近幾年，關(guān)于代數(shù)推理的題型成為熱點(diǎn)。這類題型中包含對(duì)有關(guān)推理過(guò)程的判斷、辨析，一般結(jié)合方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)考查。下面，我們結(jié)合具體的例子跟同學(xué)們一起探討。

例1 （2022·福建）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：

設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x=m，

等式兩邊都乘x，得x2=mx。①

等式兩邊都減m2，得x2-m2=mx-m2。②

等式兩邊分別分解因式，得

（x+m）（x-m）=m（x-m）。③

等式兩邊都除以x-m，得x+m=m。④

等式兩邊都減m，得x=0。⑤

所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0。

以上推理過(guò)程中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是 。

【解析】本題是圍繞等式變形展開的，所以掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。等式的基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。這道題目中：①依據(jù)等式的性質(zhì)2；②依據(jù)等式的性質(zhì)1；③考查因式分解；④依據(jù)等式的性質(zhì)2，但是忽略了“除以不為0的數(shù)”，∵x=m，∴x-m=0，因此不符合等式性質(zhì)2；⑤依據(jù)等式的性質(zhì)1。

這道題目以數(shù)學(xué)推理為框架，考查尋找命題證明的錯(cuò)誤步驟，以讓同學(xué)們感受代數(shù)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和必要性。看似新題，但背后隱藏高頻考點(diǎn)。同學(xué)們遇到此類問(wèn)題，審題是關(guān)鍵，當(dāng)然在平時(shí)學(xué)習(xí)中，對(duì)計(jì)算過(guò)程的科學(xué)性和合理性也要有深刻的思考。

例2 （2023·江蘇鹽城）課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題：

已知3a＞b＞0，M=[ab]，N=[a+1b+3]，試比較M與N的大小。

小華：整式的大小比較可采用“作差法”。

老師：比較x2+1與2x-1的大小。

小華：∵（x2+1）-（2x-1）=x2+1-2x+1=（x-1）2+1＞0，

∴x2+1＞2x-1。

老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？

……

（1）請(qǐng)用“作差法”完成老師提出的問(wèn)題。

（2）比較大?。篬2368] [2265]。（填“＞”“=”或“＜”）

【解析】對(duì)于比較大小，由整式的作差到分式作差，這是代數(shù)推理中常見的類比推理。根據(jù)題意，M-N=[ab][-a+1b+3]=[a（b+3）b（b+3）][-b（a+1）b（b+3）]=[ab+3a-ab-bb（b+3）]=[3a-bb（b+3）]?！?a＞b＞0，∴3a-b＞0，b（b+3）＞0。∴[3a-bb（b+3）]＞0?！郙＞N。

在第（2）問(wèn)中，比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。方法一：直接作差，這種方法很明顯計(jì)算量大且容易出錯(cuò)。方法二：借助（1）中的結(jié)論，令a=22，b=65，則M=[2265]，N=[2368]，由（1）中結(jié)論得到[2368]＜[2265]。類似方法二這樣的“代入”法，就是我們常說(shuō)的從一般到特殊的演繹推理。

例3 （2022·江蘇南通）已知實(shí)數(shù)m、n滿足m2+n2=2+mn，則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）的最大值為（ ）。

A.24 B.[443] C.[163] D.-4

【解析】我們先將式子化簡(jiǎn)，（2m-3n）2

+（m+2n）（m-2n）=10-7mn。做到這里，有同學(xué)認(rèn)為可以依據(jù)條件中“m2+n2=2+mn”，且等式左邊≥0，得到等式右邊2+mn≥0，所以mn≥-2，即mn的最小值是

-2。不難發(fā)現(xiàn)，并未出現(xiàn)這個(gè)選項(xiàng)。那么，這個(gè)解法有問(wèn)題嗎？問(wèn)題出現(xiàn)在哪里？我們不妨反過(guò)來(lái)推理，若mn=-2，則m2+n2=0，根據(jù)平方的非負(fù)性，可得m=n=0，顯然與剛才的結(jié)論mn=-2矛盾。

對(duì)上述推理過(guò)程復(fù)盤反思，除了要考慮“m2+n2≥0”，還要想到隱含條件“（m+n）2≥0，（m-n）2≥0”。因此，我們可以得到m2+n2=2+mn≥0，（m+n）2=m2+n2+2mn=2+3mn≥0，（m-n）2=m2+n2-2mn=2-mn≥0，即[-23]≤mn≤2。當(dāng)mn=[-23]時(shí)，最大值為[443]。故選B。

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）