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不定方程x2=22b+2a2t-2b+2at+r+1的正整數(shù)解

2024-08-06 00:00:00王志蘭管訓(xùn)貴

摘" 要:丟番圖方程的馬少麟猜想與乘子為-1的阿貝爾差集有關(guān)。該文運(yùn)用二次和四次丟番圖方程的性質(zhì)并結(jié)合Strmer定理,證明了:若a為正偶數(shù),b,t,r為正整數(shù),t≥r,則不定方程x2=22b+2a2t-2b+2at+r+1的正整數(shù)解由t=r=1以及x+a2b+2(2b-1)=(2b+1-1+2b+2(2b-1))n給出,其中n是正偶數(shù)。

關(guān)鍵詞:McFarland猜想;不定方程;正整數(shù)解;Strmer定理

中圖分類號(hào):O156.7""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

DOI:10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2024.02.002文章編號(hào):2096-7330(2024)02-0007-04

收稿日期:2023-10-19

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)研究”(11471144);江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“某些Diophantine方程的整數(shù)解研究”(BK20171318)

通信作者:管訓(xùn)貴,泰州學(xué)院教授,tzszgxg@126.com。

1992年馬少麟[1]在研究Abel群中乘子為-1的差集的McFarland猜想時(shí),提出了如下兩個(gè)猜想。

猜想1" 設(shè)p為奇素?cái)?shù),a為非負(fù)整數(shù),t,r為正整數(shù),則整數(shù)

Y=22a+2p2t-22a+2pt+r+1

是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)t=r,即Y=1。

猜想2" 設(shè)p為奇素?cái)?shù),b,t,r為正整數(shù),則整數(shù)

Z=22b+2p2t-2b+2pt+r+1

是平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)p=5,b=3,t=1,r=2,即Z=2401=74。

樂(lè)茂華和向青[2],郭永東[3]和曹珍富[4]分別獨(dú)立證明了猜想1成立,即有

定理A" 設(shè)p為奇素?cái)?shù),a為非負(fù)整數(shù),t,r為正整數(shù),則方程

x2=22a+2p2t-22a+2pt+r+1

的正整數(shù)解只有x=1。

關(guān)于猜想2,馬少麟[1]運(yùn)用不等式方法證明了

定理B" 設(shè)p為奇素?cái)?shù),b,t,r為正整數(shù),若t≥r,則方程

x2=22b+2p2t-2b+2pt+r+1

無(wú)正整數(shù)解。

2021年羅家貴等[5]運(yùn)用Strmer定理及其推廣和Pell方程解的性質(zhì),證明了如下的一般性結(jié)果。

定理C" 設(shè)a>1為奇數(shù),b,t,r為正整數(shù),若t≥r,則方程

x2=22b+2a2t-2b+2at+r+1

的正整數(shù)解由t=r=1以及

x+a2b+2(2b-1)=(2b+1-1+2b+2(2b-1))n," n=2,4,6,…

給出。

本文研究了a為偶數(shù)的情形,得到了如下結(jié)果。

定理1" 設(shè)a>1為偶數(shù),b,t,r為正整數(shù),若t≥r,則方程

x2=22b+2a2t-2b+2at+r+1(1)

的正整數(shù)解由t=r=1以及

x+a2b+2(2b-1)=(2b+1-1+2b+2(2b-1))n," n=2,4,6,…

給出。

1" 若干引理

引理1[6]" 不定方程

x2-Dy4=1

至多有兩個(gè)正整數(shù)解。若該方程恰有兩個(gè)正整數(shù)解,則當(dāng)D=24s×1785,s∈{0,1}時(shí),(x1,y1)=(169,21-s)且(x2,y2)=(6525617281,21-s×6214);當(dāng)D≠24s×1785時(shí),(x1,y1)=(u1,v1)且(x2,y2)=(u2,v2),這里(un,vn)是Pell方程U2-DV2=1的正整數(shù)解。

引理2[7]" 設(shè)正偶數(shù)D不是平方數(shù),則對(duì)任意正整數(shù)n≥3,方程

x2-Dy2n=1

至多只有一個(gè)正整數(shù)解。

引理3[8]" 設(shè)正整數(shù)D不是平方數(shù),則Pell方程x2-Dy2=1有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)解。設(shè)x1+y1D是該方程的基本解,則它的全部整數(shù)解可表為

x+yD=±(x1+y1D)n," n∈

瘙 綄 ;

而它的全部正整數(shù)解可表為

x+yD=(x1+y1D)n," n=1,2,…。

由引理3立得

推論" 設(shè)正整數(shù)D不是平方數(shù),x1+y1D是Pell方程x2-Dy2=1的基本解,xn+ynD是它的任一整數(shù)解,則y1yn,并且x1xn當(dāng)且僅當(dāng)n為奇數(shù)。

引理4[9]" 設(shè)整數(shù)a>1,b>0且ab不是平方數(shù),若方程

ax2-by2=1(2)

有整數(shù)解(x,y),設(shè)x1a+y1b是方程(2)的最小正整數(shù)解,x0+y0ab是Pell方程x2-aby2=1的基本解,則x0+y0ab=(x1a+y1b)2,且方程(2)的全部整數(shù)解可表為

xa+yb=±(x1a+y1b)(x0+y0ab)n=±(x1a+y1b)2n+1," n∈

瘙 綄 。

引理5[10]" 設(shè)正整數(shù)D不是平方數(shù),正整數(shù)x,y滿足Pell方程

x2-Dy2=1,(3)

ε=x1+y1D是方程(3)的基本解,若y=pnY(p為素?cái)?shù),n≥0),pD,且Y的所有素因子都整除D,則x+yD=ε,ε2或ε3。

引理6[11]" 設(shè)正整數(shù)D不是平方數(shù),正整數(shù)x,y滿足Pell方程

x2-Dy2=±1,

ε=x1+y1D是該方程的基本解,若x的所有素因子都整除x1或y的所有素因子都整除y1,則x+yD=ε。

引理7(Strmer定理[12])" 設(shè)正整數(shù)D不是平方數(shù),x1+y1D是Pell方程

x2-Dy2=±1

的一個(gè)正整數(shù)解,若y1的每個(gè)素因子都整除D,則x1+y1D是該方程的基本解。

2" 定理1的證明

先考慮t=r的情形。由式(1)可知,(x,at)是Pell方程

X2-2b+2(2b-1)Y2=1(4)

的正整數(shù)解。

若t=1,則有

x+a2b+2(2b-1)=(2b+1-1+2b+2(2b-1))n," n=1,2,…。

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)有a≡±1(mod 2(2b+1-1)),這與a是偶數(shù)矛盾。

若t=2,因(2b+1-1,1)是Pell方程(4)的基本解,故由引理1得

x+a22b+2(2b-1)=(2b+1-1+2b+2(2b-1))2。

因此a2=2(2b+1-1),取模4得0≡2(mod 4),矛盾。

若t≥3,則(x,a)和(2b+1-1,1)均為Pell方程X2-2b+2(2b-1)Y2t=1的正整數(shù)解,這與引理2矛盾。

再考慮t>r的情形。

(i) b為偶數(shù)且t,r同奇偶。由方程(1)可知(x,2b+22at+r2)是Pell方程

X2-(2bat-r-1)Y2=1(5)

的一個(gè)正整數(shù)解。因(2b2at-r2,1)是方程(5)的基本解,故由引理3得

x+2b+22at+r22bat-r-1=(2b2at-r2+2bat-r-1)n," n=1,2,…。

若n是奇數(shù),則由引理3的推論知2b2at-r2x,這與x是奇數(shù)矛盾。

若n是偶數(shù),令n=2m,則有

x+2b+22at+r22bat-r-1=(2b2at-r2+2bat-r-1)2m=(xm+ym2bat-r-1)2。

于是有

2b+22at+r2=2xmym。(6)

若m是偶數(shù),則ym被2b+22at-r2整除。由xm是奇數(shù)知gcd(xm,ym)=1,進(jìn)而由(6)得xm=1,從而m=0,不可能。若m是奇數(shù),則由引理3的推論知2b2at-r2xm,結(jié)合(6)得ymar,但gcd(xm,ym)=1,故只有ym=1,從而m=1。此時(shí)由(6)得

2b+22at+r2=2x1=2b+22at-r2,

進(jìn)而r=0,矛盾。

(ii) b為偶數(shù)且t,r為一奇一偶。由方程(1)可知(x,2b+22at+r-12)是Pell方程

X2-a(2bat-r-1)Y2=1(7)

的正整數(shù)解。因(2b2at-r-12,1)是方程aX2-(2bat-r-1)Y2=1的最小正整數(shù)解,故由引理4和引理5得

x+2b+22at+r-122bat-r-1=(2b2at-r-12a+2bat-r-1)2, (8)

x+2b+22at+r-122bat-r-1=(2b2at-r-12a+2bat-r-1)4,(9)

x+2b+22at+r-122bat-r-1=(2b2at-r-12a+2bat-r-1)6。(10)

由(8)知2b+22at+r-12=2b+22at-r-12,得r=0,矛盾。

由(9)知2b+22at+r-12=2b+42at-r-12(2b+1at-r-1),即ar=2(2b+1at-r-1)。若r是偶數(shù),則取模4得0≡2(mod 4),矛盾;若r是奇數(shù),則只能有r=1,此時(shí)a=2(2b+1at-1-1),也不可能。

由(10)知2b+22at+r-12=2b+22at-r-12(2b+4at-r(2bat-r-1)+3),即

ar=2b+4at-r(2bat-r-1)+3,

這與a是偶數(shù)矛盾。

(iii) b為奇數(shù)且t,r同奇偶。由方程(1)可知,(x,2b+12at+r2)是Pell方程

X2-2(2bat-r-1)Y2=1(11)

的一組正整數(shù)解。因?yàn)椋?b-12at-r2,1)是方程2X2-(2bat-r-1)Y2=1的最小正整數(shù)解,所以由引理4知方程(11)的基本解為

(2b-12at-r22+2bat-r-1)2=2b+1at-r-1+2b+12at-r22(2bat-r-1)。

再根據(jù)引理6可得

2b+12at+r2=2b+12at-r2,

進(jìn)而r=0,矛盾。

(iv) b為奇數(shù)且t,r為一奇一偶。由引理7和方程(1)可知,(x,2b+12at+r-12)是Pell方程

X2-2a(2bat-r-1)Y2=1

的基本解。因?yàn)椋?b-12at-r-12,1)是方程2aX2-(2bat-r-1)Y2=1的最小正整數(shù)解,故由引理4可得

2b+12at+r-12=2b+12at-r-12,

進(jìn)而r=0,矛盾。

參考文獻(xiàn):

[1]" MA S L. McFarland′s conjecture on Abelian difference sets with multiplier -1[J]. Designs Codes and Cryptography,1991,1(4):321-332.

[2]" LE M H, XIANG Q. A result on Mas conjecture[J].Journal of Combinatorial Theory, 1996,73(1):181-184.

[3]" GUO Y D. On the exponential Diophantine equation x2=22ak2m-22akm+n+1[J]. Discussiones Mathematicae Algebra Stokastic Methods,1996,16(1):57-60.

[4]" CAO Z F, GRYTCZUK A. Some classes of Diophantine equations connected with McFarland′s and Ma′s conjectures[J]. Discussiones Mathematicae-General Algebra and Applications,2000,20(2):49-62.

[5]" 羅家貴,費(fèi)雙林,李垣.與馬猜想有關(guān)的一類不定方程[J].數(shù)學(xué)年刊(A輯),2021,42(2):229-236.

[6]" WALSH P G. A note on a theorem of Ljunggren and the Diophantine equations x2-kxy2+y4=1 or 4[J]. Arch Math Basel,1999,73(2):119-125.

[7]" YUAN P Z, LUO J G. Three triangular numbers contained in geometric progression[J]. Functiones Et Approximatio Commentarii Mathematici, 2010,42(1):59-65.

[8]" 管訓(xùn)貴.初等數(shù)論[M].3版.北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2020.

[9]" 曹珍富. 不定方程及其應(yīng)用[M].上海:上海交通大學(xué)出版社,2000.

[10]梅漢飛,梅龍,樊啟毅,等.Strmer定理的推廣[J].渝州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1995,12(4):25-27.

[11]羅家貴.關(guān)于丟番圖方程axm±1ax±1=yn與axm±1ax±1=yn+1[J].數(shù)學(xué)年刊(A輯),2004,25(6):805-808.

[12]DICKSON L E. History of the theory of numbers[M].Washington: Washington Carnegie Institution,1919.

[責(zé)任編輯:彭喻振]

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