diǎn)始終在以AB為弦的優(yōu)弧ACB上，用橡皮筋連接AD、BC，AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E且∠AEB=45°，求四邊形ABCD面積的最大值。

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H。

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于⊙O，所以△EDC∽△EBA，相似比為[DCAB]=[13]，所以S四邊形ABCD=[89]S△ABE。

因?yàn)锳B=60cm，由上題可得△ABE邊AB上的高EH≤[AB22-2]=[302]+30 ，所以S四邊形ABCD≤[89]×[12]×60×（[302]+30）=[8002]+800。

（作者單位：江蘇省泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）