摘" 要：該文通過不同的方法得到了（2+1）-維非線性波方程的不同類型的精確解。首先運(yùn)用同宿測(cè)試法，得到了方程的呼吸解和孤立波解。運(yùn)用三波法，得到了單、雙呼吸解，然后通過參數(shù)極限法，將這兩種解退化得到lump解。其次，在N-孤子解的基礎(chǔ)上，分別添加不同的約束條件，得到了Q-呼吸解和Y-型孤子解。最后，在Y-型孤子解的基礎(chǔ)上增加了約束條件，得到了呼吸解與Y-型孤子解組成的相互作用解。

關(guān)鍵詞：（2+1）-維非線性波方程；lump解；Q-呼吸解；Y-型孤子解；相互作用解

中圖分類號(hào)：O156.7""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.02.005文章編號(hào)：2096-7330（2024）02-0019-11

收稿日期：2023-12-20

基金項(xiàng)目：廣西自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“隨機(jī)微分系統(tǒng)的亞穩(wěn)態(tài)性與離出行為研究”（2023GXNSFAA026290）；廣西科技基地和人才專項(xiàng)項(xiàng)目“北部灣海洋資源開發(fā)中問題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法研究”（桂科AD23023003）

通信作者：崔靜易，中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）碩士研究生，cuijingyi_xx@163.com。

非線性現(xiàn)象廣泛出現(xiàn)在物理、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中。大多數(shù)非線性現(xiàn)象可用非線性偏微分方程（NLPDE）來刻畫，所以對(duì)其精確解的研究也變得十分重要?，F(xiàn)在已有許多求解NLPDE的方法，如Hirota雙線性方法［1］、同宿測(cè)試法［3-4］、三波法［5-6］、參數(shù)極限法［7-8］、參數(shù)復(fù)共軛法［9-10］等。

由這些方法可得到孤子解、lump解、呼吸解等多種類型的精確解。孤子（孤立波）的概念一經(jīng)提出便引起廣泛關(guān)注，學(xué)者們用不同的方法，得到了雙谷暗孤子［11］、W-型孤子［12］、M-型孤子［13］、Y-型孤子［14］等諸多類型的孤子。lump解是一種有理函數(shù)解，圖像呈現(xiàn)出快速衰減的特征。在Hirota雙線性方法的基礎(chǔ)上，通常由參數(shù)極限法或正二次函數(shù)法［15-16］來得到目標(biāo)方程的lump解。呼吸解是一種具有周期現(xiàn)象的局域波。Yuan等［17］運(yùn)用參數(shù)復(fù)共軛技巧，在N-孤子解的基礎(chǔ)上得到了（2+1）-維廣義Konopelchenko-Dubrovsky-Kaup-Kupershmidt（KDKK）方程的T-呼吸解；Ali等［18］用同宿測(cè)試法得到了（2+1）-維Sawada-Kotera（SK）方程的呼吸解。除了上述基礎(chǔ)解，由它們組成的相互作用解也是學(xué)者們關(guān)注的重點(diǎn)。Li［9］和Guo等［19］在N-孤子解的基礎(chǔ)上分別研究了（3+1）維淺水波方程、擴(kuò)展的（3+1）維Jimbo-Miwa（eJM）方程的孤子解、lump解、呼吸解之間的相互作用解；Ma［20］、Zhao等［21］分別研究了（2+1）-維Korteweg-de Vries-Sawada-Kotera-Ramani（KdVSKR）方程、（2+1）-維非對(duì)稱Nizhnik-Novikov-Veselov （aNNV）方程的Y-型孤子解、lump解、呼吸解組成的相互作用解。

本文研究（2+1）-維非線性波方程［22］

（ut+6uux+uxxx）x－uyy+uxxxy+3uxx∫x－

SymboleB@ uydx+6uxuy+3uuxy+uyt－uxy=0。（1）

這是一個(gè)由KP方程和淺水波方程組合得到的非線性波方程，它可用于模擬海洋中非線性波的演化。文獻(xiàn)［22］通過合適的因變量變換得到了方程的Hirota雙線性形式。通過該雙線性形式研究了方程的lump解以及l(fā)ump解與孤子解組成的相互作用解。

目前關(guān)于方程的其他形式的解的研究還比較少，本文旨在通過不同的方法，研究方程的不同類型的精確解。本文第1節(jié)運(yùn)用同宿測(cè)試法研究了方程的呼吸解和孤立波解，并且通過改變參數(shù)k1的值，使得“光滑”的呼吸解出現(xiàn)了奇異現(xiàn)象。第2節(jié)運(yùn)用三波法得到了雙呼吸解和單呼吸解，并運(yùn)用參數(shù)極限法，將其退化為lump解。第3節(jié)用參數(shù)復(fù)共軛技巧將N-孤子解轉(zhuǎn)化為Q-呼吸解。第4節(jié)對(duì)N-孤子解添加約束條件，得到了Y-型孤子解。在最后一節(jié)，我們?cè)赮-型孤子解的基礎(chǔ)上又增加了新的約束條件，由此得到方程的Y-型孤子解與呼吸解之間的相互作用解。

1" 同宿測(cè)試法

由因變量的變換［22］

u=2［lnf（x，y，t）］xx，（2）

可得如下的Hirota雙線性形式：

（DxDt+D4x－D2y+DyDt+D3xDy－DxDy）f·f=0。（3）

根據(jù)同宿測(cè)試法的思想［3-4］，將輔助函數(shù)f（x，y，t）設(shè)為

f（x，y，t）=exp（－φ1）+k2cos（φ2）+k1exp（φ1），（4）

其中φi=ai（x+biy+cit），ai，bi，ci（i=1，2）為待定參數(shù)。將（4）代入（3），得到關(guān)于ai，bi，ci，ki（i=1，2）的方程組為

k2［（b1+1）a41+a21（3a22（－b1－b2－2）－（b1+1）（b1－c1））+a22（b2+1）（a22+b2－c2）］=0，

k2［a21（3b1+b2+4）－a22（3b2+b1+4）+b1（－2b2+c2－1）+b2（c2－1）+c1+c2］=0，

a22k22（b2+1）（4a22+b2－c2）+4a21k1（b1+1）（4a21－b1+c1）=0。（5）

求解（5），可得如下幾組解。

第一組解：

b1=－a22k22（b2+1）+4a21k14a21k1，" c1=－a22k22（b2+1）+4a21k1（a21－3a22+1）4a21k1，

c2=－3a21+a22+b2。（6）

將（6）代入（2），得到方程（1）的呼吸解

u1=2a21exp（－φ1）－k2a22cos（φ2）+k1a21exp（φ1）exp（－φ1）+k2cos（φ2）+k1exp（φ1）-

2－a1exp（－φ1）－k2a2sin（φ2）+k1a1exp（φ1）2［exp（－φ1）+k2cos（φ2）+k1exp（φ1）］2，（7）

其中

φ1=a1x－a22k22（b2+1）+4a21k14a21k1y－a22k22（b2+1）+4a21k1（a21－3a22+1）4a21k1t，

φ2=a2（x+b2y+（－3a21+a22+b2）t）。

若k1＞0，則式（7）可化為

u1=22a21k1cosh（φ1+12ln（k1））－k2a22cos（φ2）2k1cosh（φ1+12ln（k1））+k2cos（φ2）－

22a1k1sinh（φ1+12ln（k1））－k2a2sin（φ2）2［2k1cosh（φ1+12ln（k1））+k2cos（φ2）］2，（8）

若k1＜0，則式（7）可化為

u1=22a21－k1sinh（φ1+12ln（－k1））－k2a22cos（φ2）2－k1sinh（φ1+12ln（－k1））+k2cos（φ2）－

22a1－k1cosh（φ1+12ln（－k1））－k2a2sin（φ2）2［2－k1sinh（φ1+12ln（－k1））+k2cos（φ2）］2，

第二組解：

b1=4a21+c1，k2=0。（10）

將（10）代入（2），得到方程的孤立波解

u2=8a21k1exp（2φ1）（1+k1exp（2φ1））2，（11）

其中φ1=a1［x+（4a12+c1）y+c1t）。

取a1=1，a2=0.5，b2=2，k1=1，k2=－1，t=0，呼吸解u1的可視化圖形如圖1（a）所示。若參數(shù)k1＜0，則解u1則會(huì)由光滑的解變?yōu)槠娈惖慕?，如圖1（b）所示（k1=－0.5）。

（a） 呼吸解（b） 奇異解

圖1" 方程（1）的呼吸解和奇異解

2" 三波法

根據(jù)三波法的思想［5］，設(shè)輔助函數(shù)f（x，y，t）為

f（x，y，t）=k1cosh（η1）+k2cos（η2）+k3cosh（η3），（12）

其中ηi=ai（x+biy+cit），ai，bi，ci，ki（i=1，2，3）為待定參數(shù)。將（12）代入（3），得到關(guān)于ai，bi，ci，ki（i=1，2，3）的方程組為

k1k3［a41（b1+1）+a21（3a23（b1+b3+2）+（b1+1）（c1－b1））+

a23（b3+1）（a23－b3+c3）］=0，k1k2［a41（b1+1）+a21（－3a22（b1+b2+2）+（b1+1）（c1－b1））+

a22（b2+1）（a22+b2－c2）］=0，

k2k3［－a42（b2+1）+a22（3a23（b2+b3+2）+（b2+1）（c2－b2））－

a23（b3+1）（a23－b3+c3）］=0，

－a1a3k1k3［a21（3b1+b3+4）+a23（b1+3b3+4）+b1（c3－2b3－1）+

b3（c1+1）+c1+c3］=0，

a1a2k1k2［a21（3b1+b2+4）－a22（b1+3b2+4）+b1（c2－2b2－1）+

b2（c1－1）+c1+c2］=0，

a2a3k2k3［－a22（3b2+b3+4）+a23（b2+3b3+4）+b2（c3－2b3－1）+

b3（c2－1）+c2+c3］=0，

k21a22（b1+1）（4a21－b1+c1）+a22k22（b2+1）（4a22+b2－c2）+

k23a23（b3+1）（4a23－b3+c3）=0。（13）

求解（13），得到以下幾組解。

第一組解：

a3=a1，b1=－b3－2，b2=－1，c1=－a21+3a22－b3－2，c2=－3a21+a22－1，

c3=－a21+3a22+b3，k1=k3.（14）

將（14）代入（12）和（2），得到方程（1）的雙呼吸解

u1=2a21k3cosh（η1）－a22k2cos（η2）+a21k3cosh（η3）k3cosh（η1）+k2cos（η2）+k3cosh（η3）－

2［a1k3sinh（η1）－a2k2sin（η2）+a1k3sinh（η3）］2［k3cosh（η1）+k2cos（η2）+k3cosh（η3）］2，（15）

其中

η1=a1［x－（b3+2）y－（a21－3a22+b3+2）t］，

η2=a2［x－y－（3a21+a22+1）t］，

η3=a1［x+b3y－（a21－3a22－b3）t］。（16）

考慮運(yùn)用參數(shù)極限法構(gòu)造lump解，即k1，k2，k3需要滿足［9］

lima1→0（k1+k2+k3）=0.（17）

令a2=na1，k1=k3=cos（ima1），k2=－2cosh（ila1），其中n，l和m均為任意常數(shù)，并取a1→0，則（15）退化為

u1∧=8（1+n2）θ21+2n2θ22+θ23+2m2+2l2－8（θ1+n2θ2+θ3）2（θ21+2n2θ22+θ23+2m2+2l2）2，（18）

其中

θ1=x－（b3+2）y－（b3+2）t，" θ2=x－y－t，" θ3=x+b3y－b3t。（19）

第二組解：

b1=－a21k21+a22k22（b2+1）a21k21，

c1=－a21k21（a21－3a22+1）+a22k22（b2+1）a21k21，

c2=－3a21+a22+b2，" k3=0。（20）

將（20）代入（12）和（2），便得到方程（1）的單呼吸解

u2=2a21k1cosh（η1）－a22k2cos（η2）k1cosh（η1）+k2cos（η2）－2［a1k1sinh（η1）－a2k2sin（η2）］2［k1cosh（η1）+k2cos（η2）］2，（21）

其中

η1=a1（x－a21k21+a22k22（b2+1）a21k21y－a21k21（a21－3a22+1）+a22k22（b2+1）a21k21t），η2=a2［x+b2y－（3a21－a22－b2）t］。（22）

同樣地，令a2=na1，k1=cos（iωa1），k2=－cosh（isa1），其中n，ω和s均為任意常數(shù)，并取a1→0，則（21）退化為如下的lump解：

u2∧=4（1+n2）θ21+n2θ22+s2+ω2－8（θ1+n2θ2）2（θ21+n2θ22+s2+ω2）2，（23）

其中

θ1=x－［1+n2（b2+1）］y－［1+n2（b2+1）］t， θ2=x+b2y+b2t。

解（21）和解（23）的圖像分別如圖2（a）和（b）所示。比較圖1（a）和（b），我們發(fā)現(xiàn)，lump波展現(xiàn)出比呼吸波更為局域的特征。而且，當(dāng)呼吸波的周期（2πa2）趨于無窮時(shí)，呼吸解可以看作lump解。

（a） b2=2，b3=－1.5，a1=0.5，a2=1，（b） b2=1，n=0.5，s=－1，ω=1，t=0

a3=－2，k1=0.7，k2=0.3，c3=－1，t=0

圖2" 方程（1）的單呼吸解和lump解

3" Q-呼吸解

為了得到N-孤子解，我們令

f（x，y，t）=∑μi=0，1exp（∑Ni=1μiφi+∑N1≤i＜jAijμiμj），（25）

其中φi=ai（x+biy+cit）+di，ai，bi，di為任意常數(shù)。將（25）代入（2），有

ci=－a2i+bi，（26）

exp（Aij）=（ai－aj）（aibi－ajbj）+（ai－aj）2（ai+aj）（aibi+ajbj）+（ai+aj）2＞0。（27）

將（25）～（27）代入（2）且N取不同的正整數(shù)時(shí)，就得到了（2+1）-維非線性波方程的N-孤子解。

考慮采用參數(shù)復(fù)共軛技術(shù)，將N-孤子解轉(zhuǎn)換為Q-呼吸解，即參數(shù)滿足

a2q－1=a*2q=a2q－1，1+ia2q－1，2，

b2q－1=b*2q=b2q－1，1+ib2q－1，2，

d2q－1=d*2q=0，" q=1，2，…，Q，（28）

其中a2q－1，1，a2q－1，2，b2q－1，1，b2q－1，2為任意實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，Q=N/2。

將（28）代入（25）和（26），得

φ2q－1=φ*2q=φ2q－1，1+iφ2q－1，2，

φ2q－1，1=a2q－1，1x+（a2q－1，1b2q－1，1－a2q－1，2b2q－1，2）y+

（－a32q－1，1+a2q－1，1b2q－1，1－a2q－1，2b2q－1，2+3a2q－1，1a22q－1，2）t，φ2q－1，2=a2q－1，2x+（a2q－1，1b2q－1，2+a2q－1，2b2q－1，1）y+

（a32q－1，2+a2q－1，1b2q－1，2+a2q－1，2b2q－1，1－3a22q－1，1a2q－1，2）t。（29）

情形一" Q=1（N=2）

此時(shí)式（25）變?yōu)?/p>

f1=1+2exp（φ1，1）cos（φ1，2）+exp（A12）exp（2φ1，1）。（30）

將（30）代入（2），得到方程的1-呼吸解

u1=4（a21，1－a21，2）exp（φ1，1）cos（φ1，2）+2a1，1a1，2exp（φ1，1）sin（φ1，2）+2a21，1exp（A12）exp（2φ1，1）1+2exp（φ1，1）cos（φ1，2）+exp（A12）exp（2φ1，1），-

8［a1，1exp（φ1，1）cos（φ1，2）+2a1，2exp（φ1，1）sin（φ1，2）+2a1，1exp（A12）exp（2φ1，1）］2（1+2exp（φ1，1）cos（φ1，2）+exp（A12）exp（2φ1，1））2=

2（a21，1－a21，2）cos（φ1，2）+2a1，1a1，2sin（φ1，2）+2a21，1exp（A12）exp（φ1，1）exp（A12）cosh（φ1，1+12ln（exp（A12））+cos（φ1，2）-

2［a1，1cos（φ1，2）+2a1，2sin（φ1，2）+2a1，1exp（A12）exp（φ1，1）］2［exp（A12）cosh（φ1，1+12ln（exp（A12））+cos（φ1，2）］2，（31）

其中

φ1，1=a1，1x+（a1，1b1，1－a1，2b1，2）y+（－a31，1+a1，1b1，1－a1，2b1，2+3a1，1a21，2）t，

φ1，2=a1，2x+（a1，1b1，2+a1，2b1，1）y+（a31，2+a1，1b1，2+a1，2b1，1－3a21，1a1，2）t，

exp（A12）=a1，1a1，2b1，2+a21，2b1，1－a21，2a21，1b1，1－a1，1a1，2b1，1+a21，1＞0。

情形二" Q=2（N=4）

此時(shí)式（25）變?yōu)?/p>

f2=1+2exp（φ1，1）cos（φ1，2）+exp（A12）exp（2φ1，1）+2exp（φ3，1）cos（φ3，2）+

exp（A13）exp（φ1，1+φ3，1）［cos（φ1，2+φ3，2）+isin（φ1，2+φ3，2）］+

exp（A14）exp（φ1，1+φ3，1）［cos（φ1，2－φ3，2）+

isin（φ1，2－φ3，2）］+exp（A23）exp（φ1，1+φ3，1）［cos（φ3，2－φ1，2）+isin（φ3，2－φ1，2）］+

exp（A24）exp（φ1，1+φ3，1）［cos（φ1，2+φ3，2）－isin（φ1，2+φ3，2）］+exp（A34）exp（2φ3，1）+

exp（A12+A13+A23）exp（2φ1，1+φ3，1）［cos（φ3，2）+isin（φ3，2）］+exp（A34）exp（2φ3，1）+

exp（A12+A14+A24）exp（2φ1，1+φ3，1）［cos（φ3，2）－isin（φ3，2）］+exp（A13+A14+

K34）exp（φ1，1+2φ3，1）［cos（φ1，2）+isin（φ1，2）］+exp（A23+A24+A34）exp（φ1，1

+2φ3，1）［cos（φ1，2）－isin（φ1，2）］+exp（A12+A13+A14+A23+A24+A34）exp［2（φ1，1+φ3，1）］，（32）

其中

φi，1=ai，1x+（ai，1bi，1－ai，2bi，2）y+（－a3i，1+ai，1bi，1－ai，2bi，2+3ai，1a2i，2）t，

φi，2=ai，2x+（ai，1bi，2+ai，2bi，1）y+（a3i，2+ai，1bi，2+ai，2bi，1－3a2i，1ai，2）t，

exp（Am，n）=（am－an）（ambm－anbn）+（am－an）2（am+an）（ambm+anbn）+（am+an）2，" i=1，3，m，n=1，2，3，4，m＜n。

將（32）代入（2），就得到了方程（1）的2-呼吸解u2。取a1，1=0.6，a1，2=1.1，a3，1=1，a3，2=1.4，b1，1=0.5，b1，2=1.4，b3，1=1.6，b1，2=1，u2隨時(shí)間的變化情況如圖3所示。

（a） t=-3（b） t=0（c） t=3

圖3" 方程（1）的2-呼吸解隨時(shí)間的演化過程

截至目前，本文已經(jīng)提到了3種得到呼吸解的方法。對(duì)比這幾種呼吸解，式（8）、（9）、（21）都是由一個(gè)雙曲函數(shù)和周期函數(shù)組成，它們都是單呼吸解，且（8）和（21）的解的形式完全相同，（9）這種形式的解是一種具有奇異現(xiàn)象的呼吸解。式（15）比（8）、（9）、（21）多了一個(gè)雙曲函數(shù)，因此稱它為雙呼吸解。對(duì)比這三種方法，對(duì)比這三種方法，三波法可以看作同宿測(cè)試法的擴(kuò)展，三波法去掉了產(chǎn)生奇異現(xiàn)象的、性質(zhì)不穩(wěn)定的呼吸解，只保留性質(zhì)穩(wěn)定的呼吸解，且解（31）是三波法特有的“雙呼吸解”。對(duì)N-孤子解進(jìn)行約束得到的呼吸解可以是更為高階的呼吸解（隨著N的增加），三波法和同宿測(cè)試法只能得到低階的呼吸解。

4" Y-型孤子解

為了得到方程（1）的Y-型孤子解，我們考慮對(duì)N-孤子解添加一些限制條件，即

N=M+L，exp（Aij）=0bj=aibi+ai－ajaj，1≤i＜j≤M，M＜i＜j≤L，（33）

其中aj≠0。此時(shí)，就得到了方程（1）的M-Y-型孤子解與L-Y-型孤子解的相互作用解。

情形一" N=2

根據(jù)（25）～（27）以及限制條件（33），我們得到2-Y-型孤子解

u2=2［ln f2（x，y，t）］xx=2［ln（1+exp（φ1）+exp（φ2））］xx=

2a21exp（φ1）+a22exp（φ2）1+exp（φ1）+exp（φ2）－2［a1exp（φ1）+a2exp（φ2）］2［1+exp（φ1）+exp（φ2）］2，（34）

其中

φ1=a1（x+b1y+（－a21+b1）t）+d1，

φ2=a2（x+a1b1+a1－a2a2y+（－a32－a2+a1b1+a1a2）t）+d2。

取a1=0.7，a2=－1，b1=1，d1=d2=0，t=5，圖4（a）展示了2-Y-型孤子解的立體圖和平面圖。從圖中我們可以明顯看出，它的形狀像英文字母Y，故稱其為Y-型孤子解。

情形二" N=3

根據(jù)限制條件（33），此時(shí)式（25）變?yōu)?/p>

f3=1+exp（φ1）+exp（φ2）+exp（φ3），（35）

將（35）代入（2），得到的3-Y-型孤子解為

u3=2a21exp（φ1）+a22exp（φ2）+a23exp（φ3）1+exp（φ1）+exp（φ2）+exp（φ3）－2［a1exp（φ1）+a2exp（φ2）+a3exp（φ3）］2［1+exp（φ1）+exp（φ2）+exp（φ3）］2，（36）

其中

φ1=a1［x+b1y+（－a21+b1）t］+d1，

φ2=a2［x+a1b1+a1－a2a2y+（－a22+a1b1+a1－a2a2）t］+d2，

φ3=a3［x+a1b1+a1－a3a3y+（－a23+a1b1+a1－a3a3）t］+d3。

取a1=1.2，a2=2，a3=0.5，b1=0.3，t=5，d1=d2=d3=0，3-Y-型孤子的圖像如圖4（b）所示。從圖中可以看出，它可以看作兩個(gè)特殊的Y-型孤子相互作用形成的。

（a） 2-Y-型孤子解（b） 3-Y-型孤子解

圖4" 方程（1）的2-Y-型孤子解和3-Y-型孤子解

情形三" N=4

此時(shí)式（25）變?yōu)?/p>

f4=1+exp（φ1）+exp（φ2）+exp（φ3）+exp（φ4）+exp（φ1+φ3）exp（A13）+

exp（φ1+φ4）exp（A14）+exp（φ2+φ3）exp（A23）+exp（φ2+φ4）exp（A24），（37）

其中

φi=ai［x+biy+（－a2i+bi）t］+di， i=1，2，

φ3=a3［x+a1b1+a1－a3a3y+（－a23+a1b1+a1－a3a3）t］+d3，

φ4=a4［x+a2b2+a2－a4a4y+（－a24+a2b2+a2－a4a4）t］+d4，

exp（A13）=（a1－a3）（a1b1－a3b3）+（a1－a3）2（a1+a3）（a1b1+a3b3）+（a1+a3）2，

exp（A23）=（a2－a3）（a1b1－a3b3+a1－a2）+（a2－a3）2（a2+a3）（a1b1+a3b3+a1－a2）+（a2+a3）2，

exp（A14）=（a1－a4）（a1b1－a3b3－a3+a4）+（a1－a4）2（a1+a4）（a1b1+a3b3+a3－a4）+（a1+a4）2，

exp（A24）=（a2－a4）（a1b1－a3b3+a1－a2－a3+a4）+（a2－a4）2（a2+a4）（a1b1+a3b3+a1－a2+a3－a4）+（a2+a4）2。

將（37）代入（2），便得到方程（1）的2-Y-型孤子解與2-Y-型孤子解組成的相互作用解，也稱雙2-Y-型孤子解。令a1=1.4，a2=2，a3=0.5，a4=1，b1=0.3，b3=0.7，d1=d2=d3=d4=0，2-Y-型孤子解與2-Y-型孤子解組成的相互作用解隨時(shí)間的演化情況如圖5所示，從中可見，兩個(gè)開口方向相同的Y-型孤子隨著時(shí)間的推移沿著相反的方向移動(dòng)，其形狀在碰撞前后未發(fā)生改變。以圖5（c）為基準(zhǔn)，只改變參數(shù)a3，a4，b3的值（即只改變其中一個(gè)Y-型孤子的參數(shù)），便可改變Y-型孤子的開口的方向和寬度。例如取b3=－0.4時(shí)得到的雙2-Y-型孤子解的圖像如圖6（a）所示——與圖5（c）相比，其中一個(gè)Y-型孤子的開口寬度變窄；取a3=－0.5，a4=－1，b3=－0.4時(shí)的圖像如圖6（b）所示——與圖5（c）相比，其開口方向相反且開口寬度變窄；取a3=－0.5，a4=－1，b3=0.7時(shí)的圖像如圖6（c）所示——與圖5（c）相比，其開口方向發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。

（a） t=-3（b） t=0（c） t=3

（a） a3=0.5，a4=1，b3=-0.4（b）a3=-0.5，a4=-1，b3=-0.4（c） a3=-0.5，a4=-1，b3=0.7

5" M-Y-型孤子解與Q-呼吸解組成的相互作用解

為了構(gòu)造M-Y-型孤子解與Q-呼吸解組成的相互作用解，我們對(duì)式（33）添加如下的約束條件

N=M+2Q，" exp（Aij）=0，" φM+2q－1=φ*M+2q，" 1≤i＜j≤M，" 1≤q≤Q，（38）

其中*表示共軛復(fù)數(shù)。

情形一" N=4（M=2，Q=1）

此時(shí)式（25）變?yōu)?/p>

f4=1+exp（φ1）+exp（φ2）+2cos（φ3，2）exp（φ3，1）+

cos（φ3，2）exp（φ1+φ3，1）［exp（A13）+exp（A14）］+

cos（φ3，2）exp（φ2+φ3，1）［exp（A23）+exp（A24）］+

isin（φ3，2）exp（φ1+φ3，1）［exp（A13）－exp（A14）］+

isin（φ3，2）exp（φ2+φ3，1）［exp（A23）－exp（A24）］+exp（2φ3，1）exp（A34）+

exp（φ1+2φ3，1）exp（A13+A14+A34）+exp（φ2+2φ3，1）exp（A23+A24+A34），（39）

其中

φ1=a1（x+b1y+（－a21+b1）t）+d1，

φ2=a2（x+a1b1+a1－a2a2y+（－a32－a2+a1b1+a1a2）t）+d2，

φ3，1=a3，1x+（a3，1b3，1－a3，2b3，2）y+（－a33，1+a3，1b3，1－a3，2b3，2+3a3，1a23，2）t，

φ3，2=a3，2x+（a3，1b3，2+a3，2b3，1）y+（a33，2+a3，1b3，2+a3，2b3，1－3a23，1a3，2）t，

b2=a1b1+a1－a2a2，a3=a*4=a3，1+ia3，2，" b3=b*4=b3，1+ib3，2，

exp（Am，n）=（am－an）（ambm－anbn）+（am－an）2（am+an）（ambm+anbn）+（am+an）2，" m=1，2，3; n=3，4; m＜n。

將（39）代入（2），便得到方程（1）的2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解。令a1=0.8，a2=1.2，a3，1=0.5，a3，2=1，b1=0.3，b3，1=0.7，b3，2=1.6，d1=d2=0，得到了2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解隨時(shí)間的演化情況，如圖7所示。很明顯，這也是彈性碰撞且呼吸解隨時(shí)間演化的速度明顯慢于2-Y-型孤子解。

（a） t=-15（b） t=0（c） t=15

圖7" 方程（1）的2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解隨時(shí)間的演化過程

情形二" N=6

當(dāng)N=6時(shí)，有兩種情況：第一種情況為M=4，Q=1，即雙2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解；第二種情況為M=2，Q=2，即2-Y-型孤子解與2-呼吸解組成的相互作用解。下面即分這兩種情況討論。

（1） M=4， Q=1

此時(shí)輔助函數(shù)f為

f6=1+exp（φ1）+exp（φ2）+exp（φ3）+exp（φ4）+exp（A13）exp（φ1+φ2）+exp（A14）exp（φ1+φ4）+

exp（A23）exp（φ2+φ3）+exp（A24）exp（φ2+φ4）+exp（A56）exp（2φ5，1）+

exp（A15+A16+A56）exp（2φ5，1+φ1）+exp（A25+A26+A56）exp（2φ5，1+φ2）+

exp（A35+A36+A56）exp（2φ5，1+φ3）+exp（A45+A46+A56）exp（2φ5，1+φ4）+

exp（A13+A15+A16+A35+A36+A56）exp（2φ5，1+φ1+φ3）+exp（A14+A15+A16+

A45+A46+A56）exp（2φ5，1+φ1+φ4）+exp（A23+A25+A26+A35+A36+

A56）exp（2φ5，1+φ2+φ3）+exp（A24+A25+A26+A45+A46+A56）exp（2φ5，1+φ2+φ4）+

2cos（φ5，2）exp（φ5，1）+cos（φ5，2）exp（φ1+φ5，1）exp（A15+A16）+cos（φ5，2）exp（φ2+

φ5，1）［exp（A25）+exp（A26）］+isin（φ5，2）exp（φ1+φ5，1）［exp（A15）－exp（A16）］+

isin（φ5，2）exp（φ2+φ5，1）［exp（A25）-exp（A26）］+cos（φ5，2）exp（φ3+φ5，1）［exp（A35）+

exp（A36）］+isin（φ5，2）exp（φ3+φ5，1）［exp（A35）-exp（A36）］+cos（φ5，2）exp（φ4+

φ5，1）［exp（A45）+exp（A46）］+isin（φ5，2）exp（φ4+φ5，1）［exp（A45）-exp（A46）］+

cos（φ5，2）exp（φ1+φ3+φ5，1）［exp（A13+A15+A35）+exp（A13+A16+A36）］+

isin（φ5，2）exp（φ1+φ3+φ5，1）［exp（A13+A15+A35）－exp（A13+A16+A36）］+

cos（φ5，2）exp（φ1+φ4+φ5，1）［exp（A14+A15+A45）+exp（A14+A16+A46）］+

isin（φ5，2）exp（φ1+φ4+φ5，1）［exp（A14+A15+A45）－exp（A14+A16+A46）］+

cos（φ5，2）exp（φ2+φ3+φ5，1）［exp（A23+A25+A35）+exp（A23+A26+A36）］+

isin（φ5，2）exp（φ2+φ3+φ5，1）［exp（A23+A25+A35）－exp（A23+A26+A36）］+

cos（φ5，2）exp（φ2+φ4+φ5，1）［exp（A24+A25+A45）+exp（A24+A26+A46）］+

isin（φ5，2）exp（φ2+φ4+φ5，1）［exp（A24+A25+A45）－exp（A24+A26+A46）］，（40）

其中

φi=ai［x+biy+（－a2i+bi）t］+di，i=1，2，

φ3=a3［x+a1b1+a1－a3a3y+（－a23+a1b1+a1－a3a3）t］+d3.

φ4=a4［x+a2b2+a2－a4a4y+（－a24+a2b2+a2－a4a4）t］+d4，

φ5，1=a5，1x+（a5，1b5，1－a5，2b5，2）y+（－a35，1+a5，1b5，1－a5，2b5，2+3a5，1a25，2）t，

φ5，2=a5，2x+（a5，1b5，2+a5，2b5，1）y+（a35，2+a5，1b5，2+a5，2b5，1－3a25，1a5，2）t，

b2=a1b1+a1－a2a2，b4=a3b3+a3－a4a4，a5=a*6=a5，1+ia5，2，b5=b*6=b5，1+ib5，2，

exp（Am，n）=（am－an）（ambm－anbn）+（am－an）2（am+an）（ambm+anbn）+（am+an）2。

將（40）代入（2），得到方程（1）的雙2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解。取

a1=1.4，a2=2，a3=－0.5，a4=－1，a5，1=1，a5，2=1.4，b1=0.3，

b3=0.7，b5，1=1.6，b5，2=1，d1=d2=d3=d4=0，

雙2-Y-型孤子解與1-呼吸解組成的相互作用解的彈性碰撞過程如圖8所示。

（2） M=2， Q=2

將（38）代入（25）和（2），即可得到方程（1）的2-Y-型孤子解與2-呼吸解組成的相互作用解。由于公式過長，就不再給出具體的表達(dá)式。取

a1=1.4，a2=2，a3，1=0.6，a32=1.1，a5，1=1，a5，2=1.4，

b1=1.2，b31=0.5，b3，2=1.4，b5，1=1.6，b5，2=1，d1=d2=0，

2-Y-型孤子解與2-呼吸解組成的相互作用解隨時(shí)間的演化過程如圖9所示。顯而易見，該過程也是彈性碰撞。

7" 結(jié)論

本文研究了（2+1）-維非線性波方程的多種精確解，包括呼吸解、孤立波解、lump解、Q-呼吸解、Y-型孤子解、呼吸解與Y-型孤子解組成的相互作用解。首先運(yùn)用同宿測(cè)試法，得到了方程的呼吸解和孤立波解。并且發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k1＜0時(shí)呼吸解會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象（如圖1所示）。然后運(yùn)用三波法，得到了單、雙呼吸解；并且采用參數(shù)極限法，將這兩種解退化為了lump解。以單呼吸解為例，給出了其三維立體圖以及退化后的lump解的圖示（如圖2所示）。其次，在N-孤子解的基礎(chǔ)上，添加了不同的約束條件，分別得到了Q-呼吸解（如圖3所示）和Y-型孤子解（如圖4～6所示）。最后，在Y-型孤子解的基礎(chǔ)上得到了呼吸解與Y-型孤子解的相互作用解。展示了2-Y-型孤子解與1-呼吸解、雙2-Y-型孤子解與1-呼吸解、2-Y-型孤子解與2-呼吸解組成的相互作用解隨時(shí)間的彈性碰撞過程（如圖7～9所示）。本文豐富了（2+1）-維非線性波方程的精確解的類型，且本文所采用的方法也適用于其他非線性偏微分方程。

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［責(zé)任編輯：彭喻振］