摘" 要：設(shè)G是單位包映射，如果環(huán)R中的每個(gè)元素都可表為一個(gè)G-冪等元與一個(gè)單位之和，則稱(chēng)R是G-clean環(huán)；特別地，若其中的G-冪等元與單位還可交換，則稱(chēng)R是強(qiáng)G-clean環(huán)。該文給出了G-clean環(huán)和強(qiáng)G-clean環(huán)的基本性質(zhì)，并給出了當(dāng)G保持有限直積時(shí)交換環(huán)成為G-clean環(huán)的一個(gè)充分必要條件。

關(guān)鍵詞：G-冪等元;G-clean環(huán);強(qiáng)G-clean環(huán);clean環(huán);擬clean環(huán)

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.7""""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.02.003文章編號(hào)：2096-7330（2024）02-0011-05

收稿日期：2023-10-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“布爾網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖結(jié)構(gòu)及不動(dòng)點(diǎn)研究”（11961050）；“環(huán)的加性圖與環(huán)的nil-clean性的幾個(gè)公開(kāi)問(wèn)題的研究”（12261001）

通信作者：陳曉珊，南寧師范大學(xué)碩士研究生，cxs4600@163.com。

1" 研究背景和預(yù)備知識(shí)

本文中的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán)。用J（R）、Id（R）、U（R）和UC（R）依次表示R的Jacobson根、冪等元的全體、單位群和中心單位的全體，用CR（a）表示R中元素a的中心化子。

如果環(huán)R的每個(gè)元素都可表為一個(gè)冪等元與一個(gè)單位之和，則稱(chēng)R為clean環(huán)。1977年Nicholson［1］在研究exchange環(huán)時(shí)引入了clean環(huán)，并證明了clean環(huán)都是exchange環(huán)，并且在A(yíng)bel環(huán)的范圍內(nèi)，clean環(huán)與exchange環(huán)是等價(jià)的。1994年Camillo等［2］證明了環(huán)R是clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J（R）是clean環(huán)且其冪等元都可提升，并證明了在2是單位的clean環(huán)中，每個(gè)元素都是一個(gè)單位與一個(gè)對(duì)合元之和。1999年Nicholson［3］定義了強(qiáng)clean環(huán)，即環(huán)的每個(gè)元素都可表為一個(gè)冪等元與一個(gè)單位之和且兩者可交換，證明了左R-模M的自同態(tài)環(huán)EndR（M）是強(qiáng)clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)M滿(mǎn)足廣義Fitting引理。此后關(guān)于環(huán)的clean性和強(qiáng)clean性的研究成為環(huán)論研究的一個(gè)熱門(mén)課題。例如Han等［4］證明了環(huán)R是clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)存在R的理想IJ（R），使得R/I是clean環(huán)且其冪等元都可提升;Anderson等［5］給出了交換不可分環(huán)的clean性的刻畫(huà);Zhou等［6］舉例說(shuō)明了強(qiáng)clean環(huán)上的全矩陣環(huán)未必是強(qiáng)clean環(huán)。

clean環(huán)有許多推廣和變形。如果環(huán)R中的每個(gè)元素都可表為一個(gè)周期元與一個(gè)單位之和，則稱(chēng)R為半clean環(huán)［7］。如果環(huán)R中的每個(gè)元素都可表為一個(gè)單位與一個(gè)冪等元之和或之差，則稱(chēng)該環(huán)為弱clean環(huán)。Ahn等［8］證明了不可分的弱clean環(huán)要么是局部環(huán)，要么是僅有兩個(gè)極大理想且2是單位的不可分環(huán)［8］。

唐高華等［9］定義了擬冪等元，如果存在k∈UC（R）使得a2=ka，則稱(chēng)環(huán)R的元素a為擬冪等元。用擬冪等元代替clean環(huán)中的冪等元，便得到擬clean環(huán)的概念，其是clean環(huán)、弱clean環(huán)、半clean環(huán)的推廣。唐高華等［10］通過(guò)單位包映射引入并研究了nil G-clean環(huán)。本文將通過(guò)單位包映射引入并研究G-clean環(huán)和強(qiáng)G-clean環(huán)。

定義1.1（［10，Definition 2.1］）" 一個(gè)單位包映射（unit-picker）G是一個(gè)從環(huán)范疇到集合范疇的映射，它將每個(gè)環(huán)R變?yōu)閁C（R）的一個(gè)子集G（R），使得G（R）在環(huán)同構(gòu)下保持不變，且滿(mǎn)足下列條件：

（1） 1R∈G（R），且當(dāng)g∈G（R）時(shí)有g(shù)-1∈G（R）。

（2） 對(duì)R的任意理想I，都有a+I∈G（R/I），a∈G（R）。

（3） 對(duì)R的任意冪等元e，有e G（R）G（eRe）。

（4） 對(duì)任意正整數(shù)n，有G（Mn（R））G（Mn（C（R）））。

例1.2（［10，Example 2.2］）" 下列映射G=G1，G±1，Gn1，G

SymboleB@ 1，Gn

SymboleB@ 1和Gf都是單位包映射：

（1） G1（R）={1}。

（2） G±1（R）={1，-1}.

（3） Gn1（R）={g∈UC（R）：gn=1}，其中n是正整數(shù)。

（4） G

SymboleB@ 1（R）={g∈UC（R）：存在k≥1，有g(shù)k=1}。

（5）" Gn

SymboleB@ 1（R）={g∈UC（R）：存在k≥1，有g(shù)nk=1}，其中n是正整數(shù)。

（6） Gf（R）=UC（R）。

數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)2024年陳曉珊，等/G-clean環(huán)和強(qiáng)G-clean環(huán)第2期

2024年""""""" 南 寧 師 范 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)（自 然 科 學(xué) 版）""""""""""""" 第41卷

定義1.3［10］" 環(huán)R的元素a稱(chēng)為G-冪等元，如果存在k∈G（R）使得a2=ka，這等價(jià)于存在h∈G（R）使得ha是冪等元。

用G-冪等元代替clean環(huán)和強(qiáng)clean環(huán)定義中的冪等元，便得到G-clean環(huán)和強(qiáng)G-clean環(huán)的概念。

定義1.4" 環(huán)R的元素a稱(chēng)為（強(qiáng)）G-clean元，如果存在（可交換的）G-冪等元e和單位u使得a=e+u。稱(chēng)環(huán)R為（強(qiáng)）G-clean環(huán)，如果R的每個(gè)元素都是（強(qiáng)）G-clean元。

當(dāng)G依次取為G1，G±1，G

SymboleB@ 1，和Gf時(shí)，對(duì)應(yīng)的G-clean環(huán)依次為clean環(huán)，弱clean環(huán)，半clean環(huán)和擬clean環(huán)。

2" 主要結(jié)果

設(shè)I是環(huán)R的理想，a+I是R/I中的一個(gè)G-冪等元，若存在R中的G-冪等元e使得a-e∈I，則稱(chēng)a+I可提升。

引理2.1" 設(shè)R是（強(qiáng)）G-clean環(huán)，則對(duì)R的每個(gè)理想I，R/I也是（強(qiáng)）G-clean環(huán)。

證明" 每個(gè)a∈R都有（強(qiáng)）G-clean分解a=ke+u（且eu=ue），其中k∈G（R），e∈Id（R），u∈U（R）。由定義1.1（2）有k+I∈G（R/I），故a+I是（強(qiáng)）G-clean元。

相應(yīng)于文獻(xiàn)［11］中的引理4.1.1，有

定理2.2" 設(shè)I是環(huán)R的理想，IJ（R），且R/I的G-冪等元都可提升，則R/I是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是G-clean環(huán)。

證明" 只需證必要性。設(shè)R/I是G-clean環(huán)，則對(duì)任意r∈R都有r+I=（ke+u）+I，其中k+I∈G（R/I），e+I∈Id（R/I），u+I∈U（R/I）。因?yàn)榄h(huán)R的每個(gè)G-冪等元都可提升，并由［11，引理4.1.1］可知k+I和e+I均可提升，所以存在j∈I，使得r=ke+（u+j）是G-clean元。

推論2.3" 設(shè)R是環(huán)，如果R/J（R）是G-clean環(huán)且其G-冪等元都可提升，則R是G-clean環(huán)。

設(shè)G是單位包映射，如果對(duì)任意一族環(huán)Rλ（λ∈Λ）都有G（∏λ∈ΛRλ）=∏λ∈ΛG（Rλ），則稱(chēng)G保持直積；類(lèi)似地可定義G保持有限直積。

引理2.4

（1） G1，Gn1和Gf都保持直積。

（2） 設(shè)R=∏λ∈ΛRλ，其中|Λ|≥2，則G±1（R）=∏λ∈ΛG±1（Rλ）當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Rλ的特征都是2。

（3） G1，Gn1，G

SymboleB@ 1，Gn

SymboleB@ 1和Gf都保持有限直積。

我們指出G

SymboleB@ 1和Gn

SymboleB@ 1并不保持環(huán)的無(wú)限直積。

例2.5" （1） 考慮∏p為奇素?cái)?shù)G

SymboleB@ 1（

Euclid Math TwoZA@ p）中的元素r=（2+p

Euclid Math TwoZA@ ）p為奇素?cái)?shù)，易知對(duì)任意正整數(shù)k都有rk≠1，故rG

SymboleB@ 1（∏p為奇素?cái)?shù)

Euclid Math TwoZA@ p。

（2） 考慮∏n∈

Euclid Math TwoZA@ +G2

SymboleB@ 1（

Euclid Math TwoZA@ 2n+1）中的元素r=（3+2n+1

Euclid Math TwoZA@ ）n∈

Euclid Math TwoZA@ +，易知對(duì)任意正整數(shù)k都有r2k≠1，故rG2

SymboleB@ 1（∏n∈

Euclid Math TwoZA@ +

Euclid Math TwoZA@ 2n+1）。

定理2.6" 若G保持直積，則∏λ∈ΛRλ是（強(qiáng)）G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Rλ都是（強(qiáng)）G-clean環(huán)，λ∈Λ。

證明" 記R∶=∏λ∈ΛRλ。因每個(gè)Rλ都是R的同態(tài)像，故由引理2.1知Rλ都是（強(qiáng)）G-clean環(huán)。

反之，設(shè)每個(gè)Rλ都是（強(qiáng)）G-clean環(huán)，則對(duì)任意a=（aλ）∈R，有aλ=kλeλ+uλ（且eλuλ=uλeλ），其中kλ∈G（Rλ），eλ∈Id（Rλ），uλ∈U（Rλ）。

令k=（kλ），e=（eλ），u=（uλ），則a=ke+u且eu=ue。因G保持直積，故k∈G（R）。由此知a是（強(qiáng)）G-clean元。

推論2.7" 如果每個(gè)Rλ都是（強(qiáng)）G-clean環(huán)，則∏λ∈ΛRλ也是（強(qiáng)）擬clean環(huán)。

設(shè)AB是環(huán)的擴(kuò)張，則集合

R［A，B］∶={（a1，…，an，b，b，…）|ai∈A，b∈B，n≥1

按分量加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。

命題2.8" 設(shè)R是環(huán)，則有：

（1） R［x］不是G-clean環(huán)。

（2） 如果G（R）G（R［［x］］），則R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［［x］］是G-clean環(huán)。

（3） 如果G（R）G（R［x］/（xn+1）），則R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［x］/（xn+1）是G-clean環(huán)。

（4） 設(shè)G是保持直積的單位包映射，AB是環(huán)的擴(kuò)張，則T=R［A，B］是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A是G-clean環(huán)，且對(duì)任意b∈B，存在u∈U（B），e∈B和k∈G（B）∩C（A）使得b=e+u及e2=ke。

（5） T=ab0aa，b∈R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是G-clean環(huán)。

證明" （1） 若R［x］是G-clean環(huán)，則R［x］是擬clean環(huán)，這與［9，Proposition 2.8］矛盾。

（2） 設(shè)R是G-clean環(huán)，f=∑

SymboleB@ i=1rixi∈R［［x］］，則r0有G-clean分解r0=u+e，其中u∈U（R），e2=ke∈R且k∈G（R）。注意到f=e+（u+r1x+r2x2+…），Id（R）Id（R［［x］］），u+r1x+r2x2+…∈U（R［［x］］），且由假設(shè)有k∈G（R［［x］］），故f是G-clean元。

由R是R［［x］］的同態(tài)像可知充分性成立。

（3） 與（2）的證明相似。

（4） 環(huán)A，B是T的同態(tài)像，顯然T是G-clean環(huán)時(shí)，A，B是G-clean環(huán)。其中，對(duì)于任意的b∈B，存在u∈U（B），e2=ke∈B且k∈G（B），使得b=e+u。由T的定義知k∈C（A），即k∈G（B）∩C（A）。

反之，令α=（a1，…，an，b，b，…）∈T，則ai=ei+ui，其中ei是環(huán)A的ki-冪等元且ki∈G（A），ui∈U（A）。另外，b∈B，有b=e+u，其中u∈U（B），e2=ke∈B且k∈G（B）∩C（A）。令（ki）=（k1，k2，…，kn，k，k， …）。因?yàn)镚保持直積，所以（ki）∈G（T）。因此α是T的G-clean元。

（5） 易知環(huán)R是T的一個(gè)同態(tài)像，故必要性顯然成立。

反之，設(shè)R是G-clean環(huán)，A=ab0a∈T。令a=e+u，其中u∈U（R），e2=ke∈R且k∈G（R），那么A=ab0a=e00e+ub0u，易知e00e2=k00ke00e，因此T是G-clean環(huán)。

顯然，當(dāng)G=G1，G±1，Gn1，G

SymboleB@ 1，Gn

SymboleB@ 1和Gf時(shí)，R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［［x］］是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［x］/（xn+1）是G-clean環(huán)。

2016年Khurana等［12］用方程xa-bx=1（b為冪等元）的可解性刻畫(huà)了clean元和強(qiáng)clean元，接下來(lái)我們將用方程xa-fx=1（f為G-冪等元）的可解性來(lái)刻畫(huà)G-clean元和強(qiáng)G-clean元。

定理2.9" 設(shè)R是環(huán)，a∈R，則有：

（1） a是G-clean的當(dāng)且僅當(dāng)存在G-冪等元f∈R，使得方程xa-fx=1在U（R）中有解。

（2） a是強(qiáng)G-clean的當(dāng)且僅當(dāng)存在G-冪等元f∈R，使得方程xa-fx=1在CR（a）中有解。

證明" （1） 若a是G-clean元，則存在e∈Id（R），v∈U（R）和k∈G（R），使得a=ke+v。因此v-1a=v-1ke+1=（v-1kev）v-1+1。令f=v-1kev，則有f2=kf，且v-1a=fv-1+1，故方程xa-fx=1在U（R）中有解。

反之，若存在G-冪等元f∈R使得方程xa-fx=1在U（R）中有解。不妨設(shè)x∈U（R），則a=x-1fx+x-1，因x-1fx仍是G-冪等元，所以a是G-clean元。

（2） 同（1），可設(shè)a=ke+v且av=va，顯然av-1=v-1a，故存在G-冪等元f，使得v-1a=fv-1+1，故方程xa-fx=1在CR（a）中有解。

反之，假設(shè)存在G-冪等元f∈R和x∈CR（a）使得xa-fx=1。令f=ke，其中k∈G（R），e∈Id（R）。在等式1=xa-fx兩邊左乘以k-f，有k-f=（k-f）xa。另外，由1=x（a-k）+（k-f）x可得f=fx（a-k）=（xa-1）（a-k），進(jìn)而由x∈CR（a）得f∈CR（x）。故x（a-f）=1且（a-f）x=1，從而x∈U（R）。因此a=x-1fx+x-1是強(qiáng)G-clean元。

引理2.10" 設(shè)R是交換不可分環(huán)，則R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)非單位都可表成G（R）的一個(gè)元素與一個(gè)單位之和。

定理2.11" 設(shè)R是交換環(huán)，若G保持直積，則R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的任一使得R/I是不可分環(huán)的理想I，R/I中的每個(gè)非單位都可表成G（R/I）的一個(gè)元素與一個(gè)單位之和。

證明" 充分性。設(shè)R有非G-clean元a，則集合

M={IRa+I∈R/I不是G-clean元}

非空。任取 M中的鏈{Iλ}λ∈Λ，則I*∶=∪λ∈ΛI(xiàn)λ是R的理想。若a+I*是R/I*中的G-clean元，則存在e，k，k'，u，u'∈R使得

a+I*=（k+I*）（e+I*）+（u+I*），

其中

（e+I*）2=e+I*，" （k+I*）（k'+I*）=1+I*，" （u+I*）（u'+I*）=1+I*。

因此a-ke-u，e2-e，kk'-1和uu'-1都在I*中，進(jìn)而它們都在某個(gè)Iλ0中，λ0∈Λ，故上式在R/Iλ0中成立，從而a+Iλ0=（k+Iλ0）（e+Iλ0）+（u+Iλ0）是R/Iλ0中的G-clean元，矛盾。這表明I*∈M。由Zorn引理可知M有極大元I0。下證R/I0是不可分環(huán)。

若R/I0可分，則存在I0的真理想I1和I2使得I0=I1∩I2，且有同構(gòu)

R/I0R/I1⊕R/I2，" r+I（r+I1，r+I2）。

由I0的極大性，a+Ij是R/Ij中的G-clean元， 故

a+Ij=（kj+Ij）（ej+Ij）+（uj+Ij）∈R/Ij，

其中kj+Ij∈G（R/Ij），ej+Ij∈Id（R/Ij），uj+Ij∈U（R/Ij），j=1，2。因此有

（a+I1，a+I2）=（k1+I1，k2+I2）（e1+I1，e2+I2）+（u1+I1，u2+I2）。

由假設(shè)有G（（R/I1）⊕（R/I2））=G（R/I1）⊕G（R/I2），故（k1+I1，k2+I2）∈G（（R/I1）⊕（R/I2））。因此（a+I1，a+I2）是（R/I1）⊕（R/I2）的G-clean元，即a+I0是R/I0的G-clean元，矛盾。因此R/I0是不可分環(huán)且a+I0∈R/I0不是G-clean元。從而a+I0∈R/I0不是單位，也不能分解成一個(gè)G（R/I0）的元素與一個(gè)單位之和，矛盾。

必要性。設(shè)R/I是不可分環(huán)，則R/I只有平凡的冪等元，于是R/I中的G-冪等元要么是0，要么在G（R/I）中，由此可得結(jié)論。

推論2.12" 設(shè)R是交換半局部環(huán)，則R是G-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R=A×B，其中A是有限個(gè)局部環(huán)的直積，B是G-clean環(huán)且可分解成有限個(gè)不可分的非局部的半局部環(huán)的直積。

證明" 必要性。設(shè)R是交換半局部環(huán)，R=R1×…×Rn×S1×…×Sm，其中Ri均為局部環(huán)，Sj均為不可分的非局部環(huán)。令A(yù)=R1×…×Rn，B=S1×…×Sm，B是R的同態(tài)像，顯然B是G-clean環(huán)。

充分性。設(shè)A是有限個(gè)局部環(huán)的直積，則G（A）={1}，進(jìn)而由R=A×B可知G（A）×G（B）G（R），故R是G-clean環(huán)。

例2.13" 設(shè)m≥1，p1，…，pm是不同的素?cái)?shù)，令R∶=∩mi=1

Euclid Math TwoZA@ （pi）。

（1） R是clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)m=1。

（2） R是Gn1-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半clean環(huán)，也當(dāng)且僅當(dāng)R是Gn

SymboleB@ 1-clean環(huán)，也當(dāng)且僅當(dāng)m=1，或m=2且p1，p2均為奇素?cái)?shù)。

（3） R是擬clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)m=1，或m≥2且pi均為奇素?cái)?shù)（i=1，…，m）。

證明" 因?yàn)镽的單位根只有±1，所以R是Gn1-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半clean環(huán)，也當(dāng)且僅當(dāng)R是Gn

SymboleB@ 1-clean環(huán)。另外，這三個(gè)結(jié)論也可由［9，Corollary 3.9］直接得到。

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［責(zé)任編輯：彭喻振］